多目標(biāo)定向井與水平井靶區(qū)的可視化研究

黃 猛，周 凱，潘 磊，李海濱，王來智，周建新

(1.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211816； 2.盤錦市遼河油田 天意石油裝備有限公司，遼寧 盤錦 124010； 3.寶雞石油機(jī)械有限責(zé)任公司，陜西 寶雞 721002)

引 言

隨著鉆井技術(shù)的進(jìn)步，定向井技術(shù)與水平井技術(shù)已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于石油、天然氣和煤層氣的開發(fā)[1]，同時(shí)中靶精度也在不斷地提高，可實(shí)現(xiàn)在1 m厚的薄儲層中隨儲層波狀鉆進(jìn)。在鉆井施工過程中，不僅要實(shí)時(shí)掌握實(shí)鉆軌跡的坐標(biāo)位置及井眼方向，還要與設(shè)計(jì)軌道進(jìn)行對比，分析實(shí)鉆軌跡與設(shè)計(jì)軌道的相符程度及其變化趨勢，以便及時(shí)采取調(diào)整措施，確保中靶并保持良好的井身質(zhì)量。靶點(diǎn)坐標(biāo)決定了靶平面的位置，而靶面是以一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)作為靶心所確定的一個(gè)平面范圍，靶面主要有水平靶和鉛垂靶[2]。劉修善教授給出了靶平面通用方程，可表述靶平面的任意擺放姿態(tài)。使用時(shí)，只需將靶平面的法線方向取為特定數(shù)值，即可呈現(xiàn)出定向井的水平靶和水平井的鉛垂靶[3]。為此，參考井斜角和方位角的定義，可將靶平面的法線方向與鉛垂方向和正北方向的夾角分別定義為法線井斜角αz和法線方位角φz[4]。常規(guī)定向井的靶區(qū)是以靶心為中心的水平面上的圓形；常規(guī)水平井的靶區(qū)稱為靶體更合適，是一個(gè)與設(shè)計(jì)水平井眼垂直的鉛垂面內(nèi)的矩形靶窗及其沿井眼方向延伸所形成的長方體(柱狀體)[5]。曹孟鑫等提出圓柱螺線插值方法，推導(dǎo)出設(shè)計(jì)靶方位和靶位移計(jì)算方法，研究適合井斜大于85°井的多靶點(diǎn)評價(jià)方法[6]。馮小科利用法面坐標(biāo)給出了多控制點(diǎn)水平井靶的外邊界曲線的數(shù)學(xué)定義，推導(dǎo)出了設(shè)計(jì)軸線彎曲井段為空間圓弧曲線外邊界曲線的具體計(jì)算公式[7]。王志月等建立了一種空間圓弧多目標(biāo)井靶區(qū)軌道設(shè)計(jì)方法，給出了詳細(xì)的解析計(jì)算公式[8]。李子豐建立了橢圓形和圓角矩形靶區(qū)漸變的數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)了定向井靶區(qū)與水平井靶窗的統(tǒng)一[9]。

基于上述文獻(xiàn)結(jié)果，鉛垂直井的靶平面為水平面，定向井的靶平面一般為圓形區(qū)域，水平井的靶平面一般為鉛垂面。但對于目標(biāo)點(diǎn)處的井眼軌跡而言，定向井軌跡的井斜角一般不為0°，水平井軌跡的井斜角不一定為90°，因此，對空間任意圓靶的研究更具普遍性。本文以空間解析幾何學(xué)和井眼軌道幾何學(xué)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了空間任意法向圓靶的參數(shù)方程，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了水平井靶體的計(jì)算公式，并使用LabVIEW進(jìn)行了空間任意圓靶和水平井靶體的可視化編程。

1 定向井圓靶數(shù)學(xué)模型

定向井中靶時(shí)，是以靶點(diǎn)為圓心，空間任意平面上的圓形區(qū)域。確定圓形區(qū)域的范圍大小關(guān)鍵是求解圓的參數(shù)方程。當(dāng)設(shè)計(jì)的靶點(diǎn)坐標(biāo)、靶區(qū)半徑和靶平面的法線井斜角、法線方位角已知時(shí)，就可以通過空間解析幾何的相關(guān)知識，求得圓靶的精確參數(shù)方程。

設(shè)靶點(diǎn)t的坐標(biāo)為(Nt,Et,Ht)，圓靶的半徑為r，法線井斜角αz和法線方位角φz均為已知量。這就轉(zhuǎn)化為已知圓心、半徑和圓所在平面對應(yīng)的一個(gè)法向量，求解該空間圓的參數(shù)方程[10]。

先求出這個(gè)圓所在平面的一個(gè)向量u

再求一個(gè)與n，u都正交的向量v=n×u，向量v顯然也在圓所在的平面上

再把u、v都化為單位向量

于是圓的參數(shù)方程為(即圓上任一點(diǎn)P的坐標(biāo))：

N=Nt+r(sinφzcost+cosαzcosφzsint)，

(1)

E=Et+r(-cosφzcost+cosαzsinφzsint)，

(2)

H=Ht-rsinαzsint。

(3)

式中：N為北坐標(biāo)，m；E為東坐標(biāo)，m；H為垂深，m；r為半徑，m；角度的物理單位為rad；t的取值范圍為[0,2π]。

劉修善教授[4]根據(jù)靶平面過靶點(diǎn)t，和由αz、φz確定的法線方向，給出靶平面的方程：

sinαzcosφz(N-Nt)+sinαzsinφz(E-Et)+

cosαz(H-Ht)=0。

(4)

與文獻(xiàn)[4]相比，本文推導(dǎo)出了空間圓靶任意一點(diǎn)的參數(shù)表達(dá)式，對靶平面通用方程進(jìn)行了細(xì)化和補(bǔ)

充，并且方便計(jì)算機(jī)編程繪圖。

2 水平井靶體數(shù)學(xué)模型

使用最多的水平井靶由2個(gè)控制點(diǎn)A和B所確定(參見圖1(a))，A點(diǎn)處靶窗矩形寬為2wA、高為2hA，其中±wA和±hA分別為A點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差[7]。B點(diǎn)處靶窗矩形寬為2wB、高為2hB，其中±wB和±hB分別為B點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差。

圖1 水平井靶示意圖Fig.1 Schematic diagram of horizontal well target

假設(shè)第一個(gè)控制點(diǎn)A的空間坐標(biāo)為(Nt1,Et1,Ht1)，橫向偏差為w1，縱向偏差為h1；第二個(gè)控制點(diǎn)B的空間坐標(biāo)為(Nt2,Et2,Ht2)，橫向偏差為w2，縱向偏差為h2[11]。則靶窗上的頂點(diǎn)都能根據(jù)解析幾何學(xué)的知識求其具體的空間坐標(biāo)。首先，在靶窗平面上，以靶窗中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立局部二維坐標(biāo)系，橫軸與水平面相平行，如圖1(b)所示。

從圖1(b)可以計(jì)算得到矩形邊框的4個(gè)頂點(diǎn)具體坐標(biāo)，下面給出計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果。在平面幾何里，一個(gè)直角三角形可以外接一個(gè)圓，即一個(gè)矩形也可以外接一個(gè)圓。根據(jù)公式(1)、(2)、(3)可得第一個(gè)靶點(diǎn)即第一個(gè)控制點(diǎn)A所對應(yīng)的圓靶參數(shù)方程：

(5)

式中：

圓心角為π+φ；M4所對應(yīng)的圓心角為2π-φ。用計(jì)算得出的4個(gè)已知角度，代替公式(4)中的參數(shù)t，即可求出第一個(gè)靶窗的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。同理，亦可用相同的方法求出第二個(gè)靶點(diǎn)即第二個(gè)控制點(diǎn)B所對應(yīng)的靶窗矩形的4個(gè)頂點(diǎn)空間坐標(biāo)。

3 軟件、繪圖算法及算例

依據(jù)上述數(shù)學(xué)模型和方法，利用LabVIEW軟件實(shí)現(xiàn)對定向井靶區(qū)和水平井靶體的計(jì)算和繪制。首先，根據(jù)給定的靶點(diǎn)t的坐標(biāo)為(Nt，Et，Ht)，圓靶的半徑為r，法線井斜角αz和法線方位角φz，繪制出空間圓靶區(qū)。

然后再根據(jù)給定的2個(gè)關(guān)鍵控制點(diǎn)(即靶窗和靶底的靶點(diǎn))的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)行靶體參數(shù)計(jì)算，得出靶體的8個(gè)頂點(diǎn)空間參數(shù)坐標(biāo)，需要將這些離散點(diǎn)一一對應(yīng)，用線段連接即可。此外,還需要繪出第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)處的靶窗矩形。

繪制水平投影圖則離散點(diǎn)的Z坐標(biāo)均相等，只需要繪制離散點(diǎn)(X,Y)即可。如果是繪制垂直投影圖，假設(shè)投影方位角為φ0，對每個(gè)離散點(diǎn)(X，Y，Z)，計(jì)算視平移

V=Xcosφ0+Ysinφ0。

(6)

繪圖時(shí)繪制離散點(diǎn)(V，Z)。

圖2是LabVIEW實(shí)現(xiàn)空間圓靶繪制功能的程序框圖，使用for循環(huán)得到圓上足夠多的離散點(diǎn)，使得相鄰2個(gè)離散點(diǎn)之間的距離足夠小，從而實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到線的視覺效果[12]。

圖2 圓靶的程序框圖Fig.2 Program block diagram of circular target

圖3是實(shí)現(xiàn)長方體靶繪制功能的部分程序框圖。對于計(jì)算機(jī)的物理內(nèi)存而言，創(chuàng)建一個(gè)數(shù)組就是開辟一塊內(nèi)存空間，將這組數(shù)據(jù)按次序存儲在這塊空間內(nèi)?！皠?chuàng)建數(shù)組”函數(shù)是多態(tài)函數(shù)，可以連接多個(gè)標(biāo)量、數(shù)組，或者向數(shù)組添加元素[13]。將8個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別用“創(chuàng)建數(shù)組”連接，形成最終的數(shù)組，傳遞給圖形顯示控件。

圖3 長方體靶的部分程序框圖Fig.3 Partial program block diagram of cuboid target

為了驗(yàn)證本文的計(jì)算方法是否正確，筆者使用遼河油田的雙229-35-49、洼77-H3兩口井軌跡設(shè)計(jì)要求和靶區(qū)數(shù)據(jù)對LabVIEW的編程結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，兩口井的靶區(qū)基本狀況見表1和表2。

表1 雙229-35-49井軌跡設(shè)計(jì)要求Tab.1 Trajectory design requirements for well Shuang 229-35-49

表2 洼77-H3井軌跡設(shè)計(jì)要求Tab.2 Trajectory design requirements for well Wa 77-H3

對于圓靶，選用表1的靶點(diǎn)處的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，取αz=0°，φz=37.83°，靶區(qū)半徑r=15 m，則圓形靶計(jì)算和繪圖結(jié)果如圖4(a)。從表1和圖4(a)可以看出,該井的方位無變化,利用筆者提出的方法,靶區(qū)的垂直投影圖和水平投影圖直觀、明了,在實(shí)際鉆井過程中,具有較好的井眼軌跡預(yù)測和控制作用。

對于水平井長方體靶，由于長方體靶太長(A-B點(diǎn)之間)，整體畫圖后會(huì)不清晰，本文對長方體靶繪圖做了如下處理。選取表2中控制點(diǎn)K和控制點(diǎn)J進(jìn)行驗(yàn)證，取αz=90°，φz=78.83°，控制點(diǎn)K的空間坐標(biāo)為(-333.7，1 198.2，2 677)，控制點(diǎn)J的空間坐標(biāo)為(-317.47，1 276.81，2 675.59)，水平井長方體靶靶體姿態(tài)參見圖4(b)。從表2和圖4(b)可以看出,該井的方位變化較大,鉆井時(shí)需要進(jìn)行扭方位處理。靶區(qū)的垂直投影圖和水平投影圖與設(shè)計(jì)要求還是符合得很好,對實(shí)際鉆井具有較好的提示和指導(dǎo)作用。

圖4 雙229-35-49井和洼77-H3井靶區(qū)LabVIEW編程繪圖結(jié)果Fig.4 LabVIEW programming drawing results of target areas of wells Shuang 229-35-49 and Wa 77-H3

4 結(jié) 論

(1)基于空間解析幾何和井眼軌道幾何學(xué)的相關(guān)知識，推導(dǎo)了多目標(biāo)定向井靶區(qū)的空間任意圓靶的參數(shù)方程。

(2)確定了水平井靶體的靶窗和靶底的計(jì)算公式，包括靶窗和靶底平面上頂點(diǎn)的具體空間坐標(biāo)。

(3)使用LabVIEW2018軟件對遼河油田的鉆井靶區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行了編程，實(shí)現(xiàn)了對定向井和水平井靶區(qū)三維圖形、水平投影圖和垂直投影圖精確地繪制。