分段循環(huán)荷載作用下二維非飽和土固結(jié)特性分析*

張 添 汪 磊 沈思東

(上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，上海 201620，中國(guó))

0 引 言

20世紀(jì)40年代起，國(guó)外學(xué)者圍繞非飽和土固結(jié)開展了大量的研究：含有封閉氣泡的非飽和土一般固結(jié)理論最先被提出(Biot，1941)；孔隙比和飽和度的變化被引入了包含封閉氣體的非飽和土固結(jié)模型(Scott，1963)；Barden(1965)進(jìn)行了壓實(shí)非飽和黏土的一維固結(jié)分析；最具代表性的是Fredlund et al.(1979)的一維非飽和土固結(jié)理論，他提出的固結(jié)方程由氣相、液相的兩個(gè)連續(xù)方程組成，并給出了較為完善的非飽和土固結(jié)模型。近年來，非飽和土固結(jié)理論也成為了國(guó)內(nèi)研究的熱點(diǎn)：20世紀(jì)初，假定孔隙氣排氣率恒定的非飽和土簡(jiǎn)化固結(jié)理論被提出(沈珠江，2003)；針對(duì)氣體封閉的非飽和土模型，曹雪山等(2009)提出了僅考慮水壓消散和將水、氣視為混合流體的簡(jiǎn)化方法；周萬歡等(2013)利用差分求積法研究了復(fù)雜初始和邊界條件對(duì)一維非飽和土固結(jié)的影響；基于線性假定，汪磊(2017)得到了多種邊界條件、任意荷載下一維和兩維非飽和土固結(jié)方程的半解析解。非飽和土軸對(duì)稱固結(jié)理論也已受到關(guān)注：秦愛芳等(2017，2019)對(duì)考慮涂抹區(qū)滲透系數(shù)變化及半滲透邊界下非飽和土砂井地基的超孔隙壓力進(jìn)行了求解；隨后，秦愛芳等(2020)對(duì)瞬時(shí)荷載作用下考慮井阻及涂抹作用下的非飽和土豎井地基固結(jié)方程進(jìn)行了求解，并對(duì)固結(jié)過程中井阻因子和涂抹系數(shù)的影響進(jìn)行了深入的研究。

實(shí)際的巖土工程經(jīng)常會(huì)受到循環(huán)荷載的影響，如交通荷載、風(fēng)浪荷載和儲(chǔ)油罐荷載等，其具有典型的周期性和不連續(xù)性。分段循環(huán)荷載的形式主要有半正(余)弦、三角形、矩形和梯形等形式的分段循環(huán)荷載。連續(xù)循環(huán)荷載在同一周期內(nèi)可以用單一的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)，而分段循環(huán)荷載在同一周期不同階段擁有不同的函數(shù)關(guān)系式，具有明顯的隨機(jī)性與不確定性，更接近實(shí)際工程中的荷載。循環(huán)荷載作用下的固結(jié)研究主要有：謝康和等(2006)建立了低頻循環(huán)荷載作用下地基的一維固結(jié)方程；在給出了半正矢循環(huán)荷載作用下一維固結(jié)控制方程的半解析解后，Razouki et al.(2013)研究了荷載頻率對(duì)固結(jié)特性的影響。雖然近年來相關(guān)學(xué)者已經(jīng)在非飽和土循環(huán)荷載固結(jié)問題上取得了部分研究成果，但研究的荷載大多是連續(xù)循環(huán)荷載，缺少對(duì)分段循環(huán)荷載的研究分析。此外，為了提高固結(jié)排水速率，在鐵路或公路路基施工中經(jīng)常會(huì)在路基兩側(cè)設(shè)置砂井，土體中的孔隙水和孔隙氣既可以沿豎直方向排出又可以通過側(cè)向的砂井排出。因此，二維的非飽和土固結(jié)特性研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前尚未出現(xiàn)對(duì)分段循環(huán)荷載作用下非飽和土二維固結(jié)模型的研究。本文給出了分段循環(huán)荷載作用下二維非飽和土固結(jié)的超孔隙壓力和沉降的半解析解表達(dá)式，并研究了各類分段循環(huán)荷載作用下不同參數(shù)對(duì)沉降的影響，可為實(shí)際工程提供一定的理論指導(dǎo)和參考依據(jù)。

1 計(jì)算模型

1.1 控制方程

在Dakshanamurthy et al.(1980)提出的非飽和土固結(jié)理論基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種新型的二維非飽和土固結(jié)模型，如圖1所示，模型的深度為h、長(zhǎng)度為l,q(t)為所研究的分段循環(huán)荷載。在該模型中，超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力沿水平方向(x軸方向)和豎直方向(z軸方向)同時(shí)消散。

該模型的主要假設(shè)如下：

(1)模型中非飽和土體是均質(zhì)的；

(2)液相和氣相連續(xù)且各自獨(dú)立；

(3)固結(jié)過程中土的體積變化系數(shù)恒定；

(4)氣相和液相的滲透系數(shù)均為定值；

(5)忽略空氣在水中和水蒸氣在土體中的運(yùn)移等影響；

(6)土顆粒和孔隙水均不可壓縮。

氣相和液相的基本控制方程如下：

(1)

(2)

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

(3g)

(3h)

1.2 初始條件

(4a)

(4b)

1.3 邊界條件

(1)頂面邊界(z=0)：

ua(x，0，t)=0

(5a)

uw(x，0，t)=0

(5b)

(2)底面邊界(z=h)：

(6a)

(6b)

(3)側(cè)面邊界(x=0)和(x=l)：

ua(0，z，t)=ua(l，z，t)=0

(7a)

uw(0，z，t)=uw(l，z，t)=0

(7b)

模型頂面和側(cè)面為透氣透水邊界，底面為不透氣不透水邊界。

1.4 荷載條件

常見的分段循環(huán)荷載主要有三角形荷載、矩形荷載和梯形荷載。

圖2中T代表分段循環(huán)荷載周期，m、n為正整數(shù)，qmax為荷載最大值，q0為荷載初值。

三角形荷載如圖2a所示，表達(dá)式如式(8a)，對(duì)固結(jié)模型線性加載T/2時(shí)間，荷載特征參數(shù)為a1，加載后按相同速率卸載。

矩形荷載如圖2b所示，對(duì)模型持續(xù)施加恒定荷載qmax后循環(huán)驟減驟加過程，表達(dá)式如式(8b)。值得指出的是矩形荷載初值假定為qmax。

梯形荷載如圖2c所示，荷載特征參數(shù)為a2，線性加載mT后，持續(xù)(1-2m)T保持qmax加載，以同樣速率卸載，表達(dá)式如式(8c)。

(8a)

(8b)

(8c)

此外，荷載特征參數(shù)即qmax與加載天數(shù)的比值。矩形循環(huán)荷載無線性加、卸載的過程，荷載特征參數(shù)體現(xiàn)為周期。

2 求解和驗(yàn)證

2.1 控制方程的求解

由于側(cè)面邊界可透氣、透水，因此x方向可用Fourier正弦級(jí)數(shù)表示，此時(shí)ua和uw可轉(zhuǎn)化為：

(9)

(10)

將式(9)和式(10)分別對(duì)t求一階和二階導(dǎo)后分別代入式(1)和式(2)可得：

(11)

(12)

根據(jù)正弦函數(shù)的正交性，式(11)和式(12)可轉(zhuǎn)化為：

(13)

(14)

對(duì)式(13)和式(14)進(jìn)行Laplace變換，整理得：

(15)

(16)

對(duì)式(14)求關(guān)于z的二階導(dǎo)，得：

(17)

將式(14)和式(17)代入(15)得：

(18)

解四階微分方程式(18)得：

(19)

U～w=a5C1eξz+a5C2e-ξz+a6D1eηz+a6D2e-ηz+a7

(20)

式(19)和式(20)分別為固結(jié)過程中超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力在Laplace域內(nèi)的通解。C1，C2，D1和D2是關(guān)于n和s的任意函數(shù)，由邊界條件決定。將式(19)和式(20)及其關(guān)于z的一階導(dǎo)數(shù)代入邊界條件，整理得：

(21)

(22)

對(duì)式(9)和式(10)進(jìn)行Laplace變換并結(jié)合式(21)和式(22)即得到Laplace域中控制方程的通解：

(23)

(24)

二維固結(jié)模型下體變可表示為：

(25)

將式(25)進(jìn)行Laplace變換得：

(26)

在Laplace域中，沉降可表達(dá)為：

(27)

結(jié)合式(23)、式(24)、式(26)和式(27)得：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：tj=jΔt=jT/N，j=0，1，2，…，N-1，T為總的計(jì)算時(shí)段；N為總的計(jì)算步數(shù)，對(duì)于L×N=50～5000，當(dāng)aT=5～10時(shí)，計(jì)算結(jié)果較好，且穩(wěn)定。本文采用此方法得到的半解析解與解析解進(jìn)行了驗(yàn)證對(duì)比，精度較高，缺點(diǎn)是當(dāng)時(shí)間較小時(shí)無法計(jì)算出結(jié)果，可以通過延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)段取特定時(shí)刻的結(jié)果解決。

(32a)

(32b)

(32c)

2.2 退化法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的半解析解的正確性，將非飽和土二維固結(jié)的半解析解退化為頂面透氣透水、底面不透氣不透水邊界下一維固結(jié)問題的半解析解。此時(shí)，固結(jié)模型中橫向的體積變化系數(shù)和氣相與液相的滲透系數(shù)均為0。結(jié)合一維體變可得到退化后的非飽和土一維固結(jié)的沉降表達(dá)式如式(33)：

(33)

然后，采用經(jīng)典算例進(jìn)行驗(yàn)證，參數(shù)取值與文獻(xiàn)(秦愛芳等，2008)相同。圖3為所得半解析解結(jié)果(縮寫為SAS)與文獻(xiàn)中解析解結(jié)果(縮寫為AS)的對(duì)比。顯然兩者結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文半解析解的正確性。

3 算例和分析

非飽和土的固結(jié)特性通常由ua，uw及由此推導(dǎo)的固結(jié)度(U)和沉降(w)體現(xiàn)，各項(xiàng)參數(shù)中滲透參數(shù)k對(duì)ua和uw中影響最大。由于氣相的存在才造成了非飽和土結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，而二維的固結(jié)模型與一維相比則是增加了氣相與液相在x方向的流動(dòng)。此外，分段循環(huán)荷載的變化通過荷載特征參數(shù)a體現(xiàn)。因此本文選用ka/kw、kx/kz和荷載特征參數(shù)a分析固結(jié)特性。

需要指出的是：

(1)當(dāng)研究ka/kw對(duì)分段循環(huán)荷載作用下二維平面應(yīng)變固結(jié)的影響時(shí)，ka為變量，kw為定值，此時(shí)ka/kw=kax/kwx=kaz/kwz。

(2)當(dāng)研究kx/kz對(duì)固結(jié)沉降的影響時(shí)，kz保持不變，kx是變量，此時(shí)kx/kz=kax/kaz=kwx/kwz。

(3)當(dāng)研究荷載特征參數(shù)a對(duì)固結(jié)沉降的影響時(shí)，假定ka/kw=kx/kz=1，荷載周期分別取4id，40id，400id，荷載特征參數(shù)對(duì)應(yīng)求得。

此外，在3種荷載作用下研究不同參數(shù)取值對(duì)固結(jié)的影響時(shí)，模型的計(jì)算點(diǎn)設(shè)為x=1im，z=1im。

3.1 三角循環(huán)荷載作用下的固結(jié)特性

本節(jié)研究三角形循環(huán)荷載作用下二維非飽和土的固結(jié)特性。結(jié)合式(31)和式(32a)可以求出三角形循環(huán)荷載作用下二維平面應(yīng)變固結(jié)的沉降值。

圖4a為三角形荷載作用下ka/kw變化時(shí)沉降的發(fā)展曲線。沉降發(fā)展的前期主要由超孔隙氣壓力的消散造成，超孔隙氣壓力的消散隨著ka/kw的增大加快，沉降發(fā)展的速度也加快，曲線波動(dòng)的振幅增大。沉降的后期主要由超孔隙水壓力消散引起，當(dāng)ka/kw>10時(shí)，ka對(duì)沉降后期超孔隙水壓力的消散無明顯影響，所以后期的曲線振幅差異不明顯。

圖4b中可以看出kx/kz的增大將加速固結(jié)，使得沉降曲線振幅波動(dòng)變大，第1次峰值出現(xiàn)在106is后。kx/kz≤1時(shí)，kx對(duì)后期超孔隙壓力消散影響較小，沉降的差異也較小。

圖4c是滲透系數(shù)一定時(shí)，荷載特征參數(shù)a1變化引起的三角形荷載作用下固結(jié)沉降規(guī)律曲線。由于a1與加載的時(shí)間有關(guān)，所以a1的變化直接影響了沉降發(fā)展的起始時(shí)間。a1越大，沉降在荷載斜坡期增長(zhǎng)越快，曲線振幅越小。

3.2 矩形循環(huán)荷載作用下的固結(jié)特性

由式(31)和式(32b)可以得到矩形循環(huán)荷載作用下二維固結(jié)的沉降。由于矩形荷載初始值為qmax之后在qmax至q0間循環(huán)，而三角形與梯形荷載相反，所以矩形荷載作用下的沉降曲線會(huì)呈現(xiàn)出與其余兩種荷載作用下不同的規(guī)律。

圖5a描繪了矩形荷載作用下不同ka/kw引起的沉降差異。當(dāng)ka/kw=100時(shí)，前期超孔隙氣壓力消散較快，沉降較大。

從圖5b中可以看出橫向與豎向滲透參數(shù)比值kx/kz越大，沉降值越大。

矩形循環(huán)荷載中荷載參數(shù)的變化體現(xiàn)荷載周期的變化。如圖5c，滲透系數(shù)一定時(shí)，當(dāng)周期取值最小即T=3.456×105is時(shí)，沉降最早發(fā)生，相應(yīng)的值也最小。

3.3 梯形循環(huán)荷載作用下的固結(jié)特性

由式(31)和式(32c)可以得出梯形荷載作用下二維平面應(yīng)變固結(jié)的沉降結(jié)果。

圖6a為荷載特征參數(shù)a=2.315×10-4ikPa·s時(shí)，不同ka/kw引起的沉降變化曲線。結(jié)果表明，ka/kw越大，沉降發(fā)展越快，最終曲線振幅越大。

圖6b中體現(xiàn)了不同kx/kz對(duì)沉降的影響，隨著kx/kz的增大，曲線振幅逐漸減大。此外，kx/kz≤1時(shí)，同樣存在沉降差異不明顯的規(guī)律。

從圖6c中可以明顯看出在滲透系數(shù)ka/kw=1，kx/kz=1時(shí)，不同荷載特征參數(shù)引起的沉降起始時(shí)間差異明顯。如圖6，參數(shù)a2越大，沉降起始越早，沉降量越小，與三角形荷載擁有相同的規(guī)律。

4 結(jié) 論

(1)各種類型的分段循環(huán)荷載對(duì)固結(jié)過程均有顯著影響，沉降發(fā)展的周期與荷載施加的周期一致，沉降發(fā)展的特征與荷載的特征一致。

(2)在相同的情況下，ka/kw越大，超孔隙氣壓力消散越快，沉降越顯著；而kx/kz的增大使得非飽和土體各向異性更加明顯，加速了固結(jié)進(jìn)程，沉降量增大，因此水平方向的滲透性在二維非飽和土固結(jié)過程中起到了十分重要的作用。

(3)荷載特征參數(shù)直接影響沉降發(fā)展的起始時(shí)間，因此在實(shí)際施工過程中可以通過改變施工速度來控制非飽和土體的固結(jié)沉降過程。