基于POE模型的可拆裝機器人求解和仿真

李 斌，李夢奇，李冬英，梁 睿

（邵陽學(xué)院，邵陽 422000）

0 引言

在高速、高效、節(jié)能的柔性生產(chǎn)線上，以及大學(xué)用于教學(xué)的實驗室，可拆裝機器人由于其拆裝便捷、輕質(zhì)靈活、響應(yīng)迅速的特性而被廣泛應(yīng)用。由于頻繁拆卸帶來的誤差，機器人定位不準(zhǔn)確，機器人的工作空間不確定，這給機器人工作空間點集的準(zhǔn)確預(yù)測帶來難度。

精準(zhǔn)預(yù)測需要依據(jù)機器人運動學(xué)模型[1]。機器人運動學(xué)模型分為兩大類：齊次變換矩陣類（D-H模型，MD-H模型，S模型等）[2,3]、代數(shù)類（POE模型，CPC模型，四元數(shù)模型等）[4]，當(dāng)前機器人中使用最廣泛的是D-H模型，但D-H模型在兩相鄰關(guān)節(jié)平行或垂直時，存在奇異點導(dǎo)致機器人的工作空間有部分點位無法到達，導(dǎo)致預(yù)測的空間點集不完整。由于POE模型滿足完整性和連續(xù)性，沒有奇異點能完整描述機器人的空間點集合，本文基于POE方法建立運動學(xué)模型進行機器人正逆解運算，進行仿真計算，預(yù)測可拆裝機器人的工作空間。

1 POE方法建模

機器人末端執(zhí)行器位姿可以通過建立運動學(xué)模型，描述相鄰兩連桿的相對空間位姿，然后將各個關(guān)節(jié)的位姿疊加獲得。

1.1 旋量代數(shù)基礎(chǔ)理論

根據(jù)Chasles定理[4]，剛體任意空間運動都能用剛體繞一直線旋轉(zhuǎn)和沿此直線平移的復(fù)合運動表示，此復(fù)合運動稱為螺旋運動，其無窮小量為螺旋運動旋量ξ∈R6。

在空間中一軸做螺旋運動，其單位方向向量為ω=[ωx,ωy,ωz,]，將ω的反對稱矩陣表示為：

軸附近選取任意一點，其轉(zhuǎn)動角為θ，此運動的螺旋軸為，其在李代數(shù)中相對應(yīng)的4×4矩陣如式(2)所示：

其旋轉(zhuǎn)運動可表示為：

其平移運動可表示為：

那么任意螺旋運動都可用旋量指數(shù)積形式表示為：

1.2 POE運動學(xué)模型

根據(jù)POE模型建立規(guī)則，建立基坐標(biāo)系S和末端坐標(biāo)系T，如圖1所示，計算末端坐標(biāo)系相對基坐標(biāo)系的位姿M如式(6)所示：

圖1 可拆裝機器人簡圖

獲得機器人POE模型參數(shù)，如表1所示。

表1 機器人POE參數(shù)模型

基于旋量理論建立的POE模型使參數(shù)變化曲線光滑，克服了運動學(xué)結(jié)算過程中的奇異性問題。

2 機器人運動學(xué)求解

2.1 機器人運動學(xué)正解

針對可拆裝機器人的POE運動學(xué)模型求正解，就是已知機器人的各個關(guān)節(jié)角度θi求得末端執(zhí)行器的位姿，而是相鄰關(guān)節(jié)的位姿關(guān)系式。通過關(guān)系式的相乘實現(xiàn)位姿的轉(zhuǎn)換，最終求得末端執(zhí)行器的位姿。

末端執(zhí)行器位姿矩陣：

注：其中ci表示cosθi；si表示sinθi；表示(cosθ2)2；表示(sinθ2)2，px,py,pz也可以有運動學(xué)模型計算得到，由于px,py,pz表達式過于復(fù)雜此處省略。

2.2 機器人運動學(xué)逆解

機器人逆運動學(xué)求解是建立在正運動學(xué)基礎(chǔ)上的，通過正解求得位姿反向求解出機器人各關(guān)節(jié)角度，一般求逆解可以應(yīng)用幾何解析法，代數(shù)法，Paden-Kahan子問題法[6]，若是求解的逆運動學(xué)方程解析解過于復(fù)雜，還可以使用Matlab作為輔助工具。

從式(10)～式(18)看出求逆解的過程十分復(fù)雜，此處需選用牛頓拉夫遜法（Newton-Raphson Method）進行求解，步驟如下：

1）牛頓拉夫遜法求解，確定函數(shù)G(θ)=F(θt)-Tt，Tt實質(zhì)就是正解計算時求得的末端位姿。

2）首先需要設(shè)定初始值θ0，求解次數(shù)k=0，寫出一節(jié)泰勒展開式：

注意事項：

（1）此處G(θ)可微分；

（2）J+為偽逆矩陣，目的是為了優(yōu)化雅克比矩陣不可逆時無解現(xiàn)象，當(dāng)J矩陣的行數(shù)大于列數(shù)，當(dāng)J矩陣的列數(shù)大于行數(shù)。

3 機器人空間點集仿真

機器人工作空間是機器人可到達最遠工作點和最近工作點的集合，此點集合標(biāo)志著機器人的工作區(qū)域和本身特性，是確定機器人性能和保障操作員安全的重要指數(shù)。

結(jié)合Matlab仿真實驗計算可拆分機器人工作空間，機器人關(guān)節(jié)角區(qū)間設(shè)置如表2所示。

表2 機器人關(guān)節(jié)角區(qū)間參數(shù)

使用蒙特卡洛法在六個關(guān)節(jié)角對范圍內(nèi)選取隨機數(shù)值，然后分別對D-H模型和POE模型進行正解運算，選取10000、15000、20000、25000、30000、35000隨機點分布于機器人工作空間中，形成點云集合。

在Matlab中使用改進的alphaShape函數(shù)對機器人空間點云進行擬合體積計算，步驟如下：

1）選取三角網(wǎng)格作為工作空間點云包絡(luò)的基本單元，減少計算量。

2）選取優(yōu)質(zhì)三角網(wǎng)格，任意一個三角網(wǎng)格某條邊長大于2倍半徑（alpha），抹除此三角網(wǎng)格。

3）當(dāng)三角網(wǎng)格某條邊上的兩端點都在以alpha為半徑的一個圓上，此時三角網(wǎng)格的其余點在此圓內(nèi)，則此網(wǎng)格需要抹除。

4）最后計算優(yōu)化后的點云包絡(luò)體積，得到工作空間體積，如圖2所示。

圖2 POE模型和D-H模型點云包絡(luò)

由表3可知，同樣機型同樣的去點數(shù)下，在使用POE模型預(yù)測工作空間比D-H模型要更加完整，點集覆蓋范圍更全面，包絡(luò)格質(zhì)量更均勻。

表3 POE模型和D-H模型包絡(luò)體積

4 結(jié)語

在柔性生產(chǎn)線中具備高靈活性，高適應(yīng)性，高響應(yīng)性的可拆裝機器人被廣泛應(yīng)用，但是由于其應(yīng)用環(huán)境的時常變換，對于機器人工作空間的限制各有不同。本文對可拆裝機器人進行POE運動學(xué)建模，進行正逆解解算，驗證可拆裝機器人POE模型的合理性，并采用蒙特卡洛法選取大量的隨機點形成工作空間點集，隨后進行網(wǎng)格優(yōu)化后形成點云包絡(luò)格，計算出工作空間體。結(jié)果表明：

同等數(shù)量點情況下，可拆裝機器人建立POE運動學(xué)模型預(yù)測工作空間比DH模型更加完整，點集覆蓋范圍更廣。

同等數(shù)量點情況下，POE模型網(wǎng)格比D-H模型更加均勻，工作空間外輪廓更加平滑，表明POE模型的奇異點少，連續(xù)性好。

在點數(shù)逐步提升的過程中，POE模型和D-H模型工作空間都有明顯的提升，但POE模型增長速率明顯減緩趨于穩(wěn)定，POE模型計算全工作空間速率更加迅速。