金屬材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性流動特性及本構(gòu)模型*

秦彩芳，許澤建，竇 旺，杜雨田，黃風(fēng)雷

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081）

金屬材料因其優(yōu)異的力學(xué)性能而被廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運輸、能源、國防等重要工業(yè)領(lǐng)域，因此研究金屬材料在不同加載條件的力學(xué)行為具有重要意義。然而，要在數(shù)值模擬中準(zhǔn)確預(yù)測材料的塑性變形和失效過程，就要對材料的塑性模型及屈服準(zhǔn)則提出更高的要求。在塑性本構(gòu)模型的研究中，研究者多采用與應(yīng)變率和溫度有關(guān)的塑性流動模型，其中包括經(jīng)驗型以及基于物理意義的模型。近年來，人們發(fā)現(xiàn)應(yīng)力狀態(tài)對金屬材料的塑性變形也存在較大影響，因此要在工程計算中獲得精確的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，必須建立考慮應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的塑性本構(gòu)模型。

有關(guān)應(yīng)力狀態(tài)對材料塑性的影響目前已有較多研究。Spitzig 等在拉伸和壓縮兩種不同的應(yīng)力狀態(tài)下得到了兩種調(diào)質(zhì)鋼在不同靜水壓力下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，發(fā)現(xiàn)材料的屈服應(yīng)力和流動應(yīng)力均對靜水壓力敏感，表明了材料的力學(xué)特性與靜水壓力的相關(guān)性。Hu 等認(rèn)為材料在拉伸和壓縮下的強度差不僅僅是靜水壓力引起的，應(yīng)力狀態(tài)也是導(dǎo)致強度差的主要因素，從而提出了考慮應(yīng)力狀態(tài)影響的各向同性材料屈服準(zhǔn)則并用金屬和聚合物材料進行實驗驗證。Cazacu 等發(fā)現(xiàn)用應(yīng)力偏量的主值表示屈服函數(shù)可以很好地描述各向異性和拉壓屈服不對稱性材料的塑性行為。Driemeier 等采用光滑和預(yù)制缺口的拉伸試樣和剪切試樣，研究了應(yīng)力強度、應(yīng)力三軸度和羅德參數(shù)對鋁合金材料塑性和失效行為的影響。Brünig 等采用實驗和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，提出了一種基于應(yīng)力三軸度和羅德參數(shù)的塑性模型和損傷準(zhǔn)則，并討論了應(yīng)力三軸度對韌性金屬損傷起始和演化的影響。Bai 等提出了一種與靜水壓力和羅德角相關(guān)的非對稱金屬塑性模型的一般形式，并詳細(xì)討論了修正方法，而后通過鋁2024-T351 的實驗結(jié)果對新模型的準(zhǔn)確性進行了驗證。Gao 等注意到應(yīng)力狀態(tài)對鋁5083 合金的塑性響應(yīng)和韌性斷裂行為有明顯的影響，提出了與靜水壓力和應(yīng)力偏量的第三不變量相關(guān)的塑性失效模型，并發(fā)現(xiàn)應(yīng)力三軸度主要影響材料的韌性斷裂應(yīng)變，而羅德角對塑性的影響較大。

目前，考慮材料應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的塑性特性及本構(gòu)模型的研究大多是在準(zhǔn)靜態(tài)條件下進行的，而在動態(tài)加載條件下的相關(guān)研究較少。這是因為在高應(yīng)變率下，材料受到應(yīng)變率效應(yīng)和應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的耦合作用，難以單獨區(qū)分。此外，在進行不同加載條件的力學(xué)性能測試時，研究者們采用的試樣類型和尺寸各異，導(dǎo)致實驗結(jié)果較為分散，這也給綜合考慮應(yīng)變率和應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的本構(gòu)模型的建立帶來了困難。針對以上問題，許澤建等提出了一種新型雙剪切試樣，可以在準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載下獲得材料在接近純剪切條件下的流動應(yīng)力曲線，從而實現(xiàn)了應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的解耦。采用該試樣對多種金屬材料在廣泛應(yīng)變率下的塑性流動、失效行為以及材料的剪切本構(gòu)特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)材料的流動應(yīng)力水平和加工硬化效應(yīng)明顯受到應(yīng)力狀態(tài)的影響；同時發(fā)現(xiàn)剪切本構(gòu)模型對剪切測試中應(yīng)力波和流動應(yīng)力曲線的預(yù)測更加精確，因此在工程應(yīng)用中確定本構(gòu)模型時必須考慮材料所處的真實應(yīng)力狀態(tài)。

基于以上研究，本文中結(jié)合實驗測試提出一個綜合考慮應(yīng)變率、溫度和應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的塑性本構(gòu)模型，并對其有效性進行驗證，從而實現(xiàn)在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下準(zhǔn)確預(yù)測金屬材料和結(jié)構(gòu)的塑性流變及動態(tài)響應(yīng)行為。

1 應(yīng)力狀態(tài)表征

在主應(yīng)力空間中，與3 個主應(yīng)力坐標(biāo)軸夾角相同且過原點的直線稱為等傾線，與等傾線垂直且過原點的面稱為π 平面，如圖1 所示。在等傾線上，任意一點對應(yīng)一個靜水壓力，其應(yīng)力偏量為零，各個方向受到相同的壓應(yīng)力或拉應(yīng)力。在π 平面上只有應(yīng)力偏量，其靜水壓力為零，主要與物體的塑性變形相關(guān)。

圖1 主應(yīng)力空間幾何表示Fig. 1 Geometric representation of the principal stress space

應(yīng)力偏張量與材料的塑性變形相關(guān)，表達(dá)式為：=σ-σδ， 其中 δ為 Kronecker 符號。應(yīng)力偏張量的第二不變量和 第三不變量分別定義為：

2 實驗方法及結(jié)果

實驗材料為商用Ti-6Al-4V 鈦合金，其原始微觀組織形貌如圖2 所示。分別采用單軸拉伸、單軸壓縮和剪切3 種不同的加載條件進行實驗，獲取材料在廣泛應(yīng)變率和溫度下的力學(xué)特性。單軸拉伸、單軸壓縮和剪切實驗分別采用光滑圓棒試樣、圓柱試樣和新設(shè)計的雙剪切試樣，幾何形狀和尺寸如圖3 所示。其中，準(zhǔn)靜態(tài)實驗采用MTS 萬能試驗機，動態(tài)加載采用霍普金森壓桿和拉桿，詳細(xì)實驗裝置參見文獻[25]。

圖2 Ti-6Al-4V 材料的原始組織Fig. 2 Microstructure of Ti-6Al-4V material

圖3 試樣結(jié)構(gòu)示意圖（單位：mm）Fig. 3 Schematic diagram of the test specimens(unit: mm)

圖4 為準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載時材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下的等效應(yīng)力-等效應(yīng)變曲線對比圖。在剪切實驗中，假設(shè)試樣處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)von-Mises 假定，采用下式將剪應(yīng)力 τ 轉(zhuǎn)化為等效應(yīng)力：

圖4 不同應(yīng)力狀態(tài)下的等效應(yīng)力-等效應(yīng)變曲線Fig. 4 The equivalent stress-equivalent strain curves under different stress states

由圖4 可知，在不同的加載條件下，材料的加工硬化效應(yīng)有所差別。準(zhǔn)靜態(tài)加載時，Ti-6Al-4V 在拉伸、壓縮和剪切狀態(tài)下，隨著塑性應(yīng)變的增加，材料的流動應(yīng)力水平明顯增高，其加工硬化效應(yīng)均較為明顯。然而在動態(tài)加載下，只在壓縮狀態(tài)下材料表現(xiàn)出明顯的加工硬化效應(yīng)，可見材料的加工硬化效應(yīng)與應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)。此外，無論準(zhǔn)靜態(tài)還是動態(tài)加載等效應(yīng)力幅值均存在明顯差別，且在純剪切狀態(tài)下流動應(yīng)力水平最低，壓縮狀態(tài)下流動應(yīng)力水平最高。Ti-6Al-4V 材料在拉伸和壓縮情況下的不對稱性與多種因素相關(guān)，比如加工方式、晶粒尺寸和材料取向等。在本研究中，所有試樣均沿棒材軸向方向取材，保證材料在拉伸、壓縮和剪切條件下等效應(yīng)力幅值差別是由應(yīng)力狀態(tài)引起的。因此，為了更好地表征材料的本構(gòu)行為，應(yīng)在塑性模型中考慮應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的影響。

3 基于應(yīng)力狀態(tài)的塑性本構(gòu)模型

為了更準(zhǔn)確地表征金屬材料的塑性行為，提出一種與材料應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的塑性本構(gòu)模型，即在基本塑性模型的基礎(chǔ)上將應(yīng)力三軸度和羅德角參數(shù)的影響考慮在內(nèi)。該模型中，材料的流動應(yīng)力可表示為：式中： σ (ε,ε˙,) 為任意一個包含應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度效應(yīng)的塑性本構(gòu)模型;和分別為應(yīng)力三軸度和羅德角參數(shù)的函數(shù)，用于反映應(yīng)力狀態(tài)的影響。根據(jù)獲得的實驗數(shù)據(jù),和分別采用如下形式：

式中：和 η為與應(yīng)力三軸度相關(guān)的材料參數(shù),和為與羅德角參數(shù)相關(guān)的材料參數(shù)。

由式（11）～（13）可知，可以通過選取適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛥?shù)使得 σ 在 η = θˉ=0 時接近于 σ=σ(ε,ε˙,) ，因此可以根據(jù)剪切實驗結(jié)果確定本構(gòu)模型 σ=σ(ε,ε˙,) 。工程中常用Johnson-Cook（J-C）模型描述材料的應(yīng)變率和溫度效應(yīng)，因此在本工作中選用J-C 模型描述 σ (ε,ε˙,) 。J-C 模型的表達(dá)式為：

式中：、、、、為材料常數(shù), ε ˙= ε˙/ε˙為無量綱塑性應(yīng)變率, ε ˙為參考應(yīng)變率,為參考溫度,為熔點溫度。在本工作中參考應(yīng)變率為1 s，熔點溫度為1 941 K，參考溫度為93 K。

采用剪切實驗數(shù)據(jù)確定J-C 模型的材料參數(shù)后，結(jié)合拉伸和壓縮加載條件下的實驗結(jié)果，可確定模型的應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)、 η、和。在確定模型參數(shù)時，使用回歸分析和約束優(yōu)化方法使模型的預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)的誤差最小。在優(yōu)化過程中，考慮了材料的絕熱溫升。本文中所確定的塑性本構(gòu)模型參數(shù)見表1。

表1 新模型材料常數(shù)Table 1 Material constants of the new model

在主應(yīng)力空間中，該模型的屈服面以及在π 平面上的屈服軌跡如圖5～6 所示，其中圖6 同時給出了Mises 和Tresca 準(zhǔn)則的屈服軌跡以方便比較。從屈服軌跡可以看出，在該模型中，當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化時，屈服面也隨之改變。

圖5 新模型屈服面Fig. 5 The yield surface of the new model

圖6 新模型屈服軌跡圖Fig. 6 The yield locus of the new model

由表1 可知，在簡單剪切狀態(tài)下，新提出的塑性本構(gòu)模型與J-C 模型基本一致。將實驗得到的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變曲線轉(zhuǎn)化為等效應(yīng)力和等效應(yīng)變曲線，并與模型計算結(jié)果進行比較，如圖7 所示。由圖可知，在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下，該模型與實驗數(shù)據(jù)吻合較好。在動態(tài)加載下，當(dāng)應(yīng)變率為1 500 s、溫度為873 K時，模型計算結(jié)果稍高于實驗曲線，但誤差仍較小。當(dāng)應(yīng)變率進一步提高至6 500 s時，由于應(yīng)力波的傳播和慣性效應(yīng)，實驗曲線在初始階段出現(xiàn)較大的震蕩，但其流動應(yīng)力與計算曲線較為接近。由以上分析可知，該模型可以準(zhǔn)確反映剪切條件下材料的塑性流動特性。

圖7 剪切試驗結(jié)果與新模型對比Fig. 7 Comparison of the shear test results with the new model

為了比較J-C 模型和新模型的預(yù)測效果，采用下式計算模型與實驗的誤差：

式中： σ為實驗測得的流動應(yīng)力， σ為本構(gòu)模型測得的流動應(yīng)力。

圖8 為不同應(yīng)變率和溫度下獲得的壓縮實驗曲線，圖中還同時給出了分別由剪切實驗擬合的J-C 本構(gòu)模型和本文提出的模型所計算得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。由剪切實驗擬合的J-C 模型得到的曲線在準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載情況下均明顯低于實驗曲線，模型與實驗曲線的平均誤差分別為25.2%和21.1%，這是由于J-C 模型未能考慮應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)對材料造成的影響，因此不能準(zhǔn)確反映材料在不同加載條件下的塑性行為；在各應(yīng)變率下，由新模型得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線均接近于實驗結(jié)果。在動態(tài)加載情況下，實驗曲線存在較大波動，但由新模型給出的兩條曲線均與實驗數(shù)據(jù)的整體應(yīng)力水平吻合較好。新模型與實驗結(jié)果的平均誤差分別為3.7%、3.9%（見表2）。因此，應(yīng)力狀態(tài)對材料力學(xué)性能的影響不容忽視；相比JC 模型而言，新模型可以更準(zhǔn)確地預(yù)測材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下的等效應(yīng)力-等效應(yīng)變曲線。

圖8 壓縮試驗結(jié)果與兩種模型（J-C 模型和新模型）結(jié)果比較Fig. 8 Comparison of the compression test results with the J-C model and the new model

圖9 為在單軸拉伸加載下，實驗結(jié)果和兩種模型計算所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線的對比。在準(zhǔn)靜態(tài)加載下，由剪切實驗得到的J-C 模型的流動應(yīng)力水平比實驗值明顯偏低，該現(xiàn)象與單軸壓縮結(jié)果類似。在動態(tài)載荷下，J-C 模型曲線整體明顯低于實驗曲線；然而，隨著應(yīng)變量的增加，其流動應(yīng)力逐漸趨于實驗值。新模型無論在準(zhǔn)靜態(tài)還是動態(tài)加載下，均能較好地反映材料的加工硬化情況和流動應(yīng)力水平。兩種模型與實驗數(shù)據(jù)的平均誤差見表2。因此，在拉伸和壓縮載荷作用下，使用新模型能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，說明該模型可以準(zhǔn)確描述材料的應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)對其塑性流動特性的影響。

表2 不同應(yīng)力狀態(tài)下新模型和J-C 模型（根據(jù)剪切試驗結(jié)果建立）與拉壓試驗結(jié)果的平均誤差Table 2 Average error of the new and J-C models under different stress states compared with the experimental results

圖9 拉伸試驗結(jié)果與兩種模型（J-C 模型和新模型）結(jié)果比較Fig. 9 Comparison of the tension test results with the J-C model and new model

4 模型的驗證

為了檢驗所提出的模型對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料流動特性的預(yù)測精度，設(shè)計了圖10 所示的壓剪復(fù)合試樣并開展動態(tài)測試。同時，通過編寫用戶自定義子程序?qū)⑿履Ｐ颓度階BAQUS 有限元軟件，并對壓剪實驗進行數(shù)值模擬。建模時，對入射桿、試樣和透射桿進行三維實體建模，試樣放置在入射桿與透射桿之間，且其端面接觸設(shè)置為“硬接觸”，不考慮各接觸面的摩擦效應(yīng)。入射桿與透射桿均采用C3D8R 六面體縮減積分單元；由于要考慮試樣在加載過程中的絕熱溫升，試樣采用C3D10MT 溫度位移耦合單元。為了更好地模擬剪切區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變場，在試樣剪切區(qū)進行局部加密。模型裝配圖如圖10（b）所示，模擬中各部分的材料和物理參數(shù)見表3。

圖10 15°壓剪試樣和有限元模型示意圖Fig. 10 Schematic diagrams of a 15° compression-shear specimen and the finite element model

表3 有限元分析中各部件的物理參數(shù)Table 3 Physical parameters of each component in the finite element analysis

在數(shù)值模擬中分別采用J-C 模型和新模型時，所得到的透射應(yīng)變脈沖及力-位移曲線與實驗結(jié)果的對比如圖11 所示。從壓剪試樣的模擬與實驗對比分析可知，兩種模型均能捕捉到應(yīng)變波信號的變化趨勢，但J-C 模型明顯低估了實驗數(shù)據(jù)（見圖11（a））。由圖11（b）可知，J-C 模型和新提出的模型在載荷-位移曲線的上升沿均與實驗數(shù)據(jù)基本重合。隨著位移的不斷增加，由J-C模型所預(yù)測的載荷-位移曲線與實驗曲線出現(xiàn)明顯偏差，而新模型則始終與實驗數(shù)據(jù)吻合較好。這說明新模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性變形行為。此外，為了分別研究應(yīng)力三軸度和羅德角參數(shù)對屈服應(yīng)力的影響程度，圖12 給出了新模型只考慮應(yīng)力三軸度（=0 ）或羅德角參數(shù)（=0 ）時的透射應(yīng)變曲線和載荷-位移曲線?？梢钥吹剑?dāng)新模型只考慮羅德角參數(shù)的影響時，所得結(jié)果與新模型接近，基本可以正確反映材料的流動特性；當(dāng)只考慮應(yīng)力三軸度的影響時，其載荷-位移曲線和透射應(yīng)變信號與實驗結(jié)果均相差較大。因此可以看出，對于本文所設(shè)計的壓剪試樣，材料的塑性流動特性主要受到羅德角參數(shù)的影響，受應(yīng)力三軸度的影響不明顯。圖13 給出了新模型和J-C 模型在36 、96 、146 μs時所得到的試樣剪切區(qū)內(nèi)部的等效應(yīng)力分布情況（圖10（a）中紅色框所示的A 區(qū)域）。可以看出，在加載過程中，試樣剪切區(qū)除邊緣部分外，應(yīng)力場始終均勻分布，且在相同時刻新模型的等效應(yīng)力水平均高于J-C 模型，該結(jié)果與兩種模型預(yù)測的透射應(yīng)變波信號和力-位移曲線情況相一致。這是由于在壓剪狀態(tài)下，材料的流動應(yīng)力高于純剪切情況下的流動應(yīng)力，新模型考慮了復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)對材料塑性特性的影響，而J-C 模型未能考慮該應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)。因此，新模型可以更加精確地預(yù)測材料在高應(yīng)變率、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)響應(yīng)。

圖11 模擬結(jié)果（J-C 模型和新模型）與實驗曲線對比Fig. 11 Comparison of the experimental and simulation results (J-C model and new model)

圖12 模擬結(jié)果與實驗曲線對比Fig. 12 Comparison of the experimental and simulation results

圖13 壓剪試樣在不同加載時刻的等效應(yīng)力分布Fig. 13 Equivalent stress evolutions of the compression-shear specimen in the simulation

5 結(jié) 論

（1）通過對Ti-6Al-4V 鈦合金材料開展單軸拉伸、單軸壓縮和剪切加載下的力學(xué)性能測試發(fā)現(xiàn)材料的塑性流動應(yīng)力水平存在明顯差異。壓縮實驗中其流動應(yīng)力水平最高，剪切流動應(yīng)力最低，表明應(yīng)力狀態(tài)會影響材料的塑性行為。

（2）提出了一種考慮應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)的塑性本構(gòu)模型。該模型考慮了應(yīng)力三軸度和羅德角參數(shù)對流動應(yīng)力的影響，因此可以對材料在不同溫度、應(yīng)變率及應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)行為進行描述。

（3）基于Ti-6Al-4V 鈦合金實驗結(jié)果確定了新模型的材料參數(shù)，該模型對不同應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果誤差小于5%。

（4）采用新型壓剪試樣獲得了材料在壓剪復(fù)合狀態(tài)下的實驗曲線。采用ABAQUS 中VUMAT 用戶子程序?qū)杭魧嶒炦M行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)新模型的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的吻合程度優(yōu)于J-C 模型，表明該模型能夠準(zhǔn)確描述材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性行為。