思維在一題多解中發(fā)散
——以一道數(shù)學(xué)題的多種解法為例

廣東省深圳科學(xué)高中(518129)朱 龍

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,從不同的角度去思考總是會(huì)有不一樣解法,而這些不同的解法又總是會(huì)透露出數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性.美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō):“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”因此,恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一題多解能夠有效地完善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,感受不同解題方法,提升學(xué)生思維的發(fā)散性;建立知識(shí)發(fā)展脈絡(luò),提升學(xué)生思維的系統(tǒng)性.

本文將對(duì)深圳市某次調(diào)研考試第16 題的多種解法進(jìn)行探討,予以說(shuō)明.

1 一題多解

題目如圖1, 在凸四邊形ABCD 中, AB = 1,BC =AC⊥CD,AC =CD,當(dāng)∠ABC 變化時(shí),對(duì)角線BD 的最大值為_(kāi)___.

圖1

這道題考查的是四邊形的的幾何知識(shí),從所給的已知信息來(lái)看,這道題的知識(shí)背景是托勒密定理的推廣,直觀上看,此題可以用幾何法解決: 從題目的背景知識(shí)來(lái)看,可以采用如下幾何解法:

引理托勒密定理的推論: 任意凸四邊形ABCD,必有AD·BC+CD·AB ≥BD·AC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD 四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào).

解析1托勒密定理的推論得: 在凸四邊形ABCD 中,由AD ·BC + CD ·AB ≥BD ·AC, ∵AB = 1,BC =AC⊥CD,AC =CD,則

解析3(正余弦定理)令∠ABC = α,∠ACB = β, 則分別在ΔABC,ΔBDC 中應(yīng)用余弦定理有,DC2= AC2=

由正弦定理可知DC sin β = AC sin β = AB sin α = sin α,代入上式得

從另一個(gè)角度來(lái)看,笛卡爾坐標(biāo)系的創(chuàng)建,在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁,它使幾何概念用數(shù)來(lái)表示,幾何問(wèn)題也可以用代數(shù)形式來(lái)表示,為此,此題還有以下解法:

圖3

解析4建立如圖2 直角坐標(biāo)系,設(shè)AC =t,B(x,y),其中則

圖2

由①,結(jié)合②可得

圖4

圖5

由上述解法主要是幾何和代數(shù)兩個(gè)角度去思考得到的解法,那么進(jìn)一步思考,此題是否可以利用數(shù)形結(jié)合的方法解決? 答案是肯定的,具體解析如下:

2 舉一反三

通過(guò)對(duì)一道題目的多種解法的探索,對(duì)題目進(jìn)行如下的變式,學(xué)生就能輕松解決.

3 反思

以上題目給出了7 種解法,其中從幾何思想角度去分析給出了解法1、2、3,從代數(shù)思想角度出發(fā)去分析給出了解法4、5、6,最后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法給出了解法7.從問(wèn)題的不同角度對(duì)一道數(shù)學(xué)題多種解的探索,不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、變通性、開(kāi)放性等多種思維品質(zhì),而且有助于學(xué)生建立知識(shí)發(fā)展脈絡(luò),提升學(xué)生思維的系統(tǒng)性.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若教師善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題從不同角度進(jìn)行解法探究、推廣、發(fā)展乃至應(yīng)用,則可幫助學(xué)生鞏固和深化有關(guān)概念,完善某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)論,掌握某些解題規(guī)律和某種數(shù)學(xué)思想方法,這樣處理典型數(shù)學(xué)問(wèn)題恰與新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)”的本質(zhì)相吻合[1].