工程實(shí)踐牽引的機(jī)械振動(dòng)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

張大義，莫遠(yuǎn)哲，范雨

（北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191）

0 引言

“機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)”是北京航空航天大學(xué)飛行器動(dòng)力工程專業(yè)本科生的專業(yè)課，也是國(guó)內(nèi)各高校機(jī)械類專業(yè)的一門必修專業(yè)課，該課程的首要教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用振動(dòng)基本理論解決工程中的實(shí)際問(wèn)題。因此，在教學(xué)過(guò)程中要格外注重將理論講授內(nèi)容與實(shí)際工程問(wèn)題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力[1]。

目前國(guó)內(nèi)多個(gè)高校在“機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)”教學(xué)環(huán)節(jié)中暴露出如下問(wèn)題：（1）理論學(xué)習(xí)與工程實(shí)踐脫節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)振動(dòng)理論后，仍然難以解決實(shí)際問(wèn)題[2]，畢業(yè)生的工程素質(zhì)常被企業(yè)行業(yè)質(zhì)疑。（2）理論推導(dǎo)過(guò)程枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低，學(xué)習(xí)效率低下。上述問(wèn)題的解決途徑包括：增加工程案例分析、增加實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)、引入計(jì)算機(jī)輔助軟件、問(wèn)題式導(dǎo)向教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)等，其中最為有效且便捷的方式是增加工程案例教學(xué)的教學(xué)方法。案例教學(xué)法是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，該方法最早于20世紀(jì)20年代被美國(guó)哈佛大學(xué)商學(xué)院所采用，案例教學(xué)通常圍繞實(shí)際問(wèn)題展開[3]，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。毛崎波[4]、舒海生[5]、郭朋彥[6]等在“機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)”課程教授中均探索引入了實(shí)際工程案例，取得了良好的教學(xué)效果。但上述案例并不適用于飛行器動(dòng)力工程專業(yè)的學(xué)生，有待進(jìn)一步從科研工作中挖掘更多實(shí)例。

1 教學(xué)理念與教學(xué)方法

“機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)”課程教學(xué)過(guò)程中的關(guān)鍵問(wèn)題是如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性；同時(shí)提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的無(wú)縫結(jié)合。對(duì)此，課件準(zhǔn)備與教學(xué)過(guò)程的關(guān)鍵有3個(gè)方面。

（1）建立具有學(xué)術(shù)前沿性和工程指導(dǎo)性的課程體系與教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中堅(jiān)持“加強(qiáng)基礎(chǔ)、擴(kuò)充領(lǐng)域、注重工程應(yīng)用”的原則，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，適應(yīng)面向機(jī)械大類通識(shí)性人才和航空領(lǐng)域?qū)I(yè)型人才培養(yǎng)的需要。

（2）建立兼顧理論與實(shí)踐的機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)課程教學(xué)模式。重點(diǎn)理論采用溯源式講解，結(jié)合國(guó)內(nèi)航空航天中的技術(shù)成果展示，增強(qiáng)學(xué)生的技術(shù)自信。

（3）秉持講授式教學(xué)與探究式教學(xué)有機(jī)結(jié)合的授課理念，培育學(xué)生工匠精神的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。注重通過(guò)大量工程案例的引入，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授、思維方法、工程實(shí)踐能力三者并重的培養(yǎng)；設(shè)計(jì)來(lái)源于科研的具有一定挑戰(zhàn)性的課后習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

為了完成上述教學(xué)任務(wù)，需要科研反哺教學(xué)，從實(shí)際科研中提取合適的案例應(yīng)用于教學(xué)過(guò)程。從航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際工程研制過(guò)程遇到的振動(dòng)問(wèn)題出發(fā)，針對(duì)工程中最為關(guān)注的模態(tài)頻率，給出與“機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)”各知識(shí)點(diǎn)緊密相關(guān)的具體案例，建立從工程對(duì)象到力學(xué)模型，再到數(shù)學(xué)方程求解，最后使用分析結(jié)果指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)的工程思維模式，為機(jī)械振動(dòng)課程授課教師的課件準(zhǔn)備提供案例和教學(xué)思路。

2 轉(zhuǎn)子葉片的一階彎曲振動(dòng)模態(tài)頻率

2.1 工程對(duì)象及力學(xué)模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)中低壓渦輪葉片常采用帶冠形式，以提高密封效果、增大剛度和干摩擦阻尼。葉片在工作中承受高負(fù)荷的交變氣動(dòng)載荷作用，可能誘發(fā)共振帶來(lái)的疲勞問(wèn)題，因此需要對(duì)帶冠葉片的彎曲模態(tài)頻率進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。單個(gè)葉片在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉片根部可以近似認(rèn)為與渦輪盤固接，進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到其力學(xué)模型，如圖1所示，圖中m為葉冠的質(zhì)量，l為葉片高度，y0為葉冠處的初始撓度。該力學(xué)模型主要誤差來(lái)源為：其一是將非等截面的葉片簡(jiǎn)化為等截面梁；其二是葉片根部并未是完全固定的支承條件。

圖1 帶冠渦輪葉片力學(xué)模型

2.2 數(shù)學(xué)模型及求解

運(yùn)用瑞利法建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程，不考慮阻尼因素影響的前提下，該系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)有：

由材料力學(xué)知，在梁端靜載荷P的作用下，懸臂梁自由端的撓度為：截面x處的撓度為：

假定梁自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形式與懸臂梁在自由端加一集中靜載荷的靜撓度曲線相同，則沿葉高方向各截面x的振幅為：

設(shè)ρ為葉片單位葉高的質(zhì)量，則微段dx的動(dòng)能為：

由此可得全梁的動(dòng)能為：

令y0為梁自由端振幅，則質(zhì)量m的自由振動(dòng)可以表示為：ym=y0sinωnt。

則質(zhì)量m的速度為

故整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的最大值為：

整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能最大值為：

由Tmax=Umax可得：

對(duì)于不帶冠的壓氣機(jī)葉片，頻率方程為：

2.3 工程拓展

由頻率表達(dá)式可知，葉片一階彎曲模態(tài)頻率的影響因素及影響趨勢(shì)有：（1）模態(tài)頻率隨葉片長(zhǎng)度l的增大而減??；隨葉冠質(zhì)量m的增大而減小。（2）模態(tài)頻率與葉片材料有關(guān)，隨勢(shì)能E的增大而增大。（3）模態(tài)頻率與葉片截面形狀參數(shù)有關(guān)，隨截面慣性矩J的增大而增大。在工程實(shí)際中，可借鑒上述規(guī)律調(diào)整葉片模態(tài)頻率，使其避開激振頻率，防止共振發(fā)生。

2.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

該案例可作為機(jī)械振動(dòng)課程“瑞利法”的應(yīng)用案例。

（1）教師簡(jiǎn)述航空發(fā)動(dòng)機(jī)中葉片的重要性和振動(dòng)導(dǎo)致葉片斷裂的災(zāi)難性后果；激發(fā)學(xué)生熱愛本專業(yè)、立足于本專業(yè)的責(zé)任感。

（2）教師提問(wèn)學(xué)生如何建立其力學(xué)模型，并引導(dǎo)學(xué)生思考該力學(xué)模型的誤差來(lái)源；

（3）教師講解數(shù)學(xué)方程建立方法和求解過(guò)程，并將渦輪葉片的實(shí)際參數(shù)代入解析解，與學(xué)生一起討論相對(duì)誤差的來(lái)源，啟發(fā)學(xué)生自我反思，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。

（4）教師進(jìn)行工程拓展的講解，明確采用該方法和計(jì)算結(jié)果如何直接指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到學(xué)有所用，提高學(xué)習(xí)興趣。

3 低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭振模態(tài)頻率

3.1 工程對(duì)象及力學(xué)模型

大涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)的低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包括風(fēng)扇、增壓級(jí)和低壓渦輪部件，如圖2所示。在氣動(dòng)負(fù)荷不穩(wěn)定、碰摩等情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能發(fā)生扭振，導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸疲勞破壞，因此需要對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子部件的扭振模態(tài)頻率進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。

將低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化如圖2所示的力學(xué)模型，兩端I1、I2分別代表風(fēng)扇增壓級(jí)和低壓渦輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度為kθ。

圖2 低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及其簡(jiǎn)化力學(xué)模型

3.2 數(shù)學(xué)模型及求解

設(shè)θ1與θ2分別表示圓盤I1與I2的角位移，正方向如圖2所示，則可列該兩自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其特征值方程為：

特征行列式方程為：

求得方程根為：

對(duì)應(yīng)的振幅比為：

3.3 工程拓展

（1）由上述簡(jiǎn)化模型的求解結(jié)果可知，ω出現(xiàn)一個(gè)零根，相應(yīng)的振幅比為1，這表明兩圓盤以相同的轉(zhuǎn)角進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，軸段相對(duì)無(wú)變形，整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)剛體進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。即相當(dāng)于等效剛度為零的單自由度系統(tǒng)。（2）當(dāng)扭振的頻率為ω2時(shí)，此時(shí)I1和I2恒沿相反方向運(yùn)動(dòng)，軸上存在一節(jié)面始終保持不動(dòng)。

3.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

該案例可作為機(jī)械振動(dòng)課程“兩自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)”的應(yīng)用案例。首先，教師簡(jiǎn)述航空發(fā)動(dòng)機(jī)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要性和轉(zhuǎn)子扭振的不利影響，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)定義兩個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度，建立分析該問(wèn)題的力學(xué)模型，提高學(xué)生以問(wèn)題為導(dǎo)向的知識(shí)運(yùn)用能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。其次，教師講解數(shù)學(xué)方程建立方法和求解過(guò)程，利用動(dòng)畫直觀的表現(xiàn)兩階振型特征。最后，教師進(jìn)行工程拓展的講解，講述準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子扭振模態(tài)頻率的意義及調(diào)整頻率的方法，分享自己參與某轉(zhuǎn)子扭振分析的親身經(jīng)歷和解決工程實(shí)際問(wèn)題的喜悅心情，讓學(xué)生感受到學(xué)以致用的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)北航和本專業(yè)的熱愛。

4 高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動(dòng)模態(tài)頻率

4.1 工程對(duì)象及力學(xué)模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子部件主要由高壓壓氣機(jī)和高壓渦輪組成，在不平衡激勵(lì)作用下可能發(fā)生橫向振動(dòng)。高壓轉(zhuǎn)子一般采用彈性支承設(shè)計(jì)，可以將其簡(jiǎn)化為圖3所示的兩自由度系統(tǒng)，其中兩端軸承的剛度分別為k1與k2，系統(tǒng)的質(zhì)心為C點(diǎn)，前后支點(diǎn)距離質(zhì)心的距離分別為l1與l2。

圖3 高壓轉(zhuǎn)子及其簡(jiǎn)化力學(xué)模型

4.2 數(shù)學(xué)模型及求解

設(shè)在某時(shí)刻，質(zhì)心C相對(duì)于靜平衡位置向下位移x，同時(shí)轉(zhuǎn)子有仰角θ?？傻孟到y(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式為：

設(shè)x=Xsin（ωt+?），θ=Θsin（ωt+?）且，將其代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，可得：

其特征方程為：

求解得其固有頻率為：

其振幅比為：

4.3 工程拓展

某高壓轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)列表見表1。

表1 某高壓轉(zhuǎn)子主要參數(shù)表

將表1參數(shù)代入固有頻率公式可求得：

其振型為：r1=-1.00＜0，r2=0.42＞0

表明在第一階固有振動(dòng)時(shí)x與θ為反方向，工程中稱為俯仰振型；在第二階固有振動(dòng)時(shí)x與θ為同方向，工程中稱為平動(dòng)振型。

4.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

該案例可作為機(jī)械振動(dòng)課程“兩自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)”的應(yīng)用案例。首先，教師講述轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)是制約我國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)研制的一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題，以及學(xué)院老先生們?cè)诎l(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子減振設(shè)計(jì)方面的卓越貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)北航和本專業(yè)的熱愛。其次，教師講述該力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程，并讓學(xué)生自己嘗試使用兩個(gè)線自由度的方式求解該問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用多種方法綜合分析問(wèn)題的能力。最后，教師進(jìn)行工程拓展的講解，討論支承剛度對(duì)轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)頻率的影響，并講述在實(shí)際工程問(wèn)題中支承剛度選取范圍的限制，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到矛盾在實(shí)際工程問(wèn)題中是無(wú)處不在的，需要有平衡設(shè)計(jì)的工程思維。

5 結(jié)語(yǔ)

本研究的三個(gè)工程實(shí)例在用于實(shí)際教學(xué)時(shí)，收到了較好的效果，學(xué)生上課積極性顯著提高，并且多數(shù)學(xué)生在實(shí)踐課程和課程設(shè)計(jì)時(shí)，能夠獨(dú)立完成從工程對(duì)象抽象出合適的力學(xué)模型，在對(duì)數(shù)學(xué)方程求解后，能夠使用求解結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。