Meixner扭曲函數(shù)及其在期權(quán)定價中的應(yīng)用研究*

姚落根， 翁嘉雪， 劉 歡，王敬童

(湖南工商大學 理學院,湖南 長沙,410205)

0 引言

期權(quán)定價和保險定價是金融數(shù)學研究的重要內(nèi)容, 本質(zhì)上都是對未定權(quán)益的權(quán)利價 值進行定價. 已有研究成果(如Mildenhal[1]等)指出期權(quán)定價和保險定價之間只有細微的差別, 這就為這兩種定價方法的交叉融合提供了可能. 目前, 期權(quán)定價對保險定價 產(chǎn)生了深遠的影響, 它強調(diào)了保險產(chǎn)品與期權(quán)之間的相似性, 因而保險定價可以借助期 權(quán)定價的思想與方法. 這方面的研究已取得很多成果, 見文獻[2-5]等. 然而, 利用保險 定價方法解決期權(quán)定價問題的研究成果很少, 僅見到文獻Gerber等人[6-7]和Bladt等[8].值得注意的是, Schmitz[9]用反例證明了Bladt等[8]的結(jié)論是錯誤的. 隨著保險證券化的急劇發(fā)展, 特別是保險期權(quán)的面市, 更是對這種融合提出了現(xiàn)實需要. 因此, 將保險定價方法運用于期權(quán)定價具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義.

在保險定價理論中, 概率變換是一種常用的風險定價方法. 設(shè)隨機變量X代表風險, 王樹勛[10]利用Choquet積分定義其價格H[X;γ]如下

其中SX(x)是X的生存函數(shù),gγ是某個概率扭曲函數(shù). 如果X非負,則H[X;γ]簡化為

基于標準正態(tài)分布, 王樹勛[10]提出了著名的王氏變換

gγ(u)=Φ(Φ-1(u)+γ)，

(1)

Hamada[14]的結(jié)果表明, 在正態(tài)收益率時, 利用王氏變換計算期權(quán)價格非常有效, 但在非正態(tài)收益率時卻不盡人意. 金融資產(chǎn)的收益率呈非正態(tài)分布特征早已成為人們的共識. 為了適應(yīng)收益率的非正態(tài)特征, 王氏變換有必要進行改進.目前國內(nèi)外這方面的研究已有一些結(jié)果, 王樹勛[15]提出了如下的雙參數(shù)變換替代王氏變換

gν,γ(u)=Tν(Φ-1(u)+γ)，

其中Tv為自由度為v的t分布的分布函數(shù). Kijima & Muromachi[16]考慮了如下變換

gγ(u)=E[Φ(G-1(u))Y+γ]，

其中Y是非負隨機變量,G(x)是隨機變量U/Y的分布函數(shù),U是與Y獨立的標準正態(tài)隨機變量. Godin等[17]引入了NIG變換

gα,β,δ,γ(u)=ΦNIG(ΦNIG-1(u)+γ)，

其中ΦNIG為NIG分布的分布函數(shù).

為了刻畫收益率的非正態(tài)性質(zhì), 國內(nèi)外學者提出了很多模型模擬收益率. Meixner過程就是其中之一.Meixner過程的增量分布具有尖峰厚尾性質(zhì), 這些性質(zhì)非常適合刻畫資產(chǎn)價格的收益率. 本文利用概率變換思想, 基于Meixner分布定義了一類新的概率扭曲函數(shù)——Meixner扭曲函數(shù), 證明了在Meixner模型中, 按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價格和在均值修正鞅測度(mean correcting martingale measure)下得到的期權(quán)價格一致, 從而說明了按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價格無套利. 數(shù)值計算結(jié)果表明, 按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價格非常準確.

1 Meixner分布和Meixner過程

Meixner過程源于正交多項式理論的研究, 首先由Schoutens等[18]引入.后來, Grigelionis[19]將其應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)的建模. 目前,Meixner過程是金融數(shù)學中常見的數(shù)學模型.本節(jié)將介紹Meixner分布和Meixner過程.

定義1如果隨機變量X的特征函數(shù)為

(2)

Grigelionis[19]給出了Meixner分布的密度函數(shù)

(3)

Meixner分布的各階矩都存在. 這里僅列出后面參數(shù)估計中需要用到的期望(E(X)), 方 差(D(X)), 偏度(Skewness(X))和峰度(Kurtosis(X)),

由于正態(tài)分布的峰度為3, 容易看到Meixner分布的峰度總是大于正態(tài)分布的峰度.

由(2)式，對任意正整數(shù)n有

故Meixner分布無窮可分, 從而可以按如下方式定義Meixner過程.

定義2概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P) 上的右連左極過程X={Xt,t≥0}稱為具有參數(shù)(a,b,m,d)的Meixner過程, 如果Xt滿足

1.X0=0 a.s.;

2.Xt具有獨立增量和平穩(wěn)增量 ;

3.Xt～M(a,b,mt,dt) .

下面的結(jié)論在本文后面定理4的證明和數(shù)值實驗中需要用到.

定理1設(shè)X～M(a,b,m,d),α∈R,β∈R,α≠0, 記Y=αX+β.則

Y～M(a|α|,sgn(α)b,αm+β,d),

(4)

其中sgn是符號函數(shù).特別地, 若Y=-X, 則Y～M(a,-b,-m,d).

證明只需證明Y的特征函數(shù)具有(2)形式.

E[exp(iuY)]=E[exp(iu(αX+β))]

由于cosx,coshx都是偶函數(shù), 故

最后等式表明Y～M(a|α|,sgn(α)b,αm+β,d).

2 Meixner扭曲函數(shù)

本節(jié)基于Meixner分布, 提出Meixner扭曲函數(shù), 并研究Meixner扭曲函數(shù)對Meixner分布的影響.

定義3設(shè)X～M(a,b,m,d), 稱概率扭曲函數(shù)

(5)

為Meixner扭曲函數(shù).

與王氏變換只有一個參數(shù)不一樣,Meixner扭曲函數(shù)有5個參數(shù). 本質(zhì)上,Meixner扭曲函數(shù)就是把-X的x分位數(shù)向左或向右平移|γ|個單位, 然后重新用-X的分布函數(shù)作用. 我們接下來討論Meixner扭曲函數(shù)對Meixner分布的影響.

定理2設(shè)X～M(a,b,m,d),h(X)是連續(xù)遞增的非負函數(shù),Z=h(X).則

(6)

證明因X是連續(xù)型隨機變量, 故

SZ(x)=P(Z>x)=P(h(X)>x)=P(X>h-1(x))=F-X(-h-1(x)).

將Meixner扭曲函數(shù)gγ;a,b,m,d(x)作用于SZ(x)可得

因此, (6)成立.

3 期權(quán)定價

本節(jié)研究Meixner扭曲函數(shù)在期權(quán)定價中的應(yīng)用.

考慮如下幾何Lévy市場模型: 市場中有兩種資產(chǎn), 一種為無風險資產(chǎn), 其價格過程為

Bt=exp(rt).

另一種資產(chǎn)稱為股票, 其價格過程為

St=S0eXt,0≤t≤T,

(7)

其中, 無風險利率r和股票初值S0都是正常數(shù),X={Xt,t∈[0,T]}是定義在概率空間(Ω,F,F=(Ft)t∈[0,T],P)上的的Lévy過程. 如果Xt不是布朗運動和泊松過程, 則上述市場模型不完備, 因而存在無窮多個等價鞅測度. 在幾何Lévy模型中, 通常選取均值修正鞅測度作為定價測度(參見Schoutens[20]). 均值修正鞅測度的核心思想是通過修正Lévy過程的均值, 使得股票價格過程的折現(xiàn)過程為鞅, 從而得到定價測度. 在Xt為Meixner過程時, 我們把Schoutens[20]的結(jié)果總結(jié)為如下的引理.

引理1在模型(7)中, 設(shè)Xt在市場概率P下是參數(shù)為(a,b,m,d) 的Meixner過程, 則執(zhí)行價格為K、到期日為T的歐式看漲期權(quán)(ST-K)+在均值修正鞅測度Q下的價格為

EQ[e-rT(ST-K)+],

(8)

在模型(7)中, 設(shè)Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過程,則XT～M(a,b,mT,dT). 令h(x)=S0ex, 則ST=h(XT). 利用定理2, 我們有

H[ST;-γ]=E[h(XT-γ)]

=S0e-γE[eXT]

=S0e-γeφ(-i)T.

γ*=(φ(-i)-r)T,

(9)

則顯然有

H[ST;-γ*]=S0erT.

換言之, 在Meixner扭曲函數(shù)g-γ*;a,b,mT,dT作用下, 資產(chǎn)的收益率等于無風險利率.

下面的定理說明在指數(shù)Meixner模型中, 由Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價格等于均值修正鞅測度下的價格.

定理3在模型(7)中, 如果Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過程, 則

H[e-rT(ST-K)+;-γ*]=EQ{e-rT(ST-K)+},

(10)

其中Q是均值修正鞅測度,γ*由(9)式定義.

證明令h(x)=e-rT(S0ex-K)+, 則h(XT)=e-rT(S0eXT-K)+. 由定理2,

記YT=XT-γ*. 由于在實際概率P下,XT～(a,b,mT,dT), 由定理1可知, 在實際概率P下,YT～M(a,b,mT-γ*,dT). 另一方面,

EQ{e-rT(ST-K)+}=e-rTEQ{(S0eXT-K)+}.

因此, 定理的結(jié)論成立.

4 數(shù)值實驗

本節(jié)將對來自五個常用的期權(quán)定價模型(B-S模型、Merton跳擴散模型、NIG模型、Meixner模型和VG模型)的模擬數(shù)據(jù), 討論三種扭曲函數(shù)(分別基于正態(tài)分布、NIG分布和Meixner分布)定價的準確性.

理論上, 在將要討論的5個模型中, 股票價格的下確界為0, 上確界為+∞. 但在計算機模擬過程中, 必有min{ST}>0,max{ST}<+∞. 同時, 在數(shù)值計算中, 需要用經(jīng)驗 分布代函數(shù)代替真實分布函數(shù). 這些都會對相對誤差產(chǎn)生無法避免的影響. 另外，容易得到當執(zhí)行價格K大于或等于模擬價格的最大值時, 任何模型下, 三種扭曲算子的相對誤差都等于1; 而當執(zhí)行價格K小于或等于模擬價格的最小值時, 任何模型下, 三種扭曲算子的相對誤差都等于exp(-rT)min{ST}/S0. 因此, 對于深度虛值期權(quán)和深度實值期權(quán)而言, 比較三種扭曲算子的準確性就沒有意義. 基于這個原因, 本文主要討論當執(zhí)行價格在股票初始價格S0附近時的相對誤差.

4.1 B-S模型

在模型(7)中, 令Xt=(μ-0.5σ2)t+σWt, 其中Wt是標準布朗運動. 首先利用參數(shù)S0=50,r=0.05,T=0.5,σ=0.15,μ=0.1, 模擬出5 000個股票價格ST. 其次, 利用極大似然估計方法求得NIG分布的參數(shù)估計

和Meixner分布的參數(shù)估計

最后利用三種扭曲函數(shù)(分別基于正態(tài)分布、NIG分布和Meixner分布)計算歐式看漲期權(quán)的價格及其相對誤差. 由于此次模擬max{ST}=76.254 1, min{ST}=34.803 7, 從圖1左圖可以看到, 當執(zhí)行價格不小于76.254 1時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都為1; 當執(zhí)行價格K→0+時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都收斂于

exp(-rT)min{ST}/S0=0.678 9.

從圖1右圖可以看到, 當執(zhí)行價格在S0=50附近時, 王氏變換的相對誤差最小, Meixner和NIG變換的相對誤差幾乎沒差異, 最大的相對誤差不超過6.5%. 因此, 在BM模型中, 由這三種扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價格都非常準確.

圖1 B-S模型中三種扭曲算子價格的相對誤差Fig.1 The relative errors of prices of three distortion operators in B-S model

4.2 Merton跳擴散模型

Merton[21]考慮了如下跳擴散模型

與B-S模型的做法類似, 給定S0=30,r=0.05,T=0.5,μ=-0.1,σ=0.2,λ=1.5,

μY=0.2,σY=0.3. 先模擬出5 000個股票價格ST.利用極大似然估計方法求得NIG分布和Meixner分布的參數(shù)分別為

此次模擬max{ST}=173.801 5,min{ST}=6.702 3, 從圖2左圖可以看到, 當執(zhí)行價格不小于173.801 5時,3種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都為1; 當執(zhí)行價格K→0+時,3種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.217 9. 從圖2右圖可以看到, 當執(zhí)行價格在30附近時, Meixner價格和NIG價格比較準確, 相對而言, Meixner價格稍優(yōu)于NIG價格, 但王氏變換價格比較差.

圖2 Merton跳擴散模型中三種扭曲算子價格的相對誤差Fig.2 The relative errors of prices of three distortion operators in merton jump diffusion model

4.3 NIG模型

在模型(7)中, 設(shè)Xt是參數(shù)為(α,β,μ,δ)的NIG過程. Godin[17]給出了均值修正鞅測度下, 歐式看漲期權(quán)CT=max{ST-K,0}∣的價格為

給定S0=30,r=0.08,T=0.5,α=10,β=-0.2,μ=0.1,δ=0.3后, 模擬出5 000個股票價格ST. 利用極大似然估計方法求得Meixner分布的參數(shù)為

本次模擬max{ST}=59.561 3,min{ST}=16.949 3, 從圖3左圖可以看到, 當執(zhí)行價格不小于59.561 3時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都為1; 當執(zhí)行價格K→0+時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.542 8. 從圖3右圖可以看到, NIG價格和Meixner價格比較準確, 王氏變換價格比較差.

圖3 NIG模型中三種扭曲算子價格的相對誤差Fig.3 The relative errors of prices of three distortion operators in NIG model

4.4 Meixner模型

設(shè)模型(7)中的Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過程.給定S0=50,r=0.08,

T=0.5,a=0.3,b=-0.1,m=0.15,d=0.2后, 模擬出5 000個股票價格ST.NIG分布參數(shù)的極大似然估計值為

本次模擬max{ST}=142.816 8,min{ST}=15.522 9, 從圖4左圖可以看到, 當執(zhí)行價格不小于142.816 8時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都為1; 當執(zhí)行價格K→0+時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.298 3. 從圖4右圖仍然可以看到,NIG價格和Meixner價格比較準確, 王氏變換價格比較差.

圖4 Meixner模型中三種扭曲算子價格的相對誤差Fig.4 The relative errors of prices of three distortion operators in Meixner model

4.5 VG模型

設(shè)模型(7)中的Xt是參數(shù)為(θ,ν,σ,μ)的VG過程. 取參數(shù)S0=50,r=0.05,

T=0.5,θ=-0.2,v=0.1,σ=0.15,μ=0.15后, 模擬出5 000個股票價格XT. 利用模擬價格, 分別得到NIG分布和Meixner分布參數(shù)的極大似然估計值為

本次模擬max{ST}=138.144 9,min{ST}=15.637 0, 從圖5左圖可以看到, 當執(zhí)行價格 不小于138.144 9時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都為1; 當執(zhí)行價格K→0+時, 三種扭曲函數(shù)得到的相對誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.305 0. 從圖5右圖可以看到, 總體上來說, NIG價格和Meixner價格比較準確, 王氏變換價格比較差.

圖5 VG模型中三種扭曲算子價格的相對誤差Fig.5 The relative errors of prices of three distortion operators in VG model