掌握數(shù)學(xué)理性思維,發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)*

廣東省清遠(yuǎn)市佛岡縣第一中學(xué)(511600)李 毅

在著名的《什么是數(shù)學(xué)》一書(shū)中提到:“數(shù)學(xué),作為人類(lèi)思維的表達(dá)形式,反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求.創(chuàng)造性的思維不顧某些教條的哲學(xué)信仰而繼續(xù)發(fā)展著,而如果思維屈從于這種信仰就會(huì)阻礙出現(xiàn)建設(shè)性的成就.”培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)理性思維是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí),創(chuàng)新能力的關(guān)鍵.下面將就此進(jìn)行探討.

1 訓(xùn)練優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思維的廣闊性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的智力特征.這些思維品質(zhì)的優(yōu)劣,反映了學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維發(fā)展水平的高低.訓(xùn)練和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),能提高學(xué)生的理性思維能力,使學(xué)生理性分析和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例1若關(guān)于x 的方程|x2-1|+x2+kx = 0 在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)解,求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

初次接觸此類(lèi)問(wèn)題的學(xué)生,較容易想到通過(guò)分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值,然后轉(zhuǎn)化為研究如下兩種情形: (I)當(dāng)x ≤-1 或x ≥1 時(shí),方程2x2+kx-1=0 在區(qū)間(0,2)上有兩解;(II)當(dāng)-1 ≤x ≤1 時(shí),方程kx+1 = 0 在區(qū)間(0,2)上有兩解:對(duì)于(I)學(xué)生可以寫(xiě)出滿足的三個(gè)條件:然后利用韋達(dá)定理得到這里出現(xiàn)了多處失誤,沒(méi)有考慮前提條件x ≤-1 或x ≥1 的影響,沒(méi)有考慮充要性,表現(xiàn)出學(xué)生思維膚淺而不深刻,且缺乏批判性.

此時(shí)教師問(wèn)學(xué)生: 反過(guò)來(lái)是否成立? 讓學(xué)生舉例說(shuō)明,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的根源,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性.然后教師繼續(xù)發(fā)問(wèn): 此路不通怎么辦? 教師啟示學(xué)生,從“數(shù)”的角度考慮非常困難時(shí),應(yīng)該轉(zhuǎn)向從“形”上思考,從數(shù)和形的兩個(gè)角度觀察事物是理性思維的主要表現(xiàn).

教師: 函數(shù)方程是一家,方程問(wèn)題可用函數(shù)思想去處理,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),畫(huà)出函數(shù)圖像,可把抽象隱晦的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象直觀.請(qǐng)同學(xué)們嘗試探究.

學(xué)生1: 當(dāng)-1 ≤x ≤1 時(shí), 令f(x)= kx+1, 它是過(guò)定點(diǎn)(0,1), 斜率變化的線段; 當(dāng)x ≤-1 或x ≥1 時(shí), 令f(x)=2x2+kx-1,它是對(duì)稱軸變化的拋物線.

接下來(lái)學(xué)生就不知所措了.

為了培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維,以后碰到類(lèi)似問(wèn)題能理性分析思考,教師讓學(xué)生查找原因,通過(guò)爭(zhēng)論,學(xué)生認(rèn)為將方程左邊設(shè)為一個(gè)函數(shù),圖象是運(yùn)動(dòng)變化的.這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的圖象與固定直線x 軸在區(qū)間(0,2)上的一段要有兩個(gè)交點(diǎn),情況復(fù)雜,很難處理.(這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的圖象稱為動(dòng)曲線.)

教師: 如果轉(zhuǎn)換一下方向,讓曲線固定,直線運(yùn)動(dòng)變化會(huì)如何呢? 我們只考慮如何出現(xiàn)固定曲線.

學(xué)生表現(xiàn)出很無(wú)奈的神情,教師點(diǎn)撥: 對(duì)于(I)將方程左邊的三項(xiàng)2x2,kx,-1 任意組合, 能得到什么曲線或直線? 學(xué)生寫(xiě)出三組: y = 2x2與y = kx-1 與y =-1,y =2x2-1 與y =-kx.于是學(xué)生恍然大悟, 通過(guò)移項(xiàng)將方程的項(xiàng)分離到左右兩邊, 看成兩個(gè)函數(shù).要滿足曲線固定, 直線變化, 學(xué)生選取了2x2- 1 = kx 與2x2= kx + 1 兩種情況.教師提出: 當(dāng)-1 ≤x ≤1 時(shí),方程為kx+1=0,又要怎么處理? 學(xué)生寫(xiě)出1=-kx,這樣便得到x ≤-1 或x ≥1 時(shí),2x2-1=kx;當(dāng)-1 ≤x ≤1 時(shí),1=-kx,達(dá)到和諧統(tǒng)一.固定曲線是分段函數(shù)y =變化直線是y =-kx.

解析畫(huà)出分段函數(shù)的圖象(圖1).因?yàn)閥 = -kx 是過(guò)原點(diǎn)斜率變化的直線系, 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,7)時(shí),直線與圖1 在區(qū)間(0,2)上只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)斜率-k =1和在此兩直線之間,此直線與圖1 在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)交點(diǎn),故即

圖1

問(wèn)題得到圓滿解決,學(xué)生松了一口氣.此時(shí)教師追問(wèn),能否將方程2x2+kx-1=0寫(xiě)成2x2= -kx + 1(-1 ≤x ≤ 1)? 學(xué)生松弛了的神經(jīng)又緊張起來(lái), 通過(guò)討論, 學(xué)生給出了肯定回答, 將方程1+kx = 0(-1 ≤x ≤1)寫(xiě)成2=-kx+1(-1 ≤x ≤1)同樣可以得解.緊接著,教師讓學(xué)生再思考,能否變出其他什么函數(shù)來(lái)? 使動(dòng)直接變得更加簡(jiǎn)單! 經(jīng)過(guò)一番探究,學(xué)生將方程2x2-1 = -kx 寫(xiě)成將1 = -kx 寫(xiě)成得到分段函數(shù)y =和運(yùn)動(dòng)的常數(shù)函數(shù)y = -k,畫(huà)出圖2,方程解的情況一目了然,最后,師生一起探討,求解參數(shù)方程的實(shí)根分布.

圖2

問(wèn)題的理性分析思考規(guī)律: 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有公共點(diǎn)問(wèn)題.在操作過(guò)程中,要將方程再加工,使函數(shù)圖象盡可能熟悉簡(jiǎn)單,原則上是變出動(dòng)直線定曲線來(lái).

本例的講解,通過(guò)暴露解題思維過(guò)程,由不會(huì)到能從多角度思考,尋求通法與優(yōu)法,訓(xùn)練和優(yōu)化了學(xué)生思維的批判性,深刻性,靈活性,敏捷性,廣闊性,讓學(xué)生掌握了理性思維,發(fā)展了創(chuàng)新意識(shí).

2 突破思維定式

數(shù)學(xué)解題的思維定式是指解題者在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的思維的定向預(yù)備狀態(tài),他使人用以比較固定的方式去進(jìn)行認(rèn)知或作出反應(yīng),并影響著解法的專注性,趨向性,往往走進(jìn)思維僵化呆板的封閉狀態(tài),使解題闖入死胡同.碰到這種情況,教師要引導(dǎo)學(xué)生理性分析思考問(wèn)題,突破思維定式,根據(jù)具體情況及時(shí)換向,靈活調(diào)整思路.

例2設(shè)α ∈R,函數(shù),

(1)若x = 2 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 求α的值;f(x)=αx3-3x2.

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x),x ∈[0,2]在x=0 處取得最大值,求α 的取值范圍.

一接觸第(2)小題這類(lèi)題型, 學(xué)生受思維定式的影響,會(huì)先求g(x)= f(x)+ f′(x)= αx3- 3(1 - α)x2- 6x的極值, 再與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較大小, 求得最大值.學(xué)生一般會(huì)先求導(dǎo), 然后令g′(x)= 3αx2- 6(1 - α)x -6 = 0, 再討論α 是否為零? 當(dāng)α 不為零時(shí), 極值點(diǎn)又出現(xiàn)了含有參數(shù)的二次根式, 即可能的極值點(diǎn)x =此路難,難于上珠峰.如何讓學(xué)生突破思維定式? 教師讓學(xué)生回憶最大值概念,使學(xué)生意識(shí)到g(x),x ∈[0 , 2]在x = 0 處取得最大值,則g(0)不小于g(x)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值,所以g(0)≥g(2),求得可謂是一揮而就,正當(dāng)學(xué)生高興得意時(shí),教師追問(wèn)學(xué)生:是充分必要條件嗎? 學(xué)生思維缺乏縝密性,以為求得就萬(wàn)事大吉,沒(méi)有去考慮充要性.充要性問(wèn)題是理性思維的重要內(nèi)容,思維縝密性是理性思維的重要方面,提出充要性問(wèn)題讓學(xué)生研究,讓學(xué)生在探究中掌握理性思維.(具體過(guò)程略)

應(yīng)用概念解題,可以突破思維定式,凸顯理性思維的巨大價(jià)值,獲得簡(jiǎn)潔新穎的方法,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

3 強(qiáng)化數(shù)學(xué)辯證思維

辯證思維是理性思維的重要表現(xiàn),讓學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思維辯證策略是培養(yǎng)和提高學(xué)生理性思維的重要一環(huán).在數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程中,化歸與轉(zhuǎn)化的核心就是數(shù)學(xué)辯證策略的選取和運(yùn)用.例題講解要滲透和強(qiáng)化數(shù)學(xué)辯證思維,使學(xué)生在潛移默化中領(lǐng)悟,運(yùn)用,從而掌握理性思維,發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).

例3A 是定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:

①對(duì)任意的x ∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常數(shù)L(0 ＜L ＜1), 使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|.

試求解:

(1)設(shè)φ(x)∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(2)設(shè)φ(x)∈A, 任xn∈(1,2)取, 令xn+1=φ(2xn),n = 1,2,...,證明: 給定整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)P,不等式成立.

這是一道與高等數(shù)學(xué)緊密相關(guān)的考題,它以高等數(shù)學(xué)的概念,定理為依托融于初等數(shù)學(xué)中,體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法,難度較大,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的要求很高.

第(1)小題中的唯一性(還有存在性、不變形、充要性)問(wèn)題只是理性思維的主要內(nèi)容之一.使用正難則反的辯證思維策略,運(yùn)用反證法是證明唯一性問(wèn)題的簡(jiǎn)捷方法.

講 解設(shè)存有兩個(gè)x0, x0′∈ (1,2), x0x0′, 使得x0= φ(2x0), x0= φ(2x0), 則 由φ(x)∈ A, 有|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,∴|x0-x0′|≤L|x0-x0′|,∴L ≤1,這與0 ＜L ＜1 矛盾,∴這樣的x0是唯一的.

本題可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形遷移的數(shù)學(xué)辯證思維策略去處理, 培養(yǎng)學(xué)生的理性思維, 發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.教師可將條件|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1| 變形為≤L 后發(fā)問(wèn): 左邊絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的形式表示什么? 學(xué)生立即回答是直線的斜率.利用斜率推出矛盾,別具一格.

本小題從數(shù)和形的角度求解唯一性問(wèn)題,突顯數(shù)學(xué)理性思維的巨大價(jià)值.

對(duì)于第(2)小題,學(xué)生一看到這么復(fù)雜的絕對(duì)值不等式的證明,心里就畏懼了,連碰都不想碰.這是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的好題,下面呈現(xiàn)筆者引導(dǎo)學(xué)生探索求解的過(guò)程.

教師: 仔細(xì)觀察條件,你能得到什么有用的結(jié)論?

學(xué)生1: 由xn+1= φ(2xn)及條件②可得|xn+1-xn|=|φ(2xn)-φ(2xn-1)|≤L|xn-xn-1| (1).

教師: 觀察待證不等式,生1 發(fā)現(xiàn)的結(jié)論(1)有作用嗎?如果有,又要怎樣運(yùn)用,才能逼近目標(biāo)?

學(xué)生2: 因?yàn)榇C不等式的右邊是|x2-x1|,因此,要將結(jié)論(1)遞推至|x2-x1|.

如|xn- xn-1|=|φ(2xn-1)- φ(2xn-2)|≤L|xn-1-xn-2|...

師: 結(jié)論(1)的實(shí)質(zhì)是什么?

學(xué)生: 后面相鄰兩項(xiàng)差的絕對(duì)值與其前面相鄰的兩項(xiàng)差的絕對(duì)值的不等關(guān)系.

師: 再觀察待證式,你認(rèn)為要怎樣處理才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)?

學(xué)生3: 因?yàn)榻Y(jié)論(1)絕對(duì)值內(nèi)的項(xiàng)數(shù)僅差一項(xiàng),而待證式左邊的絕對(duì)值內(nèi)的項(xiàng)數(shù)相差P 項(xiàng),所以要將P 項(xiàng)分拆為相鄰兩項(xiàng).

問(wèn)題的解決于是水到渠成.

以上的探索過(guò)程采用了倒順相通的辯證思維,分析綜合的方法;拆項(xiàng)是分合相輔的數(shù)學(xué)辯證思維策略.正確選擇和運(yùn)用辯證思維,使貌似很難的問(wèn)題迎刃而解.

講解

例1 運(yùn)用了數(shù)形遷移,引參求變(構(gòu)造函數(shù))的數(shù)學(xué)辯證思維;例2 運(yùn)用了以簡(jiǎn)馭繁的數(shù)學(xué)辯證思維;例3 運(yùn)用了正難則反、倒順想通、數(shù)形遷移、分合相輔的數(shù)學(xué)辯證思維.除此之外,常用的數(shù)學(xué)思維辯證策略還有進(jìn)退互用、化生為熟、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、以美啟真等.在解題過(guò)程中,它們相互滲透交融,有時(shí)呈現(xiàn)出交錯(cuò)混合的有機(jī)結(jié)合狀態(tài).解題時(shí),數(shù)學(xué)思維辯證策略的正確選擇,正是數(shù)學(xué)理性思維的具體反映.掌握數(shù)學(xué)理性思維對(duì)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),提升學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力是十分有效的.