含彈性極限的Burgers模型研究

劉 克

(重慶市智翔鋪道技術(shù)工程有限公司，重慶 400067)

0 引 言

高溫環(huán)境中的瀝青混合料具有顯著塑性。塑性變形積累是瀝青路面車轍病害的實質(zhì)[1]。目前車轍預(yù)估主要基于經(jīng)驗法[2-4]，變形積累的計算主要用Burgers模型的黏塑性變形項。然而，Burgers模型是黏彈性模型，對塑性變形的描述不足，其幾何形態(tài)與瀝青混合料高溫蠕變曲線雖有相似性，單次蠕變過程擬合相關(guān)性也很好[5-7]，但反演結(jié)果卻讓人質(zhì)疑，因為由反演參數(shù)計算的黏塑性應(yīng)變速率普遍大于實測的總應(yīng)變速率，更無法描述后續(xù)的蠕變-恢復(fù)過程。

澆注式瀝青混合料(GA)油石比高達7.4%～13.5%，塑性因素更突出。GA高溫穩(wěn)定性的評價主要采用貫入度試驗，因試驗方法簡易，目前已在廣泛的工程應(yīng)用中積淀了大量數(shù)據(jù)。貫入度試驗是GA在60 ℃水浴環(huán)境中的靜壓蠕變，得到的試驗結(jié)果只屬于經(jīng)驗性指標(biāo)。若能改進Burgers模型塑性因素，通過位移曲線獲取正確的力學(xué)參數(shù)，不僅能夠增強性能評價的科學(xué)性，便于不同試驗方法之間的橫向?qū)Ρ?，也為后續(xù)加載過程及其塑性變形積累計算提供基礎(chǔ)。

對于塑性因素的改進方式，主要是在經(jīng)典蠕變模型中增加、替換新元件和參數(shù)[8-11]，構(gòu)造出更加貼合蠕變曲線的非線性模型。其次，在提高塑性變形占比方面，一些模型考慮了材料的瞬時塑性變形[12-14]。此外，在模型中引入屈服極限可以進一步將塑性變形分離出來[15-17]，予以單獨描述。然而，塑性因素的改進對于不同材料有不同的具體形式，目前巖石材料的研究較多，瀝青混合料的資料相對較少。筆者擬首先用Burgers模型及其含瞬時塑性應(yīng)變改進模型研究GA的貫入蠕變-恢復(fù)過程，然后將彈性極限參數(shù)引入構(gòu)建新模型，將其用于多次蠕變—恢復(fù)過程的描述。

1 加載曲線反演Burgers參數(shù)的問題

GA試件A(采用安徽天長產(chǎn)玄武巖集料，湖北黃岡產(chǎn)石灰?guī)r礦粉，自產(chǎn)聚合物瀝青，礦料質(zhì)量配比為6～11 mm∶3～6 mm∶0～3 mm∶礦粉=30∶14∶30∶26，油石比7.4%)的貫入度試驗結(jié)果與其卸載變形恢復(fù)數(shù)據(jù)如圖1，貫入度試驗方法如文獻[18]。卸載方法是在加載達到60 min時立即取下砝碼，并繼續(xù)記錄圖1中各時刻貫入深度。卸載變形恢復(fù)需用記錄值扣除加載機構(gòu)的變形恢復(fù)。

Burgers模型如式(1)：

(1)

式中：ε(t)是以時間t為自變量的應(yīng)變函數(shù)，ε1是彈性瞬時應(yīng)變，ε2是黏塑性應(yīng)變，ε3是黏彈性應(yīng)變；σ0為恒載應(yīng)力；E1、E2為彈性模量；μ1、μ2為黏度。

貫入度試驗砝碼52.5 kg，加載接觸面直徑25.2 mm，即加載應(yīng)力σ0=1.032 MPa。試件為邊長70.7 mm的立方體，四周及底面由鋼制試模約束。由貫入深度除以試件邊長可得實測應(yīng)變ε。

Burgers模型試算不同力學(xué)參數(shù)的蠕變曲線，擬合曲線與實測曲線各點曼哈頓距離均值δ最小時的參數(shù)即為反演結(jié)果。加載起始貫入深度主要受E1影響，所以首先試算彈性模量E1。此外，μ1值主要影響加載后期斜率，μ2值影響初始斜率，E2影響斜率的變化率，考慮這些規(guī)律可以減少反演試算量。

1～60 min的9個加載擬合與實測曲線如圖1。反演結(jié)果E1=63 MPa、E2=108 MPa、μ1=626 000 MPa·s、μ2=29 610 MPa·s、δ=0.010 3 mm。

圖1 試件A蠕變恢復(fù)的實測曲線與擬合曲線

0 min貫入深度的擬合值為1.16 mm(瞬時彈性變形)，將反演參數(shù)代入式(1)，等號右側(cè)第3項可計算出黏滯彈性變形為0.68 mm，則總彈性變形為1.83 mm。用總變形2.25 mm(60 min貫入深度)減去總彈性變形得到殘余變形為0.42 mm。蠕變歷時60 min，則黏塑性變形平均速率即達到了0.693 82 mm/min，而30～60 min的總變形速率均值僅有0.666 67 mm/min，計算的黏塑性變形大于了實測的總變形，這顯然是矛盾的。

GA試件B(采用云南麗江產(chǎn)玄武巖集料、石灰?guī)r礦粉，自產(chǎn)聚合物瀝青，礦料配比為6～11 mm∶3～6 mm∶0～3 mm：礦粉=28∶11∶34∶27，油石比7.4%)的實測與擬合數(shù)據(jù)如表1，試件B相對于試件A的貫入度更大，材料更軟。反演參數(shù)E1=18 MPa、E2=42 MPa、μ1=309 200 MPa·s、μ2=9 895 MPa·s、δ=3.70 mm。

表1 Burgers模型對試件B加載過程的擬合結(jié)果

試件B的0 min瞬時彈性變形擬合值為4.05 mm，黏彈性變形為1.74 mm，黏塑性變形為0.85 mm，黏塑性變形平均速率為1.415 56 mm/min， 30～60 min總變形速率均值僅為1.066 67 mm/min。筆者對多組貫入度數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)，黏塑性變形速率大于總變形速率的問題普遍存在。

用加載曲線反演參數(shù)計算卸載曲線存在更明顯問題：無論是瞬時恢復(fù)還是黏滯恢復(fù)的數(shù)值都非常小，實測殘余變形無論如何都遠大于計算殘余變形，整個卸載恢復(fù)過程的實測值都遠大于擬合值(圖1)。因此對于瀝青混合料的高溫蠕變，Burgers模型是失效的，由其反演的力學(xué)參數(shù)是錯誤的。

2 含瞬時塑性應(yīng)變改進模型的問題

將瞬時塑性應(yīng)變ε4引入Burgers模型，彌補實測殘余變形和計算殘余變形的差值，引入后改進模型如式(2)：

(2)

式中：ε4是與時間t無關(guān)的瞬時塑性應(yīng)變。對后續(xù)蠕變過程如式(3)：

(3)

式中：S1，…，Sn為第1次至第n次加載的瞬時變形模量。后續(xù)加載的瞬時變形模量等于彈性模量E1的原因是首次加載造成的材料硬化。

卸載過程如式(4)：

(4)

可見，由Burgers模型反演的E1的數(shù)值實際上是S1。E1的真實值只能由卸載恢復(fù)階段的實測數(shù)據(jù)反演。不必確定ε4具體形式，直接用實測加、卸載曲線擬合式(2)的5個參數(shù)：先用式(4)擬合GA試件A的61～90 min卸載過程的7個實測數(shù)據(jù)，μ1與卸載變形恢復(fù)無關(guān)，得到E1=436 MPa、E2=980 MPa、μ2=1 600 000 MPa·s。然后將這3個參數(shù)代入式(1)，用加載曲線反演得到ε4=0.019 802、μ1=426 100 MPa·s。擬合曲線見圖1，可見此時δ值依然較大。

反復(fù)調(diào)整各個模型參數(shù)，從擬合曲線形態(tài)變化特點易知：調(diào)整ε4只能使曲線整體上下移動；調(diào)整μ1只能改變曲線斜率，無法改變斜率的變化速率。兩個參數(shù)無論取何值都不能使之與實測加載曲線相符。導(dǎo)致上述問題的原因是：用卸載曲線擬合的黏彈性參數(shù)E2、μ2值較大，造成擬合加載曲線斜率的變化速率較小，似一條直線。

因此，補充瞬時塑性變形的改進模型解決了加、卸載過程殘余變形的巨大差異問題，擬合效果有所改進，δ值從1.0(0.01 mm)、139.6(0.01 mm)減少為10.7(0.01 mm)、1.6(0.01 mm)。但是仍未解決加、卸載過程的變形速率變化率的差異問題，這個問題很可能源于Burgers模型的黏彈性項。

3 含彈性極限σe的新模型

貫入度試驗荷載σ0=1.032 MPa，對于60 ℃的瀝青混合料有：

σ0>σe

(5)

式中：σe為彈性極限。

此時，增加的不可恢復(fù)變形不止改進模型中的瞬時塑性變形，也應(yīng)包括Burgers模型中被計入黏彈性變形的黏塑性成分，在此構(gòu)建式(6)：

(6)

式(6)與式(1)是恒等式，區(qū)別在于式(6)引入了彈性極限σe。式(6)等號右側(cè)的第1、3項分別是瞬時彈性應(yīng)變和黏彈性應(yīng)變，與Burgers模型的差異是用σe替代σ0；第5項是黏塑性變形，與Burgers模型相同；第2項是瞬時塑性應(yīng)變，第4項是σ0>σe時新增的黏塑性成分，這兩項的分母(變形模量)分別為E1、E2，即塑性階段的應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系與彈性階段相同。將式(6)第1、2項相加，第3、4項相加即可消除σe，再次得到Burgers模型。

卸載過程只有彈性恢復(fù)，因而去掉式(6)等號右側(cè)的第2、4、5項得：

(7)

第2次及后續(xù)加載過程的應(yīng)變—時間函數(shù)仍為式(6)。因首次加載造成的材料硬化，必有：

σe=σ0

(8)

代入式(6)得：

(9)

式(9)是用σe取代σ0的Burger模型，可描述第2次和后續(xù)加載過程。

擬合時，首先由式(6)擬合加載過程，由于σe為可消除的參數(shù)，無論σe取何值對試算結(jié)果都無影響，因此只能得到E1、E2、μ1、μ2。再由式(7)擬合卸載過程得到σe。最后結(jié)合第2次加卸載曲線對參數(shù)進行微調(diào)，選擇δ最小值為最終結(jié)果。GA試件A的擬合結(jié)果如圖2，E1=63 MPa、E2=101 MPa、μ1=770 000 MPa·s、μ2=30 110 MPa·s、σe=0.074 MPa。卸載過程的δ略偏高可能與機構(gòu)彈性恢復(fù)變化有關(guān)?？梢姡?6)可統(tǒng)一描述反復(fù)加卸載過程的黏彈塑性變形。

圖2 含彈性極限新模型對試件A兩次蠕變-恢復(fù)的擬合曲線

4 新模型物理機制的探討

Burgers模型各參數(shù)具有明確的物理含義[19]，ε1、ε2及ε3反映了蠕變過程中材料內(nèi)部組成的如下變化機制：

1)加載形成的瞬時彈性變形ε1，是材料細觀成分(瀝青與礦料)的彈性變形，模量為E1；

2)發(fā)生彈性變形的細觀成分位置不改變，但方向旋轉(zhuǎn)變化，細觀成分相互之間發(fā)生界面錯動；旋轉(zhuǎn)、錯動是可恢復(fù)的，其數(shù)量絕對值由E2決定，變化速率由μ2決定，宏觀上形成黏滯彈性應(yīng)變ε2；

3)細觀成分的彈性變形、錯動、旋轉(zhuǎn)為相對位移創(chuàng)造條件，相對位移克服的黏滯阻力由μ1決定，相對位移宏觀上形成黏塑性應(yīng)變ε3，且等于卸載殘余應(yīng)變。

引入彈性極限后，當(dāng)荷載小于彈性極限時，新模型與Burgers模型恒等。當(dāng)荷載超過彈性極限后，不但瞬時變形(細觀成分變形)中包了含塑性ε4(如圖3)，如礦料破碎，黏滯變形中的塑性占比也增加，即黏滯塑性不止來源于細觀成分的相對位移(ε2)，細觀成分還形成了不可恢復(fù)的錯動、旋轉(zhuǎn)。

圖3 含彈性極限新模型應(yīng)變分解

由式(6)看出，瞬時塑性應(yīng)變占瞬時應(yīng)變的比例，與細觀成分錯動、旋轉(zhuǎn)塑性應(yīng)變占細觀成分錯動、旋轉(zhuǎn)總應(yīng)變的比例是相同的，并且都由(σ0-σe)和E1決定。塑性階段與彈性階段的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是相同的。

5 新模型的驗證和應(yīng)用

5.1 新模型應(yīng)用于SMA

采用SBS改性瀝青SMA-13(礦料巖性同GA試件B，關(guān)鍵篩孔4.75 mm、0.075 mm通過率分別為40.6%、11.4%，油石比5.9%，外摻顆粒木質(zhì)素纖維0.3%)的馬歇爾試件(高度63.1 mm、空隙率7.0%)，在26 ℃條件下進行3次加卸載循環(huán)的貫入度及變形恢復(fù)試驗，每次加載均需扣除對應(yīng)的機構(gòu)變形。試驗結(jié)果如圖4。

擬合第1次加卸載過程實測結(jié)果，反演得到E1=252 MPa、E2=204 MPa、μ1=2 460 000 MPa·s、μ2=27 100 MPa·s、σe=0.082 MPa。相對60 ℃的GA，26 ℃的SMA-13的E1、E2分別提高了4倍和2倍，μ1提高3倍多，μ2大體相當(dāng)。根據(jù)新模型的物理機制，當(dāng)油石比減少、溫度下降后，礦料占比的增加和瀝青的增稠，使得細觀成分的整體模量提高，可恢復(fù)的瞬時彈性旋轉(zhuǎn)、錯動減少但速度幾乎不變，不可恢復(fù)的塑性相對滑移難度增加。彈性極限σe只是略有增加，這可能與試驗過程中馬歇爾試件無側(cè)限有關(guān)。

用第1次加卸載變形實測值的反演參數(shù)，對后續(xù)加卸載過程進行模擬計算，變形曲線如圖4。除第2次加載過程的偏差δ=1.19(0.01 mm)，其余過程δ均小于0.5(0.01 mm)，模擬效果較好。

圖4 SMA-13的3次加、卸載變形曲線

5.2 新模型應(yīng)用于組合結(jié)構(gòu)

GA+SMA是鋼橋面鋪裝的主要結(jié)構(gòu)形式，為取得鋪裝整體的黏彈性參數(shù)并驗證新模型的適用性，用馬歇爾試模成型了總厚7.3 cm的組合結(jié)構(gòu)試件如圖5。

圖5 組合試件的成型與試驗

組合試件的成型方法為：先成型4.2 cm厚的GA底層，并在流態(tài)GA表面嵌入5～10 mm碎石；GA成型后靜置1 d，在其表面擊實150次成型3.1 cm厚的SMA-13。連同試模一起進行60 ℃的重復(fù)貫入-恢復(fù)試驗，再進行擬合與模擬，結(jié)果如圖6。

圖6 組合試件三次加、卸載變形曲線

用首次加、卸載過程反演有E1=105 MPa、E2=364 MPa、μ1=1 900 000 MPa·s、μ2=40 000 MPa·s、σe=0.12 MPa，分別較60 ℃的GA提高了1.7、3.6、2.5、1.3、1.6倍。模擬計算后續(xù)加、卸載過程，δ均小于0.6(0.01 mm)。

6 結(jié) 論

1)用蠕變曲線Burgers模型反演參數(shù)計算的黏塑性變形速率大于實測總變形速率，計算的殘余變形遠小于實測的殘余變形，更不能描述恢復(fù)過程，因此其反演參數(shù)是錯誤的，Burgers模型不能描述瀝青混合料的高溫蠕變。

2)含瞬時塑性變形改進模型克服了蠕變與恢復(fù)過程殘余變形的巨大差異，擬合效果較Burgers模型改進。但是，蠕變與恢復(fù)過程的變形速率變化率的差異較大，更不能描述后續(xù)的蠕變-恢復(fù)過程。

3)含σe新模型是在含瞬時塑性變形改進模型基礎(chǔ)上，增加一個黏塑性項，該項的實質(zhì)是細觀成分的錯動和旋轉(zhuǎn)，而非細觀成分的相對位移。新增黏塑性變形在細觀成分錯動和旋轉(zhuǎn)變形中的占比與瞬時塑性變形在瞬時變形中的占比相同。

4)新模型通過σe將初次加載的塑性變形分離出來，并在材料硬化基礎(chǔ)上，能以該參數(shù)加載繼續(xù)計算后續(xù)的蠕變。

5)σe的引入拓展了Burger模型使用范圍，但限于試驗條件，筆者只進行了2種溫度、1種應(yīng)力水平、3種材料的靜態(tài)貫入試驗驗證。此外，在試驗方法上，如何克服靜態(tài)貫入試驗的機構(gòu)變形、提高位移測量精度等方面還有待優(yōu)化；在理論方面，應(yīng)進一步構(gòu)建三維應(yīng)力模型考慮側(cè)限約束、加載路徑影響，以便統(tǒng)一不同方式的蠕變結(jié)果。