新學(xué)情下數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的五維滲透模式*

廣西壯族自治區(qū)柳州市柳江中學(xué)(545100)楊 藝

2021年秋季學(xué)期,廣西啟動(dòng)實(shí)施普通高中新課程、新教材和普通高等學(xué)?？荚囌猩贫染C合改革,無(wú)論是課程、教材,還是高考模式都將展現(xiàn)新的面貌.新一輪高考改革的一個(gè)重要特征就是不分文理科,改革后的高考數(shù)學(xué)試卷也將不分文理科,所有考生都使用相同的試卷.在當(dāng)前新高考背景下,雖然降低了數(shù)學(xué)考查難度,但同時(shí)卻增加了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

1 新形勢(shì)下的新學(xué)情分析

在新形勢(shì)下,高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)面臨著諸多新問(wèn)題,教師要充分關(guān)注由此產(chǎn)生的新學(xué)情.首先, 新教材知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加,學(xué)生單位時(shí)間內(nèi)接受知識(shí)信息的量增多,輔助練習(xí)、消化的時(shí)間相對(duì)減少.其次,大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不懂知識(shí)的生成過(guò)程,單純依靠大量的習(xí)題練習(xí)保證對(duì)知識(shí)的熟悉,只關(guān)注自己是否會(huì)利用解題模板解題.這種依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是零散的、不系統(tǒng)的、效率低下的,與新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背道而馳.再次,學(xué)生長(zhǎng)期機(jī)械的解題訓(xùn)練已經(jīng)形成解題的思維定勢(shì),數(shù)學(xué)邏輯推理能力較差;數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模能力較弱.除此之外,國(guó)家“雙減”政策的實(shí)施,雖然減輕了學(xué)生在課業(yè)上的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),但是多數(shù)學(xué)生沒(méi)能提高單位時(shí)間的學(xué)習(xí)效率,導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果較差.

2 數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言以及它們的形成和發(fā)展.同時(shí),數(shù)學(xué)文化還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)教育等[1].普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的文化價(jià)值, 新課程理念下,以數(shù)學(xué)的文化價(jià)值為主題;以展示數(shù)學(xué)創(chuàng)造的結(jié)果與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程為主渠道;以全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)文化素養(yǎng)為主旨[2].數(shù)學(xué)文化是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體,是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的有效切入點(diǎn),高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)文化的滲透模式,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值,在潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 數(shù)學(xué)文化的“五維”滲透模式

在新學(xué)情背景下,筆者從大單元教學(xué)課型設(shè)計(jì)的角度對(duì)數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透模式進(jìn)行探索,形成“五維”滲透模式.接下來(lái),筆者將結(jié)合2019年新教材高中數(shù)學(xué)(人教A 版)第四章必修第一冊(cè)“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的不同課型從因文設(shè)景、借文明理、依文達(dá)思、引文提升、利文拓展五個(gè)維度淺談數(shù)學(xué)文化的滲透模式.

3.1 單元起始課,因文設(shè)景

HPM 視角下, 數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程都蘊(yùn)藏著深厚的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn),揭示著數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的起源與發(fā)展,數(shù)學(xué)家追求真理和不斷探索的精神,數(shù)學(xué)對(duì)政治、經(jīng)濟(jì)、生活的重要影響等.筆者認(rèn)為,單元起始課基于HPM 視角的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情景, 遵循“數(shù)學(xué)知識(shí)的背景——數(shù)學(xué)知識(shí)的生成——數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)——數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用”的數(shù)學(xué)文化滲透路徑,更有利于學(xué)生對(duì)本章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)有整體認(rèn)識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,主動(dòng)探索新知識(shí).大單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念下,單元起始課就是要通過(guò)HPM 視角向?qū)W生揭示大背景、提出大問(wèn)題、構(gòu)建大框架、明確大方向,為本單元后繼學(xué)習(xí)形成目標(biāo)導(dǎo)向、生成探究路徑、明確研究方法、激活學(xué)習(xí)動(dòng)力.

案例1從數(shù)學(xué)文化的角度,教師可以基于HPM 視角在單元起始課中創(chuàng)設(shè)如下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情景.

15 世紀(jì),數(shù)學(xué)著作《算學(xué)三部》中有這樣的一組雙數(shù)列:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20

它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系: 上一列數(shù)的“×,÷”運(yùn)算對(duì)應(yīng)下一列數(shù)的“+,-”運(yùn)算,如上一列數(shù)4×64 = 256,對(duì)應(yīng)下一列數(shù)2+6=8.到了16 世紀(jì),施蒂費(fèi)爾(德國(guó),數(shù)學(xué)家)對(duì)上一列數(shù)增加推斷出乘方和開(kāi)方運(yùn)算法則.但當(dāng)時(shí)還沒(méi)有指數(shù)概念,單靠這種對(duì)應(yīng)關(guān)系面對(duì)大數(shù)的運(yùn)算顯得束手無(wú)策,很不實(shí)用.與此同時(shí),各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)都在快速發(fā)展,需要對(duì)計(jì)算提出更快的速度、更高的準(zhǔn)確度.1614年,一部數(shù)學(xué)著作《奇妙的對(duì)數(shù)說(shuō)明書(shū)》(蘇格蘭,納皮爾)橫空出世,極大提高了大數(shù)的運(yùn)算效率,也標(biāo)志著對(duì)數(shù)概念的誕生.不久,布里格斯(英國(guó),數(shù)學(xué)家)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),使1 的對(duì)數(shù)為0,10的對(duì)數(shù)為1 等,使對(duì)數(shù)的運(yùn)算更加簡(jiǎn)便實(shí)用,整理出版了常用對(duì)數(shù)表.到17 世紀(jì),笛卡兒給出了指數(shù)概念,人們開(kāi)始用冪指數(shù)來(lái)定義對(duì)數(shù).之后,真正揭示指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系的是歐拉,也是歐拉創(chuàng)用的.對(duì)數(shù)被稱為是17 世紀(jì)最重要的方法之一,引發(fā)了計(jì)算上的革命,拉普拉斯(法國(guó),數(shù)學(xué)家)評(píng)價(jià)道:“對(duì)數(shù)解決了大數(shù)計(jì)算問(wèn)題,延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命[3].”

基于HPM 視角創(chuàng)設(shè)上述情景,向?qū)W生揭示了對(duì)本單元的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程, 激發(fā)學(xué)生的求知欲, 勾勒了數(shù)學(xué)史上相關(guān)內(nèi)容的探究過(guò)程.在課堂教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“掌握指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算——回顧探究函數(shù)概念與性質(zhì)的一般方法——借鑒研究?jī)绾瘮?shù)的過(guò)程與方法——學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)——探索用二分法求方程的近似解——實(shí)際應(yīng)用構(gòu)建數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)框架.進(jìn)而,在課堂教學(xué)中生成“背景——類比——遷移——應(yīng)用”的探究路徑.通過(guò)建立指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,以培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,進(jìn)一步理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.

3.2 單元新授課,借文明理

案例2單元新授課從數(shù)學(xué)文化的角度,構(gòu)建單元新授課模式,深刻揭示研究函數(shù)及其性質(zhì)的一般數(shù)學(xué)思想和方法.

圖1 基于數(shù)學(xué)文化的單元新授課模式

單元新授課是落實(shí)單元核心知識(shí)的關(guān)鍵課型,也是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵落腳點(diǎn).數(shù)學(xué)核心知識(shí)的生成有著嚴(yán)密的邏輯推理論證,具有數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的支撐.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)核心知識(shí)的主動(dòng)探究過(guò)程,讓學(xué)生在自我探索和合作探究的過(guò)程中,加深對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神等數(shù)學(xué)文化的體悟.學(xué)生借助數(shù)學(xué)文化的體悟過(guò)程,明白數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)密性和理性思維的魅力.將數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,學(xué)生在單元新授課不僅掌握新知識(shí),還聚焦數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)能力的提升,更能促使學(xué)生學(xué)會(huì)用理性思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,形成探究學(xué)習(xí)的能力.

3.3 單元鞏固課,依文達(dá)思

案例3單元鞏固課教師分析學(xué)生的反饋性信息,在課堂教學(xué)中從不同類型的反饋中滲透數(shù)學(xué)文化,達(dá)成反思性學(xué)習(xí)效果.

圖2 基于數(shù)學(xué)文化的單元鞏固課模式

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng)有利于他們深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì),這一能力是學(xué)生適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展并終身受益的重要能力[4].單元鞏固課融合傳統(tǒng)的習(xí)題課與講評(píng)課為一體,在學(xué)生作業(yè)、習(xí)題、測(cè)試等反饋性信息形成后,教師有針對(duì)性的進(jìn)行鞏固性教學(xué)設(shè)計(jì),依據(jù)反饋信息有針對(duì)性地進(jìn)行反思性教學(xué)以達(dá)到單元知識(shí)整體鞏固的作用.數(shù)學(xué)文化在單元鞏固課的呈現(xiàn)角度可以從“文字語(yǔ)言——數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言——數(shù)學(xué)圖形言語(yǔ)”的轉(zhuǎn)化中挖掘,也可以從“數(shù)學(xué)理論題——數(shù)學(xué)應(yīng)用題——學(xué)科融合題”的角度賞析,還可以從“數(shù)學(xué)母題(中外名題)——數(shù)學(xué)原題——數(shù)學(xué)變式題——數(shù)學(xué)探究題”的數(shù)學(xué)題型演變?yōu)檠由斓?在課堂教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘錯(cuò)題背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維過(guò)程、反思思維誤區(qū),從而提升思維水平、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).依靠數(shù)學(xué)文化在單元鞏固課中的滲透,提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生達(dá)成“思誤、思辨、思源、思變”的反思性學(xué)習(xí)能力,從而鞏固單元知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí).

3.4 單元梳理課,引文提升

案例4單元梳理課引用數(shù)學(xué)史為線索,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本單元的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),參考如下思維導(dǎo)圖展開(kāi)單元梳理課的教學(xué)活動(dòng).

圖3 基于數(shù)學(xué)文化的單元梳理課模式

單元梳理課是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié).在此之前,學(xué)生對(duì)本單元的核心知識(shí)與重點(diǎn)方法已有了較為清晰的認(rèn)識(shí),課堂教學(xué)中教師需要進(jìn)一步的引導(dǎo)學(xué)生梳理本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)、歸納思想方法,尋找知識(shí)系統(tǒng)的邏輯起點(diǎn)及邏輯主線.在單元梳理過(guò)程中,引用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)文化載體,構(gòu)建大單元模塊思維導(dǎo)圖,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化,加深對(duì)單元知識(shí)內(nèi)在邏輯聯(lián)系的認(rèn)識(shí),進(jìn)而提升學(xué)生的思維能力與學(xué)習(xí)質(zhì)量.

3.5 單元探究課,利文拓展

在新高考背景下,高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)科融合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與時(shí)代熱點(diǎn)的聯(lián)系,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián),反映數(shù)學(xué)中工具理性與價(jià)值理性的交織,架起數(shù)學(xué)思想和方法與實(shí)際問(wèn)題的橋梁.在單元探究課中,教師可以利用數(shù)學(xué)文化的外延引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目式探究學(xué)習(xí).利用數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域的融合等具有數(shù)學(xué)文化背景的問(wèn)題為驅(qū)動(dòng),以學(xué)生為主體設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)探究性學(xué)習(xí)項(xiàng)目,促進(jìn)理論與實(shí)踐一體化,實(shí)現(xiàn)學(xué)生由知識(shí)本位向素養(yǎng)本位的轉(zhuǎn)變.利用滲透數(shù)學(xué)文化的單元探究課,進(jìn)一步拓展學(xué)生的知識(shí)面,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)建模能力.

案例5單元探究課結(jié)合時(shí)代熱點(diǎn),以數(shù)學(xué)著名理論為基礎(chǔ)滲透數(shù)學(xué)文化,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),設(shè)計(jì)項(xiàng)目式單元探究課總體思路如下.

項(xiàng)目探究主題內(nèi)容2021年5月,“共和國(guó)勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平先生辭世,他的功績(jī)將永遠(yuǎn)被人們銘記: 在他和幾代科學(xué)家的共同努力下,中國(guó)用全世界7%的耕地,養(yǎng)活了全世界22%的人口.目前,我國(guó)年人均糧食占有量已經(jīng)穩(wěn)定在470 千克以上,遠(yuǎn)高于國(guó)際公認(rèn)的400 千克糧食安全線.請(qǐng)同學(xué)們查閱相關(guān)資料,探究假如沒(méi)有雜交水稻的推廣,沒(méi)有合理的人口、土地政策,僅以新中國(guó)成立時(shí)的自然條件為前提,我國(guó)年人均糧食占有量會(huì)如何變化?

項(xiàng)目探究預(yù)備知識(shí)根據(jù)英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯《人口論》的觀點(diǎn)“人口呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng),而生活資料呈直線型增長(zhǎng)”.

項(xiàng)目探究數(shù)據(jù)收集根據(jù)馬爾薩斯的理論,自然狀態(tài)下人口增長(zhǎng)模型為y = y0ert(其中t 表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間,y0表示t = 0 時(shí)的人口數(shù),r 表示人口的年平均增長(zhǎng)率,y 表示t年后的人口數(shù),單位: 萬(wàn)人).根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站的數(shù)據(jù),我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196 萬(wàn)和67207萬(wàn).根據(jù)馬爾薩斯的理論,把自然狀態(tài)下糧食增長(zhǎng)模型近似看作直線型模型,通過(guò)查閱我國(guó)1950年末至1959年末糧食產(chǎn)量,得到糧食增長(zhǎng)模型近似為y = 600t+13600(其中t 表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間,y 表示第t年的糧食年產(chǎn)量,單位: 萬(wàn)噸).

項(xiàng)目探究數(shù)據(jù)處理根據(jù)收集的數(shù)據(jù), 以1950年末的數(shù)據(jù)作為t = 0 時(shí)的人口數(shù), 即y0= 55196, 則67207=55196e9r,ln 67207=ln(55196e9r)=ln 55196+9r,故9r =ln 67207-ln 55196 ≈9×0.02188,所以r =0.02188,得出人口增長(zhǎng)模型為y =55196e0.02188t≈55196×1.022t.

項(xiàng)目探究模型建立表示從1950年末開(kāi)始第t年的年人均糧食占有量,單位: 噸/人.

項(xiàng)目探究模型應(yīng)用

應(yīng)用1研究上述年人均糧食占有量模型的變化趨勢(shì).

研究過(guò)程假設(shè)f(k)＜f(k-1),即化簡(jiǎn)得600k + 13600 ＜ (600k +13000)er, 即600k + 13600 ＜(600k + 13000)× 1.022, 解得0.132k ＞3.14,k ＞23.8,因?yàn)閗 為正整數(shù),所以正整數(shù)k的最小值為24.

研究結(jié)果從1950年末開(kāi)始前,在自然狀態(tài)下,前23年我國(guó)年人均糧食占有量逐年增加,到第24年開(kāi)始我國(guó)年人均糧食占有量將逐年減少.

應(yīng)用2研究在自然狀態(tài)下,我國(guó)年人均糧食占有量是否能達(dá)到國(guó)際公認(rèn)的400 千克糧食安全線.

研究過(guò)程在自然狀態(tài)下,我國(guó)年人均糧食占有量最大值為

即0.301×1000=301 ＜400.

研究結(jié)果在自然狀態(tài)下按此模型,我國(guó)年人均糧食占有量不能達(dá)到國(guó)際公認(rèn)的400 千克糧食安全線.

4 結(jié)束語(yǔ)

在新學(xué)情背景下,數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂中的滲透是必然趨勢(shì),教師要在課堂教學(xué)中讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中真正產(chǎn)生文化共鳴,提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).教師通過(guò)對(duì)單元知識(shí)的整合、重構(gòu),在不同課型中采用因文設(shè)景、借文明理、依文達(dá)思、引文提升、利文拓展等模式滲透數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈,認(rèn)真反思自己的學(xué)習(xí)方法、態(tài)度和能力,讓數(shù)學(xué)課堂處處充滿數(shù)學(xué)文化的氣息.從而,讓學(xué)生真正地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)美的數(shù)學(xué)文化,進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).