考慮黏聚力與內(nèi)摩擦角的變坡面淺埋偏壓隧道圍巖壓力計算方法

杜建明，房倩

（隧道及地下工程教育部工程研究中心（北京交通大學(xué)），北京 100044）

偏壓隧道是指由于地形條件不對稱或者地質(zhì)巖層差異等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承受顯著偏壓荷載的隧道［1］.相比于無偏壓隧道，偏壓隧道結(jié)構(gòu)受力更復(fù)雜、施工風(fēng)險更高，如隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計或施工方案不合理，則極易誘發(fā)安全事故，尤其在埋深較淺的洞口段.因?yàn)閲鷰r壓力的合理計算是淺埋偏壓隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計與施工方案編制的基礎(chǔ)，所以對淺埋偏壓隧道圍巖壓力計算方法開展深入研究具有重要的科學(xué)價值與工程意義.

目前，眾多學(xué)者通過現(xiàn)場實(shí)測［2-4］、模型試驗(yàn)［5-9］、數(shù)值計算［10-11］以及理論分析［12-16］等手段對淺埋偏壓隧道圍巖壓力分布特征以及計算方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究.在現(xiàn)場實(shí)測方面，高杰［2］通過對鶴大高速公路回頭溝隧道圍巖壓力分布特征進(jìn)行持續(xù)現(xiàn)場監(jiān)測，分析了偏壓隧道圍巖壓力的動態(tài)演化過程.蘇運(yùn)基［4］對貴州黔春大道七沖村二號淺埋偏壓隧道圍巖壓力變化規(guī)律進(jìn)行了現(xiàn)場監(jiān)測，分析了淺埋偏壓大跨度隧道圍巖壓力的分布特性.在模型試驗(yàn)方面，雷明峰等［5-6］利用室內(nèi)相似物理模型試驗(yàn)對地表偏壓角對淺埋偏壓隧道圍巖壓力的影響規(guī)律進(jìn)行了系統(tǒng)研究.辛毓龍［7］根據(jù)相似物理模型試驗(yàn)對不同地形偏壓條件下圍巖壓力分布特征進(jìn)行了研究分析，并利用隧道各對稱位置的圍巖徑向應(yīng)力定義偏壓系數(shù)來衡量隧道的偏壓程度，通過大量物理模型試驗(yàn)給出了地形偏壓隧道偏壓程度判定表.在數(shù)值計算方面，王傳智［10］利用有限差分?jǐn)?shù)值軟件對十堰至天水聯(lián)絡(luò)線高速公路新安嶺隧道不同施工工法下圍巖壓力分布特點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)值分析.李建鵬［11］通過數(shù)值計算對三種不同施工工法（單側(cè)壁導(dǎo)坑法、三臺階臨時仰拱法以及交叉中隔壁法）下淺埋偏壓隧道圍巖壓力分布特性進(jìn)行了研究分析.在理論分析方面，邱業(yè)建等［12］結(jié)合模型試驗(yàn)結(jié)果與相關(guān)聯(lián)流動法則，構(gòu)建了淺埋偏壓隧道破壞模型及其對應(yīng)的速度場，然后根據(jù)虛功原理推導(dǎo)出淺埋偏壓隧道圍巖壓力的極限上限解.嚴(yán)濤等［13］運(yùn)用極限平衡法推導(dǎo)了鄰路基變坡條件下淺埋偏壓隧道圍巖壓力解析解.張治國等［14-15］采用擬靜力法，通過極限受力分析，在考慮水平地震力與豎向地震力的綜合作用后，將巖土體黏聚力作為獨(dú)立參數(shù)進(jìn)行考慮，進(jìn)而得出地震作用力下考慮黏聚力的淺埋偏壓隧道圍巖壓力解析解.上述研究成果極大地豐富了淺埋偏壓隧道圍巖壓力分布特征及計算方法的研究內(nèi)容.

然而，這些研究內(nèi)容均假設(shè)隧道拱頂?shù)乇頌橐粭l斜直面，這種假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中不規(guī)則變坡面的地形地質(zhì)條件存在一定差異.為此，劉翔等［16］基于極限平衡法提出了變坡面條件下淺埋偏壓隧道松動圍巖壓力的計算方法，并分析了地表坡度變化對水平側(cè)壓力系數(shù)的影響規(guī)律.但是，劉翔等［16］所提方法未對黏聚力及內(nèi)摩擦角影響下水平側(cè)壓力系數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行深入研究，也未把黏聚力與內(nèi)摩擦角作為獨(dú)立參數(shù)進(jìn)行公式推導(dǎo)，從而使得其所提方法不能對環(huán)境變化引起巖土體黏聚力突變時圍巖壓力的變化規(guī)律進(jìn)行研究，導(dǎo)致該方法應(yīng)用依然存在一定的局限性.

為此，本文基于極限平衡法原理，在公式推導(dǎo)過程中加入黏聚力與內(nèi)摩擦角分算方法，從而將巖土體黏聚力與內(nèi)摩擦角轉(zhuǎn)變?yōu)楠?dú)立變量，進(jìn)而得出獨(dú)立考慮黏聚力與內(nèi)摩擦角的變坡面淺埋偏壓隧道圍巖壓力計算方法；然后，通過與規(guī)范和劉翔等［16］所提方法進(jìn)行對比分析驗(yàn)證了本文所提方法的合理性；最后，利用算例分析變坡面淺埋偏壓隧道深埋側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)的影響因素.

1 圍巖壓力計算公式推導(dǎo)

1.1 計算模型

圖1 為考慮黏聚力與內(nèi)摩擦角的變坡面淺埋偏壓隧道圍巖壓力荷載計算示意圖.為了便于后文計算公式推導(dǎo)，將圍巖壓力計算模型簡化為平面應(yīng)變問題，現(xiàn)取縱向長度1 m 的隧道作為研究對象，從而將三維模型轉(zhuǎn)化為二維模型進(jìn)行研究.其中，EFG1Gn為不規(guī)則變坡面的地面線型；AF（淺埋）與BG1（深埋）分別為隧道兩側(cè)底部距地面的埋深；CF與DG1所在平面為隧道兩側(cè)楔形體（AFE與BG1Gn）與隧道拱頂上覆巖土體（CDG1F）之間的接觸平面；AE與BGn所在平面為隧道兩側(cè)楔形體（AFE與BG1Gn）假定滑動破裂面.

圖1 圍巖壓力荷載計算示意圖Fig.1 Sketch of load calculation diagram for surrounding rock pressure

1.2 計算假設(shè)

為了便于后文計算公式推導(dǎo)，進(jìn)行如下假設(shè)：

1）隧道周邊巖土體為均勻連續(xù)、各向同性體，且服從摩爾-庫倫屈服準(zhǔn)則.選擇隧道埋深大于等效荷載高度且小于等效荷載高度（2.0～2.5）倍作為隧道淺埋判定準(zhǔn)則［17］；

2）隧道拱頂上覆巖土體CDG1F下沉過程中，帶動隧道兩側(cè)楔形體AFE與BG1Gn分別沿各自的假定破裂面AE與BGn滑動，與此同時，隧道兩側(cè)楔形體AFE與BG1Gn對拱頂上覆巖土體CDG1F施加阻力作用；

3）滑動破裂面為平面，破裂角β=45°+φ/2，且淺埋情況下滑動破裂面能夠發(fā)展至地表.

1.3 計算公式

1.3.1 隧道周邊巖土體自重

圖2 為隧道右側(cè)楔形體BG1Gn截面示意圖.其中，G1、G2、G3、…、Gi、…、Gn依次為變坡面G1Gn段變坡點(diǎn)；α1、α2、α3、…、αi、…、αn依次為變坡面G1Gn段與水平面之間的坡角（地面）；δ1、δ2、δ3、…、δi依次為變坡面G1Gn段相鄰變坡點(diǎn)與隧道右側(cè)底角B點(diǎn)連線的夾角（巖土體）.當(dāng)楔形體位于隧道右側(cè)時，夾角δi為正值；反之，當(dāng)楔形體位于隧道左側(cè)時，夾角δi為負(fù)值.其中，W表示隧道頂部四棱體CDG1F自重，W1表示隧道左側(cè)楔形體AFE自重，W2表示隧道右側(cè)楔形體BG1Gn自重.由圖2可得：

圖2 右側(cè)楔形體截面示意圖Fig.2 Sketch of cross section of right wedge

右側(cè)楔形體BG1Gn截面積Sr的計算公式可表示為：

右側(cè)楔形體BG1Gn自重W2的計算公式可表示為：

令αi和δi的函數(shù)為K2，即K2的表達(dá)式可表示為：

則右側(cè)楔形體BG1Gn自重W2的計算公式可簡化表示為：

式中：γ為巖土體重度.

同理可求得左側(cè)楔形體AFE自重W1的計算公式與右側(cè)楔形體BG1Gn自重W2的計算公式相同，只是左側(cè)變坡面處夾角δi為負(fù)值，因?yàn)樽髠?cè)與右側(cè)楔形體截面示意圖形式相反.

圖3 為隧道頂部四棱體CDG1F截面示意圖.參數(shù)Fi和α1i含義與圖2中Gi和αi相類似.由圖3可知，

圖3 四棱體CDG1F截面示意圖Fig.3 Sketch of cross section of quadrangular CDG1F

各分塊面積的計算公式可表示為：

隧道頂部四棱體CDG1F截面積St的計算公式可表示為：

隧道頂部四棱體CDG1F自重W的計算公式可簡化表示為：

1.3.2 隧道兩側(cè)楔形體推力

圖4 為隧道右側(cè)楔形體BG1Gn受力分析示意圖，取水平方向?yàn)閄軸，豎直方向?yàn)閅軸.其中，W2為楔形體BG1Gn自重；T2與τ21分別為隧道拱頂巖土體下沉?xí)r施加在楔形體BG1Gn上的推力與抗剪力，且τ21=c1H2；F2與τ22分別為右側(cè)滑動破裂面BGn下部靜止巖土體施加在楔形體BG1Gn上的摩擦阻力與抗剪力，且τ22=c2L2；q與P分別為作用在隧道拱頂?shù)乇淼木己奢d與集中荷載，令F0=qd0+P，d0為楔形體BG1Gn上側(cè)G1Gn邊的水平距離；c1與c2分別為楔形體BG1Gn左側(cè)與右側(cè)黏聚力；θ與φ分別為楔形體BG1Gn左側(cè)與右側(cè)內(nèi)摩擦角；L2為楔形體BG1Gn右側(cè)BGn邊長度.因?yàn)槊鍮Gn為假定滑動破裂面，而面BG1為非假定滑動破裂面，所以面BG1上的滑動阻力要小于面BGn，故假設(shè)：

式中：ξ的取值參考文獻(xiàn)［18］；η為比例系數(shù)，且0＜η＜1.

根據(jù)圖4中楔形體受力平衡，可得：

圖4 右側(cè)楔形體受力示意圖Fig.4 Sketch of force analysis of right wedge

由式（11）可得：

其中：

式中：λ2為隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù).

同理可求得左側(cè)楔形體AFE所受推力T1與水平側(cè)壓力系數(shù)λ1的計算公式與右側(cè)楔形體相同，只是左側(cè)變坡面處夾角δi為負(fù)值，因?yàn)樽髠?cè)與右側(cè)楔形體截面示意圖形式相反.根據(jù)普氏理論［19］，可假設(shè)滑動破裂角β=45+φ/2.根據(jù)公式（12）可分別求出隧道右側(cè)與左側(cè)所提供的推力T2與T1，進(jìn)而就可對隧道周邊圍巖壓力進(jìn)行求解.

1.3.3 隧道周邊圍巖壓力

圖5 為隧道頂部四棱體CDG1F受力分析示意圖.T′1與T′2分別為隧道兩側(cè)巖土體施加在隧道頂部四棱體CDG1F上的推力；τ′11與τ′21分別為隧道兩側(cè)巖土體施加在隧道頂部四棱體CDG1F上的抗剪力，其余符號意義同前.由圖5 可知，隧道拱頂圍巖壓力Q的計算公式可表示為：

圖5 四棱體CDG1F受力示意圖Fig.5 Sketch of force analysis of quadrangular CDG1F

右側(cè)水平側(cè)壓力的計算公式可表示為：

同理可求得左側(cè)水平側(cè)壓力e11、e12的計算公式與右側(cè)e21、e22相同，原因同前.故只需將右側(cè)水平側(cè)壓力計算公式中的參數(shù)λ2、h2和H2替換為左側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)計算參數(shù)λ1、h1和H1即可.

2 對比與驗(yàn)證

如果令c1=c2=c，即比例系數(shù)η=1，則式（12）與式（13）的簡化形式與劉翔等［16］所推公式形式相同.進(jìn)一步假設(shè)巖土體黏聚力為零（令c1=0，c2=0），拱頂?shù)孛婕泻奢d與均布荷載為零（令P=0，q=0），拱頂?shù)孛鏋橐粋€斜直線時（令α1=α2=αi=αn=0），當(dāng)采用計算內(nèi)摩擦角代替摩擦角時（φ=φc，θ=θc），則式（4）可簡化為：

同時可將式（13）簡化為：

簡化后的式（17）與規(guī)范公式相同［17］.因此，劉翔等［16］方法與規(guī)范方法實(shí)際上都可看成是文章的一個特例.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證文章所推公式的合理性及準(zhǔn)確性，現(xiàn)通過一個簡單算例對文章計算結(jié)果與劉翔等［16］方法計算結(jié)果進(jìn)行對比分析.所用算例參數(shù)如下：隧道幾何參數(shù)取b=15 m，h=10 m，h1=12 m，h2=18 m，α1=30°，α2=30°；力學(xué)參數(shù)參考文獻(xiàn)［20］取值如表1 所示，破裂角β2=45°+φ/2，則δ1+δ2=90°-β2=45°-φ/2.采用文章分開考慮黏聚力c2與內(nèi)摩擦角φ的計算方法與劉翔等［16］未分開考慮的計算方法進(jìn)行對比分析，計算所得隧道深埋側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2與推力T2，如表2 所示.可知，文章計算方法所得水平側(cè)壓力系數(shù)λ2比劉翔等［16］方法計算所得結(jié)果小0.08～0.14，推力T2比其小0.21～7.80 MPa；在圍巖等級較低時，如IV 級圍巖，文章計算方法與劉翔等［16］方法計算所得結(jié)果較為相近，λ2的差異僅為0.08，T2的差異僅為3.1%；隨著圍巖級別提高，兩者誤差逐漸增大，文章計算結(jié)果顯著低于劉翔等［16］方法計算所得結(jié)果，其主要原因是文章計算方法中將黏聚力c2與內(nèi)摩擦角φ兩個力學(xué)參數(shù)作為獨(dú)立變量進(jìn)行考慮.需要說明的是，λ2與T2存在差異還可能受夾角δ1與δ2取值影響.

表1 巖土體力學(xué)參數(shù)Tab.1 Mechanical parameter of rock/soil mass

表2 文章方法與劉翔等［16］公式計算結(jié)果對比Tab.2 Calculated results comparison of paper and the formula of Liu et al［16］

通過與規(guī)范法或基于規(guī)范法的計算公式對比可知，文章推導(dǎo)的水平側(cè)壓力系數(shù)（式（13））相當(dāng)于對規(guī)范計算公式進(jìn)行了綜合修正，即通過參數(shù)P與q來考慮隧道拱頂?shù)孛婕泻奢d與均布荷載的影響；通過參數(shù)c1/θ與c2/φ將黏聚力和內(nèi)摩擦角作為獨(dú)立因素來考慮，能夠更為準(zhǔn)確地計算淺埋隧道圍巖壓力［20］，同時還可以考慮環(huán)境因素（如降雨等）影響下黏聚力急劇變化帶來的影響；通過參數(shù)K來考慮隧道拱頂?shù)孛鏋樽兤旅娴那闆r，因?yàn)镵是隧道拱頂?shù)孛孀兤露闻c水平面之間夾角αi以及相鄰變坡點(diǎn)與隧道底角A/B點(diǎn)連線夾角δi的函數(shù).因此，文章所推公式比規(guī)范法或基于規(guī)范法的計算公式更能反映變坡面淺埋偏壓隧道圍巖壓力分布特征的真實(shí)情況.

3 水平側(cè)壓力系數(shù)敏感性分析

水平側(cè)壓力系數(shù)與圍巖壓力密切相關(guān)，當(dāng)水平側(cè)壓力系數(shù)增加時，隧道兩側(cè)巖土體對拱頂上覆巖土體施加的推力增大，水平側(cè)壓力隨之增大，拱頂圍巖壓力隨之減??；反之亦然.所以水平側(cè)壓力系數(shù)的變化趨勢在一定程度上能夠反映圍巖壓力的變化規(guī)律，故對水平側(cè)壓力系數(shù)的影響因素進(jìn)行敏感性分析.

假設(shè)隧道拱頂?shù)孛婕泻奢dP與均布荷載q均不存在，即P=0，q=0，結(jié)合式（10）對式（13）進(jìn)行分析可知，影響隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2的因素主要是假定滑動破裂面BGn上的內(nèi)摩擦角φ以及黏聚力c2、參數(shù)K2，而影響參數(shù)K2的因素主要是坡角αi與夾角δi，故內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c2、坡角αi以及夾角δi對水平側(cè)壓力系數(shù)λ2產(chǎn)生影響.假設(shè)隧道右側(cè)存在2個變坡面時，即坡角αi與夾角δi只有α1、α2與δ1、δ2的情況進(jìn)行研究分析.隧道幾何參數(shù)、圍巖力學(xué)參數(shù)取值同第2 節(jié)中簡單算例取值，圍巖級別選擇Ⅴ級圍巖.

3.1 坡角αi敏感性分析

令坡角α2分別取5°、10°、15°、20°、25°以及30°，計算并繪制隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2分別隨坡角α1變化的影響規(guī)律曲線，如圖6 所示.可知，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨坡角α1的增加呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢、以α2=10°為例，當(dāng)坡角α1由5°增加至30°時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2由0.406 0 增加至0.459 9，增幅達(dá)13.28%；以α1=10°為例，當(dāng)坡角α2由5°增加至30°時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2由0.404 3 增加至0.459 9，增幅達(dá)13.75%，表明在參數(shù)取值相同的情況下，坡角α2對水平側(cè)壓力系數(shù)λ2的影響程度要略大于坡角α1，其主要原因是坡角α2所影響的巖土體范圍較大.

圖6 坡角αi敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis for slope αi

3.2 夾角δi敏感性分析

令坡角α1/α2分別取5°、10°、15°、20°、25°以及30°，計算并繪制隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨夾角δ1變化的影響規(guī)律曲線，如圖7所示.可知，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨夾角δ1的增加（δ1+δ2為定值）呈現(xiàn)出先減小后增大的二次型變化趨勢.當(dāng)夾角δ1為定值時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨著坡角α1/α2的增大而增大（除δ1=0°/30°）；當(dāng)δ1=0°、δ2=30°，δ1=30°、δ2=0°時，地表變坡面無變坡點(diǎn)，簡化為一個斜直面，故δ1=0°/30°時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2為一定值.

圖7 夾角δi敏感性分析Fig.7 Sensitivity analysis for angle δi

3.3 內(nèi)摩擦角φ敏感性分析

令坡角α1分別取5°、10°、15°、20°、25°以及30°，計算并繪制隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨內(nèi)摩擦角φ變化的影響規(guī)律曲線，如圖8所示.可知，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2與內(nèi)摩擦角φ呈現(xiàn)線性負(fù)相關(guān)性，即水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨內(nèi)摩擦角φ的增大逐漸減小，以α1=15°為例，當(dāng)內(nèi)摩擦角φ由0°增加至30°時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2由1.332 8 減小至0.469 4，降幅達(dá)66.48%，表明內(nèi)摩擦角φ對水平側(cè)壓力系數(shù)λ2影響較大.

圖8 內(nèi)摩擦角φ敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis for internal friction angle φ

3.4 黏聚力c2敏感性分析

令坡角α1分別取5°、10°、15°、20°、25°以及30°，計算并繪制隧道右側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨黏聚力c2變化的影響規(guī)律曲線，如圖9 所示.可知，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2與黏聚力c2呈現(xiàn)線性負(fù)相關(guān)性，即水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨黏聚力c2的增大逐漸減小.以α1=15°為例，當(dāng)黏聚力c2由0 kPa 增加至30 kPa 時，水平側(cè)壓力系數(shù)λ2由0.503 0減小至0.471 1，降幅達(dá)6.34%，表明黏聚力c2對水平側(cè)壓力系數(shù)λ2影響較小.但是，將黏聚力作為獨(dú)立參數(shù)能夠有效考慮由于環(huán)境因素（如降雨）導(dǎo)致巖土體黏聚力變化帶來的不利影響.

圖9 黏聚力c2敏感性分析Fig.9 Sensitivity analysis for cohesion c2

4 結(jié)論

1）本文采用極限平衡法推導(dǎo)出變坡面情況下獨(dú)立考慮黏聚力與內(nèi)摩擦角的淺埋偏壓隧道圍巖壓力計算方法.其中，黏聚力的分算有利于考慮環(huán)境因素（如降雨）引起的巖土體力學(xué)參數(shù)（黏聚力）急劇變化帶來的不利影響，而內(nèi)摩擦角對隧道深埋側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)影響較大，表明將內(nèi)摩擦角進(jìn)行分算對圍巖壓力計算具有重要意義.

2）若令比例系數(shù)η=1.0，得到的公式與劉翔等［16］方法計算所得相同，進(jìn)一步，若令滑動破裂面黏聚力c1=c2=0，滑動破裂面內(nèi)摩擦角φ取計算內(nèi)摩擦角φc，得到的公式與規(guī)范方法相同，表明劉翔等［16］方法與規(guī)范方法均可視為文章所提方法的一個特例.

3）通過算例分析坡角αi、夾角δi、黏聚力c2以及內(nèi)摩擦角φ對隧道深埋側(cè)水平側(cè)壓力系數(shù)λ2的影響規(guī)律.水平側(cè)壓力系數(shù)λ2隨坡角αi的增加逐漸增大，隨夾角δi的增加呈現(xiàn)先減小后增加的二次型變化，隨黏聚力c2與內(nèi)摩擦角φ的增加逐漸減小.