由概率統(tǒng)計(jì)談數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)

廣東省中山市第一中學(xué)(528400)劉忠華

數(shù)據(jù)分析是基于一定目的進(jìn)行數(shù)據(jù)收集、整理、加工,并從中提煉出有價(jià)值信息的過程.數(shù)據(jù)分析既可以是現(xiàn)狀分析、原因分析,也可以是預(yù)測分析.一個(gè)或多個(gè)科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)結(jié)果,無論是對現(xiàn)狀的識別、未來可期的收益或是優(yōu)化重要決策都十分有意義.因此,數(shù)據(jù)分析能力是人生中的一項(xiàng)重要能力,中學(xué)生正處于可塑可造的關(guān)鍵階段,抓住這個(gè)階段利用概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的特點(diǎn),進(jìn)行數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)有意義的教學(xué)舉措.

1 重視思想方法,培養(yǎng)隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維意識

概率統(tǒng)計(jì)思想由概率思想和統(tǒng)計(jì)思想兩部分組成.概率思想是通過觀察和研究隨機(jī)現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 理解隨機(jī)現(xiàn)象.統(tǒng)計(jì)思維是指利用所獲得的數(shù)據(jù), 根據(jù)問題得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.近年來,高考試題的運(yùn)算要求有所弱化, 加強(qiáng)了對概率統(tǒng)計(jì)的考查.因此, 我們應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維,即通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,充分認(rèn)識隨機(jī)數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其與形式的關(guān)系.曾經(jīng)的廣東高考題:“某數(shù)學(xué)老師身高176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān), 該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為____cm.”借助這么幾個(gè)數(shù)據(jù)對孫子的身高進(jìn)行預(yù)測,為了隨機(jī)性與盲目性,題目明確要求用線性回歸的方法進(jìn)行分析.

統(tǒng)計(jì)中也存在著很大的不確定性, 當(dāng)分析一組數(shù)據(jù)時(shí),可以用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差(或標(biāo)準(zhǔn)差),還可以用極差.所使用的方法與問題的實(shí)際情況有關(guān),甚至與數(shù)據(jù)的分散程度或重點(diǎn)有關(guān).如: 省乒乓球隊(duì)決定在小張與小王中選拔一人進(jìn)行省隊(duì),他倆近期對陣時(shí)的成績?nèi)缦?

?

你是教練,你如何選?

一看輸贏: 都贏五場,也都輸五場;勝負(fù)平均,無高低之分.

二看平均得分: 小張的平均得分12.2;小王的平均得分12.2,不是冤家不對頭,又是一樣.

三看得分的中位數(shù): 小張的中位數(shù)是11;小王的中位數(shù)也是11;又是相同.

四看得分的眾數(shù): 由排列結(jié)果,可以看出眾數(shù)又都是11;

……

怎么辦?

最后, 小張的標(biāo)準(zhǔn)差s小張≈ 4.24, 小王的標(biāo)準(zhǔn)差s小王≈4.38, 由于小張的標(biāo)準(zhǔn)差小于小王的標(biāo)準(zhǔn)差, 說明小張的發(fā)揮更穩(wěn)定,因此,選小張.

又如在一份成績單中,有的強(qiáng)調(diào)平均分,有的強(qiáng)調(diào)及格率或優(yōu)秀率, 有的側(cè)重于方差看班級成績分布的離散程度.通過培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維,使學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中不僅有數(shù)學(xué)的不確定性,而且有數(shù)學(xué)的隨機(jī)性.在不確定性思維過程中要培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)隨機(jī)思維,提高對各種問題的認(rèn)識.

在教學(xué)中,學(xué)生不僅要用隨機(jī)數(shù)學(xué)思維來描述隨機(jī)現(xiàn)象,還要體會回歸思想、獨(dú)立性檢驗(yàn)思想、抽樣思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)驗(yàn).概率統(tǒng)計(jì)問題不僅是一種教學(xué)問題,而且是指導(dǎo)學(xué)生思維方式和學(xué)習(xí)方式的問題,使學(xué)生更好地理解和掌握知識.

2 注重?cái)?shù)據(jù)分析方法的指導(dǎo),幫助學(xué)生提高數(shù)據(jù)分析能力

學(xué)生掌握的數(shù)據(jù)分析方法也有很大差異,加強(qiáng)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析方法的指導(dǎo)有兩種方法.一是注重統(tǒng)計(jì)模型的構(gòu)建過程,二是注重處理方法在教學(xué)中的滲透.

如: 在研究某細(xì)菌繁殖速度時(shí),得到時(shí)間t 與細(xì)菌個(gè)數(shù)y之間的數(shù)據(jù)如下:

?

根據(jù)上表數(shù)據(jù),當(dāng)時(shí)間為10 時(shí),細(xì)菌個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù).

甲同學(xué): 建立在散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上,很容易發(fā)現(xiàn)y 與t 具有線性相關(guān)關(guān)系,于是,計(jì)算相關(guān)系數(shù)得r = 0.9267,可見借助散點(diǎn)觀察的結(jié)果沒有問題.于是,得t,y 之間的線性回歸方程為=72.29t-146.1,令t=10,得=577;

乙同學(xué): 根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)看出y 與t3具有線性相關(guān)關(guān)系,于是,令x=t3,將所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為下列數(shù)表:

?

再計(jì)算相關(guān)系數(shù)r′= 0.9999, 可見乙同學(xué)的判斷準(zhǔn)確.立得時(shí)間t 與細(xì)菌個(gè)數(shù)y 之間的回歸方程=1.032t3-0.586,再令t=10,得=1031.

這兩個(gè)數(shù)據(jù)的的差別太大了,誰正確? 兩個(gè)的計(jì)算都沒錯(cuò).結(jié)論的可信度應(yīng)該是乙的高一點(diǎn),因?yàn)閺南嚓P(guān)系數(shù)也可以看出這一點(diǎn);但乙的做法又并不可取,因?yàn)?只有當(dāng)兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí),才能將數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本題中的兩組數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,因此,我們沒有必要再去對它進(jìn)行變換.

構(gòu)建模型是分析數(shù)據(jù)的前提.分析數(shù)據(jù)要求學(xué)生能夠選擇合理的統(tǒng)計(jì)模型,得出結(jié)論,即對數(shù)據(jù)的理解和處理,為以后的數(shù)據(jù)解釋做準(zhǔn)備.因此,學(xué)生能否熟練地運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)模型,在實(shí)際問題的過程中選擇或建立合理的模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和處理,直接決定結(jié)論得出的合理性,并能成功地解決這一問題.數(shù)據(jù)分析的過程也是建立推理模型的過程,這是學(xué)生易犯錯(cuò)誤的一部分.因此,在教學(xué)中,教師可以創(chuàng)設(shè)各種各樣的問題,如實(shí)際情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等.根據(jù)不同情境下解決實(shí)際問題的需要,指導(dǎo)學(xué)生如何比較選擇統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)缺點(diǎn),從而合理選擇或構(gòu)建解決實(shí)際問題的模型.例如,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了“環(huán)境溫度與昆蟲產(chǎn)卵數(shù)”這兩個(gè)隨機(jī)變量形成的散點(diǎn)圖,線性回歸模型或非線性回歸模型能更好地?cái)M合回歸方程嗎? 通過實(shí)際計(jì)算、比較和分析,學(xué)生可以比較兩種模型的估計(jì)值和實(shí)際值之間的差異,評價(jià)和比較未來數(shù)據(jù)中可能出現(xiàn)的變化,從而找出最接近實(shí)際的模型.因此,合理選擇統(tǒng)計(jì)模型具有重要意義.通過對統(tǒng)計(jì)模型“好”與“壞”的分析,將隨機(jī)試驗(yàn)的思想應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)中,建立合理的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?以提高數(shù)據(jù)分析能力,不斷調(diào)整通過最小二乘法和極大似然估計(jì),將該模型應(yīng)用于實(shí)際.

3 培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維

提起數(shù)學(xué)閱讀能力,大家首先想到的應(yīng)該是數(shù)學(xué)材料分析、數(shù)學(xué)語言理解,而在概率統(tǒng)計(jì)高考試題中還包括對應(yīng)用問題材料的解讀,理解生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系,從中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系,能將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,以此找到解題方法.讀懂、理清、弄通、會做是高考對數(shù)學(xué)閱讀能力的要求.對于高考試題題目,既要保持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,又要保持信息的全面性.一般情況這類題目都比較長,所以對數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

我們看一個(gè)問題: 某地2020年第二季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5 個(gè)行業(yè)的情況列表如下:

?

?

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表格中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是( )

A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)

B.建筑行業(yè)好于無聊行業(yè)

C.機(jī)械行業(yè)最緊張

D.營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

閱讀是一方面, 理解更重要, 本題計(jì)算機(jī)、營銷、機(jī)械這3 個(gè)行業(yè)的應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值分別為: 1.732、1.502、1.945,又化工的比值小于1,故A 錯(cuò).建筑的比值小于≈0.853,物流的比值大于≈1.061,故B 對,因貿(mào)易的比值不定,可以很大,故C、D 都錯(cuò),所以選(B).

本題給出很多數(shù)據(jù),閱讀這些數(shù)據(jù)如何快速的找到重點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.

身處“大數(shù)據(jù)時(shí)代”的我們,既要接受這種快餐文化,也要適應(yīng)數(shù)字閱讀方式,而作為數(shù)學(xué)學(xué)科的分支,教師既要把握學(xué)生的閱讀能力水平,又要傳播時(shí)代熱點(diǎn).數(shù)學(xué)閱讀并非簡單的文字瀏覽,相反地是許多學(xué)生沒有真正的掌握數(shù)學(xué)閱讀技巧,換句話來說,就是要通過數(shù)學(xué)思考,把屬性相同的知識進(jìn)行抽象概括.

例如在學(xué)習(xí)必修三第二章“隨機(jī)抽樣”時(shí),教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想,與初中所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識類比,學(xué)生必定會產(chǎn)生一些疑問,此時(shí)教師要及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的疑問,要有敢于提問、敢于質(zhì)疑的能力;如果學(xué)生沒有及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,這就說明學(xué)生還未掌握數(shù)學(xué)閱讀技巧,讓學(xué)生自己標(biāo)注難點(diǎn)問題,教師在課堂中將以前的知識聯(lián)系起來,幫助學(xué)生理解,針對性解決問題,讓學(xué)生更好地理解.在實(shí)際課堂中,教師不僅要注重學(xué)生的能力,同時(shí)也要盡可能多地發(fā)覺自己手中教材的價(jià)值,將數(shù)學(xué)教材作為提高學(xué)生閱讀能力和解題能力的重要工具.教師應(yīng)及時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)教材所扮演的角色,解析教材編寫的規(guī)律與意義,以此作為提升學(xué)生閱讀能力的資料.教師需要在課堂上有意識地為學(xué)生設(shè)置讓學(xué)生交流和表達(dá)的機(jī)會,讓學(xué)生自由的表達(dá),然后再規(guī)范其數(shù)學(xué)用語,改變傳統(tǒng)教學(xué)中單一的由教師用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)知識,多給與學(xué)生語言表達(dá)和數(shù)學(xué)閱讀的機(jī)會,通過不斷地練習(xí),提高自身能力,教師仍然要以數(shù)學(xué)教材為基礎(chǔ),不可脫離教材,也不可脫離實(shí)際生活,切不可讓學(xué)生盲目閱讀.

4 積極開展統(tǒng)計(jì)調(diào)查活動,創(chuàng)設(shè)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)培育的環(huán)境

目前的概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)大多以課本為中心,教師選用現(xiàn)實(shí)問題作為情境,設(shè)計(jì)問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)教學(xué)的機(jī)會較少,指導(dǎo)學(xué)生參與統(tǒng)計(jì)調(diào)查實(shí)踐活動的機(jī)會更少,久而久之學(xué)生對其統(tǒng)計(jì)意義的理解就過于片面.學(xué)生很少完整地參與數(shù)據(jù)分析的全過程,即收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù).似乎平時(shí)的練習(xí)題和考試題更多地是對已經(jīng)收集整理好的理想數(shù)據(jù)(計(jì)算量小、數(shù)據(jù)涵蓋信息少)進(jìn)行粗加工的機(jī)會較多,因此碰到具體問題時(shí)感覺到無從下手.事實(shí)上,學(xué)生在參與統(tǒng)計(jì)調(diào)查實(shí)踐活動的過程中,自然會經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程.這樣的活動也為教師選擇學(xué)生熟悉的真實(shí)案例融入教學(xué)提供了素材.在活動過程中,學(xué)生進(jìn)一步體會了數(shù)據(jù)分析的方法在解決現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用.

開展統(tǒng)計(jì)調(diào)查實(shí)踐活動為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程提供了機(jī)會,其中的每個(gè)環(huán)節(jié)都會用到具體的分析數(shù)據(jù)的方法.例如收集數(shù)據(jù)就要用到隨機(jī)抽樣,整理數(shù)據(jù)就要用到統(tǒng)計(jì)圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述,分析數(shù)據(jù)就要用到多種模型,解釋數(shù)據(jù)就要用到相關(guān)性強(qiáng)弱等等.解決實(shí)際問題時(shí),選擇的每一種分析數(shù)據(jù)的方法是否合理,是要放在整個(gè)數(shù)據(jù)分析的過程中去理解的,看這種方法是否達(dá)到了最終的統(tǒng)計(jì)目的,對總體的估計(jì)效果如何.因此,要理解選擇某種分析數(shù)據(jù)的方法的合理性,應(yīng)該放在數(shù)據(jù)分析的全過程中進(jìn)行教學(xué).

5 總結(jié)

綜上所述,在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)部分時(shí),應(yīng)注重對學(xué)生數(shù)據(jù)意識的培養(yǎng),注重完善學(xué)生對統(tǒng)計(jì)知識的掌握,加強(qiáng)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析方法的指導(dǎo).與此同時(shí),教師也要不斷加強(qiáng)自身的專業(yè)學(xué)習(xí),切實(shí)提升自身的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng),充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢,努力實(shí)現(xiàn)技術(shù)與教學(xué)的深度融合.