基于矩陣運(yùn)算的直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型

吳 靖，劉湘一，宋山松

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái) 264001）

直升機(jī)的旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真對(duì)于其動(dòng)穩(wěn)定性分析，特別是非線性動(dòng)穩(wěn)定性分析，以及故障響應(yīng)分析等動(dòng)力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)具有重要意義，旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)建模是其進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真的基礎(chǔ)。國(guó)外最經(jīng)典的旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型是由Coleman 等提出的，他們針對(duì)鉸接式旋翼直升機(jī)，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立各槳葉的運(yùn)動(dòng)方程，在固定坐標(biāo)系中建立機(jī)體的運(yùn)動(dòng)方程，在研究旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)穩(wěn)定性時(shí)，將2種運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一在同一個(gè)坐標(biāo)系中，通過(guò)多槳葉坐標(biāo)變換，把槳葉在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中。爾后，大部分學(xué)者都是在此基礎(chǔ)上對(duì)直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究的。張曉谷等根據(jù)簡(jiǎn)化的旋翼槳葉模型，采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)系及互激勵(lì)方法，由簡(jiǎn)到繁，從機(jī)理上對(duì)直升機(jī)地面共振進(jìn)行了研究，探究了產(chǎn)生動(dòng)不穩(wěn)定性的主要原因及影響動(dòng)穩(wěn)定性的主要因素，建立了適合工程應(yīng)用的直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型。

計(jì)算槳葉任一剖面的速度及加速度是直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程中的重點(diǎn)問(wèn)題，傳統(tǒng)的矢量方法雖應(yīng)用較為廣泛，但由于直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中涉及的變量（包括槳葉的擺振角、揮舞角和機(jī)體的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角以及對(duì)應(yīng)的角速度和角加速度等）較多，主要變量達(dá)6+6 個(gè)（為旋翼槳葉數(shù)），在采用矢量方法推導(dǎo)槳葉任一剖面的速度及加速度，并用于直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真時(shí)較為復(fù)雜。因此，在進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程中須進(jìn)行簡(jiǎn)化，如進(jìn)行小角度線性假設(shè)等，這樣建立的模型一般適用于小擾動(dòng)線性分析。另外，基于動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行直升機(jī)旋翼故障診斷等分析時(shí)，對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算精度要求較高，保留運(yùn)動(dòng)非線性有利于仿真得出更準(zhǔn)確的故障樣本。

基于矩陣運(yùn)算，在保留運(yùn)動(dòng)非線性的情況下推導(dǎo)槳葉任一剖面的速度及加速度，并建立對(duì)應(yīng)的直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型，用于對(duì)直升機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真分析。

1 坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

直升機(jī)槳葉和機(jī)體為剛性模型，采用帶外伸量的當(dāng)量鉸。旋翼機(jī)體物理模型坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 物理模型及坐標(biāo)系Fig.1 Physical model and coordinate system

圖1中：為機(jī)體固定坐標(biāo)系，其中，為機(jī)體滾轉(zhuǎn)軸，為機(jī)體俯仰軸；為旋翼坐標(biāo)系，原點(diǎn)即為運(yùn)動(dòng)前的槳轂中心；為槳轂不旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)固定于槳轂中心；為槳轂旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，隨旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)；為槳葉未變形坐標(biāo)系；為槳葉運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，軸和槳葉變距軸重合。

第片槳葉揮舞角β上揮為正，擺振角ζ后擺為正，則從變換到為：

從變換到只是平移，變換矩陣為單位陣。

2 槳葉任一點(diǎn)的速度及加速度

揮舞/擺振鉸外伸量為，點(diǎn)在中的矢徑為：

點(diǎn)在中的矢徑為：

槳轂中心距機(jī)體重心縱向距離為，槳轂中心距機(jī)體運(yùn)動(dòng)軸距離為，點(diǎn)在中的矢徑為：

令=，=，則：

點(diǎn)在中的速度和加速度為：

點(diǎn)在中的速度和加速度為：

在計(jì)算槳葉任一點(diǎn)速度及加速度時(shí)，假定槳葉是剛性的，因此，建立的動(dòng)力學(xué)模型適用于鉸接式旋翼直升機(jī)以及變形主要發(fā)生在槳葉根部的無(wú)鉸式或無(wú)軸承式旋翼直升機(jī)。

3 旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型

3.1 旋翼運(yùn)動(dòng)方程

槳葉作用于揮舞/擺振鉸的力矩包括慣性力矩、彈簧力矩、結(jié)構(gòu)阻尼力矩及氣動(dòng)力矩等，因此，第片槳葉的揮舞運(yùn)動(dòng)及擺振運(yùn)動(dòng)方程為：

3.2 機(jī)體運(yùn)動(dòng)方程

式（16）（17）中：I、c和k分別是機(jī)體在滾轉(zhuǎn)方向上的慣性矩、阻尼和剛度；I、c和k分別是機(jī)體在俯仰方向上的慣性矩、阻尼和剛度。

3.3 動(dòng)力入流方程

作用在旋翼上的氣動(dòng)力是非定常的，對(duì)于低頻振動(dòng)的直升機(jī)來(lái)說(shuō)，用動(dòng)力入流模型能較好地描述非定常氣動(dòng)力的作用。

用擴(kuò)展的Pitt-Peters 動(dòng)力入流模型來(lái)描述非定常氣動(dòng)力，其動(dòng)力入流方程為：

式（18）中：為空氣的質(zhì)量矩陣；為入流的增益矩陣；、和分別為旋翼總的氣動(dòng)升力、對(duì)槳轂中心的氣動(dòng)滾轉(zhuǎn)力矩和氣動(dòng)俯仰力矩；、和分別為平均誘導(dǎo)速度、氣動(dòng)滾轉(zhuǎn)力矩和俯仰力矩引起的誘導(dǎo)速度，均為無(wú)量綱量。

將所有槳葉的揮舞和擺振運(yùn)動(dòng)方程、機(jī)體的俯仰和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程以及旋翼動(dòng)力入流方程聯(lián)立，組成直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)力學(xué)模型。

4 旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真

4.1 主要參數(shù)

所用模型為美國(guó)NASA采用的無(wú)鉸旋翼模型，槳葉剖面翼型為NACA23012，旋翼、機(jī)體模型的主要參數(shù)取自文獻(xiàn)[18]，如表1 所示。旋翼設(shè)定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，槳葉初始安裝角為6°，來(lái)流角為0°。

表1 旋翼及機(jī)體模型參數(shù)Tab.1 Model parameters of rotor and fuselage

4.2 小角度線性簡(jiǎn)化的影響

以機(jī)體運(yùn)動(dòng)為例，觀察小角度線性簡(jiǎn)化的影響。令 β=ζ=0 ，即 槳 葉 無(wú) 揮 舞 和 擺 振 運(yùn) 動(dòng)，Ф=Asinωt，Ф=Asinωt，A、ω和A、ω分別為滾轉(zhuǎn)和俯仰運(yùn)動(dòng)的幅值和頻率，線性簡(jiǎn)化時(shí)，sinФ=Ф，cosФ=1，sinФ=Ф，cosФ=1。不同機(jī)體運(yùn)動(dòng)頻率下，小角度線性簡(jiǎn)化前后槳尖方向最大速度的差值比=(′-)隨機(jī)體運(yùn)動(dòng)幅值的變化，如圖2所示。

圖2 小角度線性簡(jiǎn)化的影響Fig.2 Effect of small angle linear simplification

由圖2可以看出，隨著機(jī)體運(yùn)動(dòng)幅值的增加，小角度線性簡(jiǎn)化對(duì)結(jié)果的影響越來(lái)越大。對(duì)于滾轉(zhuǎn)頻率為3.96 Hz的情況，滾轉(zhuǎn)幅值15°時(shí)，差值已超過(guò)5%；對(duì)于俯仰頻率為1.59 Hz 的情況，俯仰幅值15°時(shí)，差值已超過(guò)6%。另外，隨著運(yùn)動(dòng)頻率的減小，小角度線性簡(jiǎn)化的影響逐漸增強(qiáng)，分析可知，機(jī)體運(yùn)動(dòng)速度影響槳轂中心的速度，從而影響槳葉的速度，而機(jī)體運(yùn)動(dòng)速度取決于幅值和頻率，隨著頻率的減小，幅值對(duì)速度的影響將被強(qiáng)化。

4.3 不同槳距的仿真結(jié)果

總距為0 ～5°時(shí)，直升機(jī)第1片槳葉揮舞和擺振的響應(yīng),如圖3、4 所示。由圖3、4 可知，采用所建直升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行響應(yīng)求解，15 s 后結(jié)果基本能收斂穩(wěn)定，說(shuō)明模型能很好地計(jì)算不同總距情況下的響應(yīng)，隨著總距的增加，在氣動(dòng)力的作用下，槳葉的揮舞角和擺振角隨之增加。

圖3 不同總距下的揮舞角Fig.3 Flapping angles at different collective pitches

圖4 不同總距下的擺振角Fig.4 Lag angles at different collective pitches

5 結(jié)論

通過(guò)計(jì)算機(jī)體不同運(yùn)動(dòng)情況下進(jìn)行小角度簡(jiǎn)化前后槳葉的速度，發(fā)現(xiàn)隨著機(jī)體運(yùn)動(dòng)幅值的增加，小角度簡(jiǎn)化帶來(lái)的誤差越來(lái)越大，且運(yùn)動(dòng)頻率的減小會(huì)進(jìn)一步增大誤差。對(duì)不同槳距的情況進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，所建模型可以快速求解直升機(jī)的響應(yīng)，采用該模型可對(duì)不同旋翼轉(zhuǎn)速、不同阻尼情況、不同頻率情況下的直升機(jī)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真，從而實(shí)現(xiàn)旋翼/機(jī)體耦合動(dòng)穩(wěn)定性時(shí)域分析。通過(guò)設(shè)置槳葉初始安裝角、改變槳葉不同位置的質(zhì)量來(lái)實(shí)現(xiàn)旋翼不平衡故障的模擬，為旋翼動(dòng)平衡故障診斷研究提供仿真數(shù)據(jù)樣本。