基于差分傳遞函數(shù)法的大口徑平面鏡檢測

安其昌，姜晰文，李洪文，唐 境

（1. 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所, 吉林長春 130033；2. 吉林省智能波前傳感與控制重點實驗室, 吉林長春130033）

1 引 言

黑洞、暗物質(zhì)與暗能量、宇宙起源、天體起源、宇宙生命起源等是近年來天文學(xué)界研究的熱點。為了開展以上科學(xué)目標研究，通過建造大口徑地基望遠鏡獲得更高的集光面積（與口徑平方成正比）與分辨率（與口徑成正比）是非常重要的技術(shù)手段。大口徑平面鏡作為大口徑望遠鏡研制過程中的關(guān)鍵器件，其尺寸也隨之加大、所承擔(dān)的功能也日益增多[1-3]。

大天區(qū)面積多目標光纖光譜望遠鏡（Large Sky Area Multi-Object Fiber Spectroscopic Telescope ，LAMOST）中，對角線為1.1 m 的MA 六邊形平面鏡，具有主動面形校正能力。歐洲極大望遠鏡（Europe-Extremely Large Telescope，E-ELT）第四鏡為2.4 m 的大口徑平面扇形變形鏡，用以校正大氣湍流，不論是鏡面展平誤差還是像差校正能力，均需要借助高精度的面形檢測手段進行標校。同時其第五鏡為一塊橢圓鏡，不僅可以折轉(zhuǎn)光路，同時還具有偏擺功能，可校正一部分大氣湍流以及風(fēng)載所帶來的低階像差；三十米望遠鏡（Thirty Meter Telescope，TMT）第三鏡為3.5 m×2.5 m 的橢圓鏡，在系統(tǒng)對目標星體進行跟蹤時，需要將光線在位于奈氏平臺上的科學(xué)終端間快速切換。大麥哲倫望遠鏡（Giant Magellan Telescope）三鏡為0.6 m×0.4 m 的平面鏡，具有四維運動能力，并可以通過開環(huán)查表的方法實現(xiàn)主動光學(xué) 。針對以上對于科學(xué)目標的重要系統(tǒng)需求，下一代大口徑平面鏡的檢測場地也不僅局限于光學(xué)加工車間內(nèi)，在望遠鏡調(diào)試現(xiàn)場也需要進行面形檢測以保證其功能的完整性。

傳統(tǒng)使用的平面鏡測量設(shè)備主要基于干涉儀，不僅價格昂貴，對環(huán)境振動也十分敏感，瑞奇-康芒法是一種歷史悠久的檢測方法，國內(nèi)外諸多大口徑標準平面鏡都曾使用瑞奇-康芒完成了面形檢測。檢測望遠鏡轉(zhuǎn)折鏡時，由于待測鏡面上的橢圓投影，瑞奇-康芒方法的優(yōu)勢將表現(xiàn)得更加明顯：歐洲南方天文臺的甚大望遠鏡（Very Large Telescope, VLT）中的1.3 m×0.8 m 三鏡，即使用了瑞奇-康芒法進行檢測；在 LAMOST 中，對角線為1.1 m 的MA 六邊形平面鏡安裝后的在位檢測也使用了瑞奇-康芒法。故基于瑞奇-康芒檢測方法的應(yīng)用研究有十分堅實的理論與實驗基礎(chǔ)[4-8]。

大口徑平面鏡不論作為望遠鏡光學(xué)系統(tǒng)中的折返鏡還是望遠鏡自準直檢測所使用的標準反射鏡，其面形誤差均會耦合進入系統(tǒng)波前。如果不能很好地控制平面鏡的中頻面形誤差，望遠鏡系統(tǒng)將會出現(xiàn)小角度散射、鬼像、耀斑等情況，從而降低系統(tǒng)的成像質(zhì)量。本文針對大口徑光學(xué)平面更大跨度、更復(fù)雜形貌的檢測需求，基于瑞奇-康芒檢測架構(gòu)提出使用數(shù)字全息技術(shù)，實現(xiàn)在位的高空間分辨率檢測。目前全息感知多為相移探測通過多次強度測量重建相位[9-12]。針對此情況，本文引入VLT 中用于消除非共光路像差的方法——差分光學(xué)傳遞方法（differential Optical Transfer Function, dOTF） ，實現(xiàn)了不附加過多探測器件且有較高時空分辨率的波前傳感，即通過傳遞函數(shù)的變分，獲得對光場的全息估計（同時獲得幅值與相位信息），并結(jié)合瑞奇-康芒法的測量邊界條件，通過數(shù)字自適應(yīng)技術(shù)，修正最終成像效果中平面光學(xué)元件所引入的誤差。通過全息檢測為后續(xù)圖像處理過程中的反卷積過程提供初始解，提升全局最優(yōu)的搜索效率，降低奇異解出現(xiàn)概率。

2 基于dOTF 波前傳感方法

dOTF 是通過檢測光瞳面成像相位和復(fù)振幅從而獲得波前的技術(shù)。

針對某一個子孔徑，結(jié)合瑞奇-康芒檢測光路的空間布置，計算得到光瞳面的差分光學(xué)傳遞函數(shù)，根據(jù)所需形狀將獲得數(shù)據(jù)的不規(guī)則邊緣進行裁剪（在此假設(shè)裁剪為常用的圓形子孔徑）如圖1（彩圖見期刊電子版）所示。在獲得所有離散子孔徑數(shù)據(jù)后估算整個光瞳面的相位和振幅分布。其中，子孔徑尺寸、數(shù)量與孔徑的排列方式，綜合決定了所覆蓋的空間頻率范圍。常見的排列方式有環(huán)形，三臂、Golay 型以及復(fù)合型。為了便于計算調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF），可將子孔徑裁剪為圓形。根據(jù)傅立葉光學(xué)理論，不同形式的子孔徑采樣形式，會對應(yīng)不同的MTF。與此同時，為了對測量光路進行更好的對準，有時需要在子孔徑排布時在視場邊緣預(yù)留添加定位靶標的區(qū)域[13-16]。

圖1 孔徑變分下的標準波前主成分分析結(jié)果Fig. 1 Principal component analysis results of standard wavefront

假設(shè)系統(tǒng)波前如式（1）所示：

其中，f為空間坐標，u為波前的特征頻率，A為光場的幅值，λ 為波長，設(shè)光瞳掩模后復(fù)振幅為W(u)

式中Π (x)為光瞳掩模函數(shù)。

由傅立葉光學(xué)可知，OTF 為點擴散函數(shù)（Point Spread Function，PSF）的傅立葉變換，

dOTF 中被遮擋部分的光瞳函數(shù)變化可由下式表示，

其所對應(yīng)的光瞳場為，

差分光學(xué)傳遞函數(shù)為Δ Π(x)，其可表示為，

當(dāng)不考慮重疊區(qū)域點時，最終求得光瞳面的相位和振幅，可由下式表示，

主成分分析可有效判斷求解過程對基底正交性的影響，借助主成分分析，針對低階像差構(gòu)建樣本庫，如圖2（彩圖見期刊電子版）所示。由圖2可得，通過差分傳遞函數(shù)方法所解算的基本像差模式，保持了其原有的空間頻率特征。

圖2 對彗差與像散混合波前的差分光學(xué)傳遞函數(shù)解算幅值（a）及相位（b）Fig. 2 (a) The amplitude and (b) phase calculated by the differential optical transfer function for the mixed wavefront of coma and astigmatism

3 基于dOTF 的波前傳感實驗驗證

采用光瞳遮擋的方式，分別生成兩幅光學(xué)傳遞函數(shù)圖像，再將兩幅光學(xué)傳遞函數(shù)圖像做差之后進行傅立葉變換，得到光瞳面相位和振幅分布的一組數(shù)據(jù)。遮擋中心零級像，重復(fù)測量求平均，再解算差分光學(xué)傳遞函數(shù)，以降低隨機噪聲的影響。針對彗差與像散的復(fù)合低階像差進行差分光學(xué)傳遞函數(shù)解算，其初始點擴散函數(shù)與遮攔后的點擴散函數(shù)如圖3（彩圖見期刊電子版）所示。

圖3 孔徑變分前（a）、后（b）焦斑能量分布Fig. 3 Energy distributions of the focal spot before (a) and after (b) aperture variation

利用結(jié)構(gòu)函數(shù)可對不同波動尺度的誤差進行解算，從定義的角度來看，結(jié)構(gòu)函數(shù)表征的是特定尺度內(nèi)，所包含湍流的總能量，后來被引入系統(tǒng)波前的評價之中，用以表征特定尺度下，由于不同的加工手段或支撐方式，所引入的面形起伏。對2 m級大口徑反射鏡面形進行差分光學(xué)傳遞函數(shù)解算，其對應(yīng)結(jié)構(gòu)函數(shù)如圖4～圖5（彩圖見期刊電子版）所示。針對原始波前與解算波前進行相關(guān)運算，得其相關(guān)系數(shù)高于70%，可有效指導(dǎo)平面鏡的檢測與集成。波前的結(jié)構(gòu)函數(shù)的基本定義如下：

圖4 2 m 級大口徑反射鏡面形差分光學(xué)傳遞函數(shù)解算結(jié)果。（a）原始波前；（b）恢復(fù)波前；（c）原始波前結(jié)構(gòu)函數(shù)；（d）恢復(fù)波前結(jié)構(gòu)函數(shù)Fig. 4 Differential optical transfer function solutions for a 2 m level large aperture mirror shape. (a) Original wavefront. (b)Recovered wavefront. (c) Original wavefront structure function. (d) Recovered wavefront structure function

圖5 原始波前與復(fù)原結(jié)果的互相關(guān)函數(shù)Fig. 5 Cross correlation function between the original wavefront and restoration"s result

設(shè)光瞳掩模后復(fù)振幅為W(u)， λ 為波長， 〈·〉表示在波前上的平均。通過分析結(jié)構(gòu)函數(shù)可知，對于高頻段具有部分截斷效應(yīng)，其原因在于，進行全息探測的系統(tǒng)，其光電感知環(huán)節(jié)為離散形式，不可能擁有無限高的分辨率。實際上，面形檢測主要面向中低頻誤差，對高階誤差的檢測需求不高。

在瑞奇-康芒檢測應(yīng)用方面，中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機械研究所、中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所（簡稱長春光機所）、南京理工大學(xué)、中國科學(xué)院國家天文臺南京天文光學(xué)技術(shù)研究所均進行了大量的研究，并獲得多項成果。2010 年，中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機械研究所的樊學(xué)武等人使用光線追跡方法，分析了系統(tǒng)誤差對檢測結(jié)果的影響，并對90 mm 平面鏡進行了檢測[17]。2013 年，長春光機所的朱碩結(jié)合坐標變換與最小二乘估計，在不同反射角度下獲得瑞奇-康芒的檢測結(jié)果，以降低系統(tǒng)失調(diào)誤差的影響[18]。2018 年，南京理工大學(xué)的劉一鳴利用被檢測平面鏡Zernike 系數(shù)與干涉儀光瞳面所測結(jié)果間的對應(yīng)關(guān)系，對90 mm 平面鏡進行了面形檢測[19]。

平面鏡工作狀態(tài)下的復(fù)檢過程中，過多的子孔徑也會造成信息冗余。合理地降低子孔徑數(shù)量，將互相重疊的子孔徑脫離為離散子孔徑，并結(jié)合適當(dāng)?shù)脑u價指標，可以更好地發(fā)揮子孔徑檢測中頻面形的優(yōu)勢。對于單個子鏡數(shù)據(jù)的獲取，可使用斐索式平面干涉儀，但其成本隨著口徑增大急劇升高，同時對外界振動十分敏感。這限制了其應(yīng)用口徑與工作環(huán)境。離散孔徑與瑞奇-康芒法的結(jié)合可以大幅降低大口徑平面鏡的檢測成本，提升效率以及擴寬檢測的環(huán)境適應(yīng)性。由于檢測的最終目的為獲取相應(yīng)的面形數(shù)據(jù)，因此需要對面形數(shù)據(jù)的獲取過程進行研究[20-21]。波前重建方法分為區(qū)域法與模式法，在本項目中采用模式法。通過差分光學(xué)傳遞函數(shù)獲得子孔徑波前，并利用Zernike 基底進行擬合，最終獲得完整的波前?；诓罘謧鬟f函數(shù)法的大口徑平面鏡離散孔徑檢測架構(gòu)如圖6（彩圖見期刊電子版）所示。針對低階像差組合的原始波前與重建波前如圖7（彩圖見期刊電子版）所示。對應(yīng)的Zernike 系數(shù)對比如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。首先對待測系統(tǒng)所關(guān)心的空間頻率進行分析，保證稀疏孔徑采樣可實現(xiàn)對特征頻段的覆蓋，其次，構(gòu)建瑞奇-康芒檢測架構(gòu)，分析具體配置所引入的誤差；最后，進行全息測量，即分別得到遮攔與無遮攔的星點像，并利用泛函分析獲得波前光場信息。

圖6 基于全息瑞奇-康芒檢測大口徑平面鏡離散孔徑檢測架構(gòu)。（a）光瞳架構(gòu)；（b）檢測光路；（c）孔徑變分解算過程Fig. 6 Large aperture planar mirror discrete aperture detection architecture based on holographic Ritchey-Common detection. (a) Pupil architecture. (b) Detection optical path. (c) Aperture variational calculation process

圖7 低階像差組合的（a）原始波前與（b）重建波前Fig. 7 (a) Original wavefront and (b) reconstructed wavefront of low-order aberration combination

圖8 原始波前與重建波前對應(yīng)的Zernike 系數(shù)對比Fig. 8 Comparison of Zernike coefficients corresponding to the original wavefront and the reconstructed wavefront

該系統(tǒng)不僅可以對單鏡大口徑光學(xué)系統(tǒng)進行自準直測試，同時，對拼接式的大口徑平面鏡（LAMOST 等六邊形拼接式平面鏡）也同樣適用。其不僅可以獲得波前光場信息（強度與相位），實現(xiàn)對最終圖像退化的定量預(yù)測，還可以通過感知拼接邊界所引入的波前異變，實現(xiàn)對各子鏡位姿的精準調(diào)控。為驗證本文所提方法的可行性與準確性，搭建了實驗平臺。通過準直透鏡擴束，并使用分段式平面變形鏡引入所需像差（彗差1 個波長），最終使用一個F 數(shù)較小的透鏡，實現(xiàn)大視場系統(tǒng)的模擬。波前全息解算結(jié)果可與所加入的像差具有相同模式，解算得到的幅值與相位信息以及實現(xiàn)裝置圖如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。

圖9 解算得到的（a）幅值與（b）相位信息以及（c）實現(xiàn)裝置圖Fig. 9 (a) The amplitude and (b) phase information obtained from the solution and (c) the implementation device

4 討 論

本質(zhì)來看，利用孔徑變分與利用相位差異的波前傳感方法相同，均為通過增加可控攝動，實現(xiàn)多參量影響的解耦與測量。在檢測過程中，遮攔大小需要進行若干次迭代試驗確定，遮攔過小，將導(dǎo)致檢測信噪比下降（變分所引入的焦斑異變被探測器本底噪聲以及雜散光等干擾因素淹沒）。而遮攔過大，會導(dǎo)致波前信息的混疊，從而無法準確提取波前信息。

針對大口徑平面鏡研制中亟待解決的問題：中空間頻段面形檢測問題，基于瑞奇-康芒法覆蓋口徑大，空間覆蓋能力強的特點，利用光線的相似原理，在口徑較小位置利用標準球面鏡對波前檢測結(jié)果進行標定。通過較小口徑的標準平面鏡或球面鏡，可實現(xiàn)系統(tǒng)的精度溯源與精度傳遞。

5 結(jié) 論

面向大口徑平面鏡原位面形檢測需求，針對集成檢測所對應(yīng)的特征空間頻率，基于離散孔徑瑞奇-康芒檢測架構(gòu)，結(jié)合全息波前檢測，可實現(xiàn)高精度、高穩(wěn)定性面形檢測。其與輸入面形相關(guān)性不低于70%，可保障平面鏡系統(tǒng)重復(fù)集成（運輸組裝、重新鍍膜等）精度，最終實現(xiàn)望遠鏡高分辨、高靈敏度成像。通過對單個元件對應(yīng)全息光場的計算，為最終數(shù)字自適應(yīng)解卷積提供初始解。與純盲解卷積相比，利用內(nèi)部度量系統(tǒng)進行的像獲取，通過去除變化緩慢幅值大的分量，對系統(tǒng)的波前畸變進行初步修正，可有效提高最終數(shù)字自適應(yīng)解算結(jié)果的收斂特性。解決了數(shù)字自適應(yīng)實時性差、無法在線校正的難題。