基于力矩促動器的鏡面半主動光學支撐系統(tǒng)集成優(yōu)化設(shè)計

張奔雷，楊 飛 ，王富國，盧保偉

（1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所, 吉林 長春130033；2. 中國科學院大學, 北京100049）

1 引 言

望遠鏡主鏡作為望遠鏡系統(tǒng)中最關(guān)鍵、口徑最大的光學元件，其支撐技術(shù)一直是望遠鏡技術(shù)發(fā)展要解決的核心問題之一[1]。對于4 m 口徑以下的小口徑主鏡一般采用柔性的被動支撐形式，對于4 m 及更大口徑主鏡則采用主動支撐形式[2]。大口徑望遠鏡如果采用主動支撐，從而將增加支撐系統(tǒng)的復雜程度，從而大大提高望遠鏡制造成本，而被動支撐是完全被定義的支撐結(jié)構(gòu)，對于鏡面低頻誤差并不能起到較好的校正能力。為解決這一矛盾，基于力矩促動器（Warping Harness，WH）的半主動光學技術(shù)應運而生，該技術(shù)主要用于校正空間頻率接近于零的鏡面波前誤差[3]。從自由度的角度分析，WH 機構(gòu)在底支撐硬點位置的3 個局部自由度的基礎(chǔ)上，通過自身柔性為支撐系統(tǒng)釋放微弱的局部自由度，其微弱的自由度介于主被動支撐之間，所以被稱為“半主動支撐”。WH 都是基于Whiffletree 設(shè)計的，它的應用前提是可以通過樹形擴展方式來傳遞校正力矩，進而改變支撐力分布，以達到調(diào)整面形的目的[4-5]。

傳統(tǒng)的反射鏡支撐系統(tǒng)設(shè)計主要靠設(shè)計人員根據(jù)經(jīng)驗，采用傳統(tǒng)理論和經(jīng)驗公式設(shè)計支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并用有限元方法檢驗計算，再根據(jù)計算結(jié)果反復修改迭代使其最終滿足設(shè)計要求。這種方法效率較低，需耗費大量人力物力且經(jīng)迭代后獲得的可能是局部最優(yōu)解。針對傳統(tǒng)設(shè)計方法的缺陷，本文提出一種反射鏡支撐系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計新方法，即結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化結(jié)合經(jīng)驗設(shè)計的反射鏡支撐系統(tǒng)綜合設(shè)計優(yōu)化方法，并建立一套基于WH的半主動光學支撐系統(tǒng)，并用所提出方法檢驗了該半主動支撐系統(tǒng)對于鏡面低階像差的校正能力。

2 半主動支撐系統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計

2.1 背部定位方案確定

鏡面背部支撐點位置是支撐系統(tǒng)中一個重要的組成部分，支撐點的分布直接影響面形精度。對于大型薄鏡面，支撐點的數(shù)目與平均支撐面積成反比，如果有N個支撐點，則有：

式中：A為鏡面的面積；m為鏡子重量；g為重力加速度；D=Et3/12(1-v2)，其中，E為彈性模量，t為鏡面厚度，v為泊松比[6]。

本課題采用實驗鏡徑厚比達到了20，具體參數(shù)如表1 所示，將表1 中參數(shù)代入式（1），最終選定鏡面背部采用9 點支撐方式。

表1 鏡面參數(shù)Tab.1 Primary mirror parameters

Hindle 總結(jié)的9 點支撐布局，如圖1 所示。圖1 中平衡半徑RE把一個等厚度反射鏡分成兩部分：一個是圓環(huán)盤，其占總重量的2/3，一個是中心盤，其占總重量的 1/3。3 個支撐點等角間距分布在非常接近且略大于平衡半徑RE的一個圓上。其中3 個支撐點位于半徑為R1的內(nèi)圓上，6 個支撐點位于半徑為R0的外圓上[7]。各圓半徑計算公式如下：

圖1 9 個支撐點的Whiffletree 支撐結(jié)構(gòu)Fig. 1 Whiffletree support structure of the mirror with 9 support points

其中D為反射鏡直徑，將其代入式（2）～式（5）得支撐點半徑R0=204 mm，R1=72 mm。經(jīng)有限元分析計算得鏡面面形RMS=19.8 nm。

2.2 側(cè)向定位方案確定

基于運動學約束原理的3 個切向桿的鏡面?zhèn)认蚨ㄎ环绞绞亲罨竞妥罱?jīng)典的方式，滿足鏡面在側(cè)向定位的要求，且不引入額外的定位應力，能夠減小對鏡面面形精度的影響[8]。如圖2 所示，根據(jù)鏡面的受力特點，以鏡面質(zhì)心平面X軸正半軸端點為起點，沿圓周120°均布選取3 個定位點A、B、C，側(cè)向柔性桿的方向以A、B、C為起點沿圓周切線方向。這種中心對稱設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單，側(cè)向柔性桿之間相互約束，可以最大程度上減小鏡面在XY平面上的位移。

圖2 鏡面?zhèn)认蚨ㄎ环桨窮ig. 2 Lateral positioning scheme of the primary mirror

側(cè)支撐由單柔性桿連接鏡體，3 組柔性桿呈中心對稱安裝，在光軸水平狀態(tài)下，A點幾乎不受力，B、C點受力大小相等，夾角為60°，因此在光軸水平狀態(tài)下側(cè)向柔性桿受力分析可只對B、C點柔性桿進行分析，鏡體自重G計算公式如下：

鏡體重約100 N，得F=58 N，則望遠鏡在工作情況下側(cè)支撐柔性桿所受最大軸向力G為58 N。

2.3 柔性件設(shè)計

反射鏡支撐機構(gòu)包括側(cè)支撐和底支撐。底支撐共有3 組Whiffletree 機構(gòu)，包括9 根軸向柔性桿和3 根三角板柔節(jié)；側(cè)支撐則包含3 根側(cè)向柔性桿。

根據(jù)柔性件的設(shè)計指標、功能需求和反射鏡支撐系統(tǒng)中柔性件位置的空間來設(shè)計柔節(jié)[9-10]。初始設(shè)計柔性件結(jié)構(gòu)形式如圖3 所示。

圖3 支撐系統(tǒng)柔性件結(jié)構(gòu)Fig. 3 Diagram structure of the flexible parts of the support system

根據(jù)柔節(jié)最大變形量要求，需滿足以下公式：

其中，F(xiàn)為柔性件所受軸向載荷；L為柔節(jié)的有效長度；E為柔性件材料的彈性模量，值為2.1 ×1011Pa；A為柔節(jié)軸向有效截面積。將軸向、側(cè)向柔性桿、三角板柔節(jié)參數(shù)代入公式（7），求得柔性件的最小截面積，如表2 所示。

表2 各柔性件截面積計算結(jié)果Tab.2 Calculation results of the cross-sectional area of each flexible part

3 個柔性件最小截面積同時考慮可加工性初定各柔性件關(guān)鍵尺寸，其中軸向柔性桿R取為1.2 mm，三角板柔節(jié)H=1.4 mm，側(cè)支撐柔性桿Rlateral=1.0 mm。

2.4 三角板及開放式鏡室設(shè)計

考慮到鏡體質(zhì)量較輕，對三角板承重能力要求較小，所以三角板采用T 形截面設(shè)計。鏡面口徑較小，側(cè)支撐之間跨度不大，為降低支撐系統(tǒng)質(zhì)量，設(shè)計了一款三角形開放式鏡室。相較于傳統(tǒng)圓形封閉式鏡室，其大大降低了支撐系統(tǒng)自重，且大大提高了支撐系統(tǒng)各零件安裝及檢測維修的可操縱性。具體結(jié)構(gòu)如圖4～圖5 所示。

圖4 三角板結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig. 4 Triangle plate structure design

圖5 鏡室結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig. 5 Mirror chamber structure design

三角板三端連接軸向柔性桿，對三角板單獨做有限元分析驗證其極限工作條件下變形大小。約束三角板底端圓面，對連接軸向柔性桿的3 個端面分別施加20 N 的垂直力，結(jié)果表示三角板最大變形在兩長邊處，變形量為0.001 mm，滿足要求。

鏡室大三角三端連接側(cè)支撐座，中間倒三角三端連接三角板柔節(jié)，固定端位于三角板柔節(jié)連接處外側(cè)，以減小更多的變形傳遞。鏡室承載了整個望遠鏡系統(tǒng)的重量，約束鏡室3 個固定點處全自由度，對側(cè)支撐連接點和三角板柔節(jié)連接點分別施加平行于鏡室上表面50 N 和10 N 的力，分析得到鏡室最大變形量為0.000 2 mm，滿足要求。

2.5 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

WH 彈簧葉片在整套半主動光學支撐系統(tǒng)中負責將促動器產(chǎn)生的校正力轉(zhuǎn)化為校正力矩，并傳遞到最上一級柔性桿以改變各柔性桿支撐力，進而達到校正鏡面面形的作用[11]。

2.5.1 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計

WH 彈簧葉片應用的前提是可以通過樹形擴展方式來傳遞校正力矩，其結(jié)構(gòu)形式采用L 形夾角為90°鏤空式設(shè)計，如圖6 所示。

圖6 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig. 6 Structure design of WH spring blade

鏤空式設(shè)計是為了在增加促動器輸出位移行程的同時減小彈性葉片的尺寸。由杠桿原理知促動器行程越大，輸出精度越高；同時促動器驅(qū)動彈簧葉片變形彎曲時，將彈簧葉片驅(qū)動點與固定點的水平距離改變量減小，使得整個系統(tǒng)卡死的風險降低。夾角設(shè)為90°則是為了保證兩個葉片受促動器垂直向上或向下作用力時在其坐標中心處產(chǎn)生的力矩耦合具有一致性。無論葉片作用方向如何，由于其正交性在三角板樞軸上產(chǎn)生的力矩作用效果可以保持一致。

彈簧葉片的厚度決定了其在受力狀態(tài)下變形量的大小，由于鏡面變形符合線性定律，所以要求葉片在受線性力的時候變形量滿足線性關(guān)系，針對葉片厚度進行優(yōu)化分析。設(shè)葉片厚度為變量，以葉片最大變形量為目標函數(shù)搭建彈簧葉片厚度優(yōu)化平臺。經(jīng)優(yōu)化分析彈簧葉片厚度為2 mm時變形量呈線性分布，如圖7（彩圖見期刊電子版）所示，所以選取彈簧葉片厚度為2 mm。

圖7 WH 彈簧片位移線性分析Fig. 7 Linear analysis of the displacement of the WH spring blade

2.5.2 WH 彈簧葉片疲勞分析

疲勞表達了零件受循環(huán)載荷作用產(chǎn)生的損傷和破壞，彈性葉片中截面積最小的地方是其最薄弱的地方，受力時引入應力集中，薄弱環(huán)節(jié)的應力集中用KT表示，則有應力集中系數(shù)Kf。

其中， ρ為薄弱根部半徑，a為結(jié)構(gòu)材料常數(shù)，用截面積最小區(qū)域應力場強來反映疲勞強度，則有：

其中Ω為缺口破壞區(qū)域，V為缺口破壞區(qū)域的體積，為破壞應力函數(shù)，φ(r)為權(quán)函數(shù)。

根據(jù)有限元分析，WH 彈簧葉片最薄弱處應力為14.4 MPa，如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。代入上述公式，權(quán)函數(shù)取1，計算得到σF=9.2 MPa，通過S-N 曲線查找得到WH 彈簧葉片疲勞壽命為1.2×106次，滿足使用要求。

圖8 WH 彈簧葉片應力分析Fig. 8 Stress analysis of the WH spring blade

2.6 傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計靜力學分析

由上述經(jīng)驗設(shè)計得到的各零件尺寸建立有限元模型并分析，其中光軸豎直和水平狀態(tài)下鏡面面形RMS 值為119 nm 和106 nm；1 °C 溫升狀態(tài)下鏡面面形變化量為2.8 nm；一階模態(tài)頻率為80 Hz。

3 支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸及位置優(yōu)化

由2.6 節(jié)知在傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計的支撐系統(tǒng)支撐下，望遠鏡各工況下鏡面面形誤差較大，接下來將對該支撐系統(tǒng)各零件尺寸和分布位置進行優(yōu)化設(shè)計，以降低由支撐系統(tǒng)引入的鏡面面形誤差[12-13]。

3.1 軸向支撐點位置優(yōu)化

在鏡體支撐點位置完成傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計之后，首先對支撐點位置進行優(yōu)化。采用 Isight 集成優(yōu)化平臺集成有限元分析軟件和數(shù)據(jù)處理軟件[14-15]，采用序列二次規(guī)劃算法以內(nèi)外圈支撐點半徑R0、R1為變量，以反射鏡面形RMS 值為優(yōu)化目標。數(shù)學模型如下：

式中：RMSz為光軸豎直狀態(tài)鏡面面形。優(yōu)化結(jié)果如表3 所示。

表3 支撐點位置優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of the support point position

由上表知，相較于傳統(tǒng)經(jīng)驗公式計算得到的支撐點位置，優(yōu)化后RMS 值由19.8 nm 降至12.0 nm。優(yōu)化前后鏡面變形云圖如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。

圖9 支撐點位置優(yōu)化前后鏡面變形對比Fig. 9 Comparison of mirror deformation before and after optimization of the support point position

3.2 三角板連接點位置優(yōu)化

軸向支撐點在鏡面底部分為內(nèi)外兩圈，由于該實驗反射鏡為內(nèi)凹球面鏡，鏡體邊緣厚度大于中心厚度，如果三角板柔節(jié)連接點仍設(shè)計為三角板質(zhì)心點，將使軸向柔性桿在望遠鏡工作狀態(tài)下受力不等，從而引入鏡面變形。

由2.3 節(jié)知各柔性件尺寸，并由2.1 節(jié)知經(jīng)驗公式計算得到的三角板柔節(jié)連接點位置參數(shù)。使用Isight 集成優(yōu)化平臺集成有限元分析軟件、數(shù)據(jù)處理軟件搭建三角板柔節(jié)連接點位置參數(shù)優(yōu)化平臺。根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗進行設(shè)計，最終得L=RS-R0=83.7 mm，設(shè)置圖4 中L為變量，約束三角板柔節(jié)連接點全自由度，以鏡面面形為優(yōu)化目標，其數(shù)學模型為：

式中：RMSz為光軸豎直狀態(tài)下的鏡面面形值，單位為mm；L的兩次優(yōu)化范圍分別為60～85 mm 和70～72 mm，為保證L以第一位小數(shù)結(jié)尾，設(shè)間隔為0.1 mm。

經(jīng)全因子遍歷L值后，最終搜索到L=70.6 mm時鏡面面形RMSz值為13.5 nm，相較于傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計下的鏡面面形RMS值由119 nm 降至13.5 nm，其中L與RMSz呈二次函數(shù)關(guān)系，且在L=70.6 mm時取最小值。

3.3 支撐系統(tǒng)柔性件尺寸參數(shù)優(yōu)化

由上述優(yōu)化知根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計得到的結(jié)果并不能完全滿足設(shè)計指標要求，因此，還需要在支撐系統(tǒng)各組件位置關(guān)系確定后對軸、側(cè)支撐柔性件進行關(guān)鍵部位尺寸參數(shù)優(yōu)化，以達到更好的支撐效果。

在3.2 節(jié)優(yōu)化獲得的L值的基礎(chǔ)上重新建立有限元模型，對光軸豎直方向和光軸水平方向分別施加重力載荷，設(shè)置為Z工況和X工況，并對有限元模型施加溫升載荷，設(shè)置為TEMP 工況。使用Isight 搭建支撐系統(tǒng)柔性件關(guān)鍵尺寸參數(shù)優(yōu)化平臺。約束尺寸包括軸向柔性桿半徑Rz、側(cè)向柔性桿Rc、三角板柔節(jié)寬H。

經(jīng)過兩次多尺寸參數(shù)優(yōu)化，得到使反射鏡組件光軸豎直和水平狀態(tài)下鏡面面形、1 °C 溫差下鏡面面形差最小狀態(tài)下的柔性件尺寸，見表4。其中RMSz和RMSx為光軸豎直、水平工況下的鏡面面型精度、RMSt為1 °C 溫差時鏡面RMS值的差值。類似三角板柔節(jié)連接點尺寸參數(shù)優(yōu)化，考慮到柔性件結(jié)構(gòu)的尺寸合理性和加工合理性，在試驗設(shè)計的優(yōu)化過程中，對參數(shù)變量的取值進行了規(guī)定，取優(yōu)化值為以1 位小數(shù)結(jié)尾的數(shù)值，將以多于1 位小數(shù)結(jié)尾的數(shù)值過濾掉。

表4 支撐柔性件結(jié)構(gòu)尺寸最優(yōu)解Tab.4 The optimal solution for the structural size of the supporting flexible parts

通過分析每個參數(shù)對每個響應的影響趨勢和影響程度?？梢缘玫剑?/p>

（1）光軸豎直狀態(tài)下對鏡面面形影響最大的柔性件參數(shù)為軸向柔性桿半徑Rz和側(cè)向柔性桿半徑Rc，其中前者和鏡面面形RMSz成反比，后者與RMSz成正比。

（2）光軸水平狀態(tài)下鏡面面形影響最大參數(shù)為側(cè)向柔性桿和三角板柔節(jié)寬綜合作用H-Rc、，前者與鏡面面形RMSx成反比，后者與RMSx成正比。

（3）1 °C 溫差下鏡面面形影響最大參數(shù)為軸向柔性桿半徑Rz，與RMSt成正比。

對于處于最高地下水位以上的其余礦體，采礦活動對地下水含水層結(jié)構(gòu)造成影響較小。但是采礦會截取補給巖溶水的水量，使得巖溶水有一定程度的衰減，另外匯集的礦坑水沿著斷裂構(gòu)造與裂隙的溝通以及采礦產(chǎn)生的裂隙為采礦廢水提供下滲通道進入巖溶水系統(tǒng)，可能對巖溶水產(chǎn)生污染，在一定程度上造成礦體及其下游地下水水質(zhì)惡化，但總體影響較小。

至此優(yōu)化結(jié)束。經(jīng)對比知傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計光軸豎直狀態(tài)下鏡面面形由119 nm 降至13.3 nm，優(yōu)化率達到88.9%；光軸水平狀態(tài)下鏡面面形由106 nm 降至4.8 nm，優(yōu)化率達到95.5%；1 °C 溫差狀態(tài)下鏡面面形最大差值由2.8 nm 降至1.9 nm，優(yōu)化率為32.1%。優(yōu)化前后鏡面變形對比如圖10（彩圖見期刊電子版）所示，可見支撐系統(tǒng)經(jīng)優(yōu)化后各方面性能均得到了不同程度的提升。

圖10 3 種工況下優(yōu)化前（上）后（下）鏡面變形圖Fig. 10 Specular deformation diagrams before (top) and after (bottom) optimization under three working conditions

3.4 軸、側(cè)柔性件解耦驗證

由上節(jié)可得到使鏡面面形RMS 最小的柔性件尺寸，根據(jù)支撐系統(tǒng)功能和指標分配，軸向柔性桿應滿足：

（1）在光軸豎直狀態(tài)下，沿軸向產(chǎn)生的剛體位移要小于0.002 mm，才能實現(xiàn)對反射鏡的軸向約束。

（2）在光軸水平狀態(tài)下，軸向柔性桿承受載荷為光軸豎直狀態(tài)時承受載荷的1/10，即1.2 N，軸向柔性桿徑向產(chǎn)生的撓度大于側(cè)支撐引起的剛體位移時，底支撐對反射鏡面面形產(chǎn)生的影響可以忽略不計，此時軸、側(cè)向支撐滿足解耦要求。

現(xiàn)對3.3 節(jié)求得的柔性件尺寸進行分析，結(jié)果如表5 所示。其中S軸軸為軸向柔性桿軸向最大受力變形，S軸側(cè)為軸向柔性桿耦合狀態(tài)下最大變形，S側(cè)為側(cè)向柔性桿變形。由表5 可知，柔性桿在光軸水平工況下滿足耦合，望遠鏡系統(tǒng)三維設(shè)計圖如圖11所示，支撐系統(tǒng)組件總質(zhì)量為12 kg，遠小于兩倍鏡重。

表5 柔性桿軸及側(cè)向解耦結(jié)果Tab.5 Flexible rod axis and lateral decoupling results

圖11 鏡面支撐系統(tǒng)三維圖Fig. 11 3D view of the mirror support system

4 有限元分析與半主動支撐系統(tǒng)校正能力驗證

利用有限元軟件重新建立鏡面支撐系統(tǒng)的有限元模型，為使計算結(jié)果更加準確，全部采用手動畫網(wǎng)格，其中鏡體和各柔性件采用solidHEX8 單元劃分，三角板和鏡室采用Beam 梁單元劃分，有限元模型如圖12(彩圖見期刊電子版）所示，圖中Act_01～Act_06 為作用在WH 彈簧葉片上的6 個中心對稱分布的促動器編號。

圖12 鏡面系統(tǒng)有限元模型Fig. 12 Finite element model of the mirror system

4.1 WH 葉片驅(qū)動影響分析

半主動支撐系統(tǒng)校正過程中主要靠促動器推拉WH 彈簧葉片產(chǎn)生形變從而使軸向柔性桿受力大小發(fā)生變化，進而校正鏡面面形[16]。為探究該支撐系統(tǒng)對鏡面面形的校正能力，采用Zernike 各項像差系數(shù)大小來表征面形質(zhì)量的好壞，鏡面半主動校正主要針對鏡面低階像差，由于前三階像差可通過調(diào)整次鏡來消除，所以本次分析主要針對前4～11 階Zernike 像差，包括初級離焦、像散、慧差、球差、三葉草像差等。

圖13 校正力與鏡面像差影響分析平臺Fig. 13 Correction force and mirror aberration impact analysis platform

圖14 各校正力相對Zernike 4～11 階像差Pareto 圖Fig. 14 Pareto diagrams of the 4th to 11th order Zernike aberrations for each correction force

上圖14 給出了各促動器相對鏡面Zernike4～11 階像差的Pareto 圖，可以看出各校正力對鏡面像差均有影響，但由于6 個校正力施加位置不同，所以對于特定像差，各校正力的影響程度也不同。其中各單位校正力對離焦、0°和90°三葉草像差校正效果相同。由于鏡面產(chǎn)生大小相同且呈中心對稱變形時0°和90°像散、0°和90°慧差方向不同，所以各單位校正力對上述像差影響程度不同。

4.2 系統(tǒng)靜力學校正能力分析

上節(jié)給出了各促動器單位力與鏡面低階像差之間的影響程度分析，可以看出雖然6 個促動器位置分布不同，但它們對鏡面像差的影響是交互的，不同促動器對同一種像差均有不同程度的影響，為了深入探究半主動光學技術(shù)對鏡面像差的校正能力，采用Isight 集成Patran、Nastran、sigfit 建立鏡面低階像差多目標優(yōu)化平臺。其數(shù)學模型如式12 所示，其中Z4-11表示Zernike 第4～11階系數(shù)，單位為nm；act01～act06表示6 個促動器輸出的校正力大小，單位為N。

上文支撐系統(tǒng)優(yōu)化均是在鏡面處于兩個極限位置，即光軸水平狀態(tài)和豎直狀態(tài)下的鏡面面形情況，而望遠鏡實際工作時這兩個極限位置幾乎不會出現(xiàn)，大部分時間望遠鏡指向在30°至75°之間，因此需要分析半主動光學技術(shù)在鏡面系統(tǒng)工作狀態(tài)下的校正能力。為清晰表達望遠鏡工作狀態(tài)，首先定義一個直角坐標系，明確鏡面在坐標系中的位置。坐標系原點設(shè)置在主鏡面中心，光軸正方向為Z軸正向，X方向沿鏡面半徑方向并垂直其中一根側(cè)支撐柔性桿，按照右手定則確定Y軸的方向，實際上Y軸沿另一條半徑并垂直于X軸。

將鏡面俯仰過程以15°為間隔細分，采用多島遺傳算法分別對各角度狀態(tài)下的鏡面像差進行優(yōu)化校正，校正結(jié)果如圖15（彩圖見期刊電子版）所示。其中0°和90°分別代表光軸水平和光軸豎直狀態(tài)。

圖15 半主動支撐系統(tǒng)俯仰過程中鏡面各像差校正前后對比及校正率圖Fig. 15 Comparison before and after correction and their correction rate of each aberration of the mirror surface during the pitching process of the semi-active support system

圖15 給出了半主動支撐系統(tǒng)在鏡面支撐系統(tǒng)俯仰過程中各角度對Zernike 第4～11 階像差的校正效果，可以看出：

（1）對于由支撐系統(tǒng)引入的鏡面初級離焦、像散、慧差、球差等像差，半主動支撐系統(tǒng)可以進行有效校正，校正率最高可達99%，校正后各像差幅值均低于1 nm。

（2）對于0°和90°三葉草像差，半主動支撐系統(tǒng)對其校正能力一般，大多數(shù)情況下其幅值有所增大。

校正前后，鏡面面形RMS 值相對于俯仰角度變化如圖16（彩圖見期刊電子版）所示，其中俯仰過程中鏡面變形云圖校正前后對比如圖17（彩圖見期刊電子版）所示。

圖16 鏡面面形與俯仰角度關(guān)系圖Fig. 16 The relationship between mirror surface shape and pitch angle

圖17 俯仰過程中鏡面校正前（上）后（下）云圖Fig. 17 Cloud maps before (top) and after (bottom) mirror correction during pitching

由圖16 知：鏡面系統(tǒng)在0°～90°俯仰過程中校正前鏡面面形RMS 值呈三角函數(shù)曲線變化，經(jīng)校正后鏡面面形RMS 值范圍由5.6 nm～14.0 nm降至3.3 nm～13.3 nm；對鏡面面形的校正率隨鏡面系統(tǒng)從光軸水平俯仰至光軸豎直狀態(tài)的過程中逐漸減小，其范圍在4.7%～46.5%之間，校正能力優(yōu)秀。

4.3 半主動支撐系統(tǒng)熱力學校正能力分析

鏡面支撐系統(tǒng)靜力學分析滿足線性定律，但是實際分析過程中受溫度和重力的雙重影響，所以在分析溫度載荷影響時，鏡面總變形等于重力引起的變形和溫度變化引起的變形的線性疊加。望遠鏡工作時圓頂內(nèi)設(shè)有溫度保持裝備，工作溫度范圍不會太大。假設(shè)鏡面在室溫20 °C 時的面形誤差是理想值，分析半主動支撐系統(tǒng)在室溫30 °C 時對鏡面面形RMS 值及Z4～11階像差校正前后情況。結(jié)果如表6 所示，校正前后鏡面變形云圖如圖18（彩圖見期刊電子版）所示，從位移云圖校正前后的對比可以看出鏡面離焦像差被有效校正。

表6 30°C 時鏡面面形校正前后對比Tab.6 Comparison of mirror surface shapes before and after correction at 30°C

圖18 10 °C 溫升狀態(tài)下鏡面面形校正前（左）后（右）變形云圖Fig. 18 Deformation cloud diagrams of the mirror’s surface shapes before (left) and after (right) correction under a 10°C temperature rise

由圖18 可知溫升10 °C 狀態(tài)下鏡面經(jīng)多目標集成優(yōu)化校正前后：

（1）校正前后鏡面面形RMS 值由19.2 nm 降至13.2 nm，校正率為31.28%

（2）半主動支撐系統(tǒng)對由溫升引起的鏡面離焦、初級像散、初級球差均有較好的校正能力，校正率最高可達97.23%，且校正后各像差幅值均小于1 nm。

（3）對于溫升引入的0°和90°初級慧差，由于其校正前幅值最大為0.02 nm，校正后其幅值仍小于0.05 nm，可以忽略不記。

（4）對于溫升引入的0°和90°三葉草像差，校正前像差幅值分別為12.8 nm 和1.43 nm，校正后為12.4 nm 和3.45 nm，可以看出半主動支撐系統(tǒng)對該像差校正能力有所欠缺。

4.4 模態(tài)分析

鏡面支撐系統(tǒng)另一個重要特征是諧振頻率，諧振頻率影響其穩(wěn)定性和半主動控制系統(tǒng)精度。建立有限元模型分析望遠鏡支撐系統(tǒng)前4 階諧振頻率，約束鏡室固定位置的3 個節(jié)點對其進行模態(tài)分析，計算結(jié)果如表7 所示。

表7 鏡室組件前四階諧振頻率Tab.7 The first four-order resonance frequencies of the mirror chamber assembly

由表7 可知，經(jīng)集成優(yōu)化后半主動支撐系統(tǒng)一階諧振頻率由80 Hz 提升至130 Hz，動態(tài)剛度有了明顯的提升。

5 結(jié) 論

針對反射鏡傳統(tǒng)設(shè)計方法的缺陷，本文采用一種傳統(tǒng)經(jīng)驗設(shè)計與尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合的集成優(yōu)化設(shè)計方法。該方法收斂速度快，容易找到全局最優(yōu)解，在軸、側(cè)向支撐柔性件和WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計以及三角板柔節(jié)連接點位置選定中采用了該優(yōu)化方法，效果顯著。設(shè)計了一種三角形開放式鏡室，相較于傳統(tǒng)圓形封閉式鏡室，支撐系統(tǒng)總質(zhì)量大大降低，提高了鏡室內(nèi)零件安裝和檢測維修的可操縱性。同時采用該方法對半主動支撐系統(tǒng)校正能力進行驗證，包括各促動器校正力相對鏡面Zernike 4～11 階像差影響分析、常溫狀態(tài)和溫升10 °C 狀態(tài)下鏡面半主動系統(tǒng)俯仰過程中對各低階像差校正能力分析。

利用本文提出的集成優(yōu)化設(shè)計方法完成了：

（1）500 mm 口徑反射鏡半主動支撐系統(tǒng)的鏡面支撐點位置、軸向和側(cè)向支撐結(jié)構(gòu)以及WH 彈簧葉片厚度的優(yōu)化設(shè)計。經(jīng)優(yōu)化后軸、側(cè)柔性件仍滿足解耦要求。

（2）鏡面支撐系統(tǒng)經(jīng)優(yōu)化后反射鏡光軸豎直及光軸水平狀態(tài)下面形精度RMS 值分別達到了13.3 nm 和4.8 nm，說明本支撐系統(tǒng)對鏡面面形精度影響較小。

（3）1 °C 溫差狀態(tài)下鏡面面形最大差值由2.8 nm 降至1.9 nm，說明本支撐系統(tǒng)溫度適應性較好。

（4）一階諧振頻率由80 Hz 提升至130 Hz，鏡面半主動支撐系統(tǒng)動態(tài)剛度有明顯的提升。

（5）由本套半主動支撐系統(tǒng)對鏡面低階像差的校正能力驗證結(jié)果可知：對鏡面系統(tǒng)俯仰過程中由支撐系統(tǒng)、鏡面自身重力、溫度變化等引入的鏡面離焦、低階像散、低階慧差、初級球差等鏡面低階像差，半主動光學技術(shù)的校正率最高可達到99%。經(jīng)校正后各像差幅值均小于1 nm，校正能力十分優(yōu)秀。

（6）這套半主動支撐系統(tǒng)在室溫狀態(tài)下對鏡面俯仰過程中由重力引起的鏡面面形RMS 值的變化校正率在4.7%～46.5 之間，其中光軸水平狀態(tài)下校正效果最好；同時對由溫升引起的鏡面面形RMS 值變化校正率達到31.28%。校正能力優(yōu)秀。

可以看出本套半主動支撐系統(tǒng)經(jīng)本文采用的集成優(yōu)化設(shè)計后各方面性能均得到大幅度提升，說明該集成優(yōu)化方法在支撐系統(tǒng)設(shè)計中具有很好的應用價值，同時為同類鏡面支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計提供一定的參考。