本原性問題驅(qū)動的初中數(shù)學(xué)教學(xué)探究
——以“反比例函數(shù)”第一課時教學(xué)為例

江蘇蘇州市吳江區(qū)教育局教研室（215200）錢建芬

本原性問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中本質(zhì)的、原始的問題，利用本原性問題開展數(shù)學(xué)教學(xué)能夠有效引導(dǎo)學(xué)生思考與探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)該合理運(yùn)用本原性問題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。下面以八年級下冊“反比例函數(shù)”的教學(xué)為例進(jìn)行分析探討，實(shí)際教學(xué)流程是以小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，圍繞“反比例關(guān)系”這個本原性問題，沿著“導(dǎo)入課題—構(gòu)建概念—破解問題—遷移應(yīng)用”這樣的路徑開展教學(xué)，有效幫助學(xué)生理解“反比例關(guān)系”，掌握反比例函數(shù)的知識，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。

一、教學(xué)流程

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是“反比例函數(shù)”，反比例函數(shù)是繼正比例函數(shù)、一次函數(shù)之后，二次函數(shù)之前的又一類函數(shù)。本節(jié)課的教學(xué)目的是讓學(xué)生認(rèn)識反比例函數(shù)。理解反比例函數(shù)的概念。學(xué)好這節(jié)課內(nèi)容的關(guān)鍵是厘清反比例關(guān)系，進(jìn)一步體會函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，體會函數(shù)的模型思想。為此，本節(jié)課從反芻學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)入手設(shè)計(jì)教學(xué)流程。一是引入生活中常見的情境——開車去公園野餐，并以此為導(dǎo)入點(diǎn)，全程依照“野餐準(zhǔn)備、野餐進(jìn)行時、戶外運(yùn)動中的相關(guān)反比例數(shù)學(xué)問題”展開教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，從而幫助學(xué)生深層次理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識。二是在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生回憶學(xué)過的相關(guān)知識，在原有的經(jīng)驗(yàn)上，幫助學(xué)生生長新經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的主要教學(xué)流程如圖1所示。

圖1

二、教學(xué)實(shí)施

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考

創(chuàng)設(shè)“開車去公園野餐”這一生活情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容的信心，引導(dǎo)學(xué)生愉快地學(xué)習(xí)新知。

【教師引導(dǎo)，解決問題】

師：我計(jì)劃周末開車帶今天課堂學(xué)習(xí)最活躍的同學(xué)去勝地生態(tài)公園野餐，請同學(xué)們一起幫助我規(guī)劃一下周末的野餐活動。如果開車速度是80 km/h，那么路程s(km)與時間t(h)之間的表達(dá)式是什么？

生：s=80t。

師：若已經(jīng)行駛了10 km，繼續(xù)以80 km/h 的速度行駛，那么總路程s(km)與時間t(h)之間的表達(dá)式如何？

生：s=10+80t。

師：若學(xué)校與公園相距15 km，開車速度是vkm/h，全程所用時間是t(h)。寫出t、v的函數(shù)表達(dá)式，填寫下表，并且思考幾個問題。

生：t=

【學(xué)生訓(xùn)練，增長經(jīng)驗(yàn)】

（1）這個問題中的常量和變量分別是什么？

（2）對每一個給定的v，都有唯一的t與它對應(yīng)嗎？

（3）時間t是速度v的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：用實(shí)際問題引出現(xiàn)實(shí)中的反比例關(guān)系，為后續(xù)的反比例函數(shù)的意義教學(xué)做好鋪墊。創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生感受量與量之間的函數(shù)關(guān)系，體會實(shí)際問題中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系，激發(fā)探究興趣。

（二）問題驅(qū)動，探索概念

在學(xué)生對三個量有了函數(shù)關(guān)系的初步認(rèn)識之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)后續(xù)野餐環(huán)節(jié)。通過對相關(guān)問題的討論，結(jié)合小學(xué)學(xué)過的“反比例關(guān)系”，并與當(dāng)下學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，學(xué)生深刻理解和全面認(rèn)識了反比例函數(shù)。

【教師引導(dǎo)，解決問題】

師：我們需要準(zhǔn)備一些野餐時要用的蛋糕、雞翅、草莓、野餐布等，請同學(xué)們思考以下問題，用函數(shù)表達(dá)式表示下列問題中兩個變量之間的關(guān)系。

（1）老師計(jì)劃用300 g 面粉做千層蛋糕，蛋糕的層數(shù)y（層）隨每層面粉質(zhì)量x（克）的變化而變化。

（2）買雞翅花了60 元，購買數(shù)量y（個）隨雞翅單價(jià)x（元）的變化而變化。

（3）質(zhì)量為5 kg 的草莓需要清洗，所花時間t(min)隨清洗速度v(kg/min)的變化而變化。

（4）長方形野餐布總面積是4 m2，長a(m) 隨寬b(m)的變化而變化。

學(xué)生通過獨(dú)立思考，寫出了自己的答案，教師請幾位學(xué)生在黑板上寫出自己的答案。

師：現(xiàn)在請大家思考一下，前幾位同學(xué)寫出的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=有什么共同特征？

生1：它們好像都是成反比例關(guān)系。

師：說得很好，你能不能用當(dāng)下學(xué)習(xí)的函數(shù)術(shù)語表述它們的特征呢？

生2：因變量和自變量之間成反比例關(guān)系。

師：對，這位同學(xué)很棒！我們所研究的這些函數(shù)表達(dá)式的因變量和自變量都呈現(xiàn)反比例關(guān)系，而這種具有反比例關(guān)系的函數(shù)就叫作反比例函數(shù)。

教師趁熱打鐵引入反比例函數(shù)的定義：

一般地，形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。自變量x的取值范圍是x≠0。

【學(xué)生訓(xùn)練，增長經(jīng)驗(yàn)】

師：請大家用自己的“火眼金睛”識別一下，在下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)，并說出其比例系數(shù)。

通過習(xí)題練習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步理解了反比例函數(shù)的定義，同時對比例系數(shù)有了明確的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，教師對反比例函數(shù)的三種表達(dá)形式進(jìn)行總結(jié)

（三）體悟關(guān)聯(lián)，完善概念

通過對反比例函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，學(xué)生對因變量、自變量、比例系數(shù)等關(guān)鍵因素有了初步的認(rèn)識。但是，在一些細(xì)節(jié)問題上可能還有待進(jìn)一步深化，比如自變量的取值范圍等。

【教師引導(dǎo)，解決問題】

師：雖然我們已經(jīng)準(zhǔn)備好了野餐的相關(guān)食材和工具，但是還有一些問題涉及反比例函數(shù)，老師想請大家?guī)椭平狻?/p>

用函數(shù)表達(dá)式表示下列問題中兩個變量之間的關(guān)系，并根據(jù)實(shí)際情況寫出自變量的取值范圍。

（1）帳篷放在一個長方體盒子里，盒子的體積為32 dm3，盒子的高為2 dm，寬b（dm）隨長a(dm)的變化而變化。

（2）堆在餐布上的飲料總重30 N，它們對地面的壓強(qiáng)p(N/m2)隨它與地面的接觸面積S(m2)的變化而變化。

（3）12 寸比薩約重500 克，每人吃到的比薩質(zhì)量y（克）隨人數(shù)x（個）的變化而變化。

【學(xué)生訓(xùn)練，增長經(jīng)驗(yàn)】

師：我們一起來檢測一下大家的學(xué)習(xí)效果。

問題：圖2 中有一面圍墻（可利用的最大長度為100 米），現(xiàn)打算沿墻圍一個面積為120 平方米的長方形花圃。設(shè)花圃的一邊AB=x（米），另一邊為y（米），求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并指出其中自變量的取值范圍。

圖2

通過對實(shí)際問題的分析，讓學(xué)生明白：自變量的取值范圍還應(yīng)滿足實(shí)際背景和意義。教師強(qiáng)調(diào)確定自變量的取值范圍時應(yīng)將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)關(guān)系相結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對反比例函數(shù)的自變量取值范圍的認(rèn)識。

（四）學(xué)以致用，拓展提升

學(xué)生用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，提升思維品質(zhì)，增長經(jīng)驗(yàn)。

【學(xué)生訓(xùn)練，增長經(jīng)驗(yàn)】

師：野餐結(jié)束后，還有一些戶外運(yùn)動。在這個過程中，也有一些反比例函數(shù)的相關(guān)知識，老師想請大家一起探討。

用函數(shù)表達(dá)式表示下列問題中兩個變量之間的關(guān)系，并寫出比例系數(shù)。

（1）一個菱形的風(fēng)箏，總面積是80 cm2，較短的對角線n(cm)隨較長的對角線m(cm)的變化而變化。

（2）小巧騎自行車行了2000 m，自行車車輪旋轉(zhuǎn)的周數(shù)n隨車輪直徑D(m)的變化而變化。

在學(xué)生解決了上述問題的前提下，教師布置課后作業(yè)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

已知函數(shù)y=y1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x=1 時，y=4，x=2 時，y=5，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

通過創(chuàng)設(shè)開車去公園野餐的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并以野餐的相關(guān)環(huán)節(jié)為線索，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考探究，加深學(xué)生對反比例函數(shù)的認(rèn)識。上述教學(xué)從本原性問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生理解與掌握相關(guān)知識并解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，這樣的教學(xué)有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

三、教學(xué)反思

（一）注重情境創(chuàng)設(shè)，提升學(xué)生興趣

基于本原性問題開展數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)際上是從數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，把枯燥的符號運(yùn)算與生動的生活場景結(jié)合起來，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。這樣既能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解。本節(jié)課以開車去公園野餐為教學(xué)主線，針對野餐過程中的種種情境“追根溯源”，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)知識就在身邊，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時使學(xué)生在探索活動中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（二）加強(qiáng)問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生思考

解決問題的過程就是思考的過程，在實(shí)際教學(xué)中，教師要用學(xué)生感興趣的問題驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中提升自己的學(xué)習(xí)能力和思維能力，形成自己獨(dú)特的思維方式。本節(jié)課全程都是以問題為導(dǎo)向，無論是蛋糕的制作問題，還是風(fēng)箏面積問題的解決，都比較通俗易懂，能夠引發(fā)學(xué)生思考，并有利于學(xué)生將學(xué)到的知識用于解決實(shí)際問題，形成自己的思維方式。

（三）注重邏輯引領(lǐng)，挖掘?qū)W生潛力

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，在知識的傳授過程中，要注重傳授方法的科學(xué)性和合理性，尤其要注重知識傳授的邏輯性，且要以一種學(xué)生樂于接受的方式進(jìn)行。本節(jié)課以開車去公園野餐為主線，以“野餐準(zhǔn)備—野餐進(jìn)行時—戶外運(yùn)動”這樣的順序開展教學(xué)，讓學(xué)生能夠較好地把握事件發(fā)生的脈絡(luò)。同時，在知識的傳授上，由淺入深、層層遞進(jìn)，按照“反比例函數(shù)的定義—比例系數(shù)—自變量—反比例函數(shù)知識運(yùn)用”的順序進(jìn)行教學(xué)，這樣有助于學(xué)生理解掌握并運(yùn)用所學(xué)知識。在本節(jié)課的最后，還設(shè)置了類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，并引導(dǎo)學(xué)生思考：還要繼續(xù)研究哪些反比例函數(shù)問題？這樣的問題無疑給學(xué)生留下了很大的思考空間，讓學(xué)生感悟知識的生長，體會數(shù)學(xué)的魅力。