組合圖形面積計(jì)算中的錯(cuò)例回收與利用

江蘇蘇州市吳中區(qū)胥江實(shí)驗(yàn)小學(xué)（215164） 鄭介良

學(xué)生的錯(cuò)誤本身沒有價(jià)值，師生從錯(cuò)誤中汲取的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)才是其價(jià)值所在。在新授課之前，教師要預(yù)估學(xué)生可能犯下的錯(cuò)誤，及早采取預(yù)防措施，盡量減少錯(cuò)誤的發(fā)生率；調(diào)整策略，讓學(xué)生的錯(cuò)誤全部曝光，并讓學(xué)生正視自己的錯(cuò)誤，認(rèn)真反省，汲取教訓(xùn)。

一、課前錯(cuò)例分析

在學(xué)校舉辦的教研活動(dòng)中，筆者教學(xué)的是“組合圖形的面積”。組合圖形的面積是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，但課時(shí)又相對(duì)少。教材的編排是先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)組合圖形，再通過例4（墻面面積的計(jì)算）引導(dǎo)學(xué)生將組合圖形分解成基本圖形，然后展示兩種算法（兩種算法均為裁剪法，添補(bǔ)法出現(xiàn)在練習(xí)中），借此傳遞算法多樣性和算法的優(yōu)化。

如果教學(xué)目標(biāo)僅僅是將組合圖形切割或者添補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則圖形，就淺薄和短視了。因?yàn)榍蠼M合圖形的面積有很多方法，不能讓學(xué)生拘泥于一種模式，要為學(xué)生精心準(zhǔn)備素材，體現(xiàn)多樣的分割方法，思維訓(xùn)練要有序展開、分層推進(jìn)，以激活學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，讓學(xué)生清楚地意識(shí)到，分割也是有講究、有分寸的，要根據(jù)題干條件合理分割，分割的原則是最后需要單獨(dú)計(jì)算面積的區(qū)塊最少。

例如，求圖1的圖形面積。

圖1

【錯(cuò)解】（5+10）×（4.5+6）÷2=78.75（cm2）。

【原因分析】學(xué)生簡(jiǎn)單地將兩個(gè)梯形合并成一個(gè)梯形，遺漏了中間的“公共底邊”，其實(shí)兩個(gè)梯形的斜腰并不在一條直線上。造成這種錯(cuò)覺是情有可原的，因?yàn)楹芏鄬W(xué)生只關(guān)心上底、下底和高，而忽視梯形的斜腰。例如，圖2也會(huì)被學(xué)生誤認(rèn)為是梯形，于是（2+7）×5÷2=22.5（cm2）這樣的錯(cuò)誤算式就出現(xiàn)了。對(duì)此，教師應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)組合圖形的觀察能力，通過眼力將其準(zhǔn)確完美地“分割”到位。

圖2

圖1中的兩個(gè)梯形組合所得不是一個(gè)新的梯形，但學(xué)生卻在尋找捷徑的心理暗示下，以為其組合成了新的規(guī)則圖形（大梯形），想利用公式一次性搞定，結(jié)果卻是走了冤枉路。教師如果教學(xué)時(shí)一味強(qiáng)調(diào)圖形面積求法的技巧性和靈活性，就會(huì)造成這樣的結(jié)果。因此，教師教學(xué)時(shí)不能急功近利，要引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)的分析入手——先判斷組合圖形是否具備可轉(zhuǎn)化性。

二、教學(xué)前測(cè)與預(yù)設(shè)

在教學(xué)“組合圖形的面積”前，筆者對(duì)學(xué)生做了一次前測(cè)。

1.預(yù)習(xí)目標(biāo)：（1）能自述什么是組合圖形；（2）初步談?wù)勗趺辞蠼M合圖形的面積。

2.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）課本第92、93頁(yè)提供的組合圖形有何獨(dú)特之處，又有哪些一般組合圖形的共性？我認(rèn)為組合圖形是_________________。

（2）嘗試解答課本第93頁(yè)的“練一練”中的習(xí)題，不會(huì)的做上記號(hào)。

（3）計(jì)算組合圖形的面積時(shí)有何細(xì)節(jié)？你還有其他問題嗎？

前測(cè)結(jié)果顯示，對(duì)于“什么是組合圖形”這一問題，由于生活中的實(shí)例較多，所以學(xué)生回答起來沒什么難度；對(duì)于“計(jì)算面積時(shí)的細(xì)節(jié)”和“還有什么問題”，47.6%的學(xué)生在意計(jì)算，25.6%的學(xué)生在意公式，都沒有切中要害，16.6%的學(xué)生則注意是分割還是添補(bǔ)，有2名學(xué)生提出應(yīng)該先求出圖中未知的條件，僅有1名學(xué)生在意分割的準(zhǔn)確性和整體性。經(jīng)過訪談發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生只會(huì)計(jì)算已經(jīng)畫好分割線的組合圖形的面積。

教學(xué)后，學(xué)生的算法呈現(xiàn)多樣化，但是并沒有尋求最優(yōu)解的意識(shí)。這是因?yàn)楣P者是順著學(xué)生的思維，從眾多方法中選擇合適的開展教學(xué)，然后進(jìn)行“三步走”：先算什么，再算什么，最后相加（或減）。因此，課后筆者不由得思考：為什么不將錯(cuò)誤收集起來集體研究？為什么要逃避眼前的分歧？解決問題追求的不僅是答案的正誤，重要的是解決問題過程中的探索與思辨。

鑒于以上原因，筆者重新設(shè)計(jì)了教學(xué)：收集學(xué)生的錯(cuò)誤資源，并公之于眾，集體討論，將錯(cuò)誤當(dāng)成典型的反面教材，以作警示。

錯(cuò)誤并不可怕，可怕的是對(duì)錯(cuò)誤蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值視而不見。學(xué)生犯錯(cuò)必然是教師的教學(xué)存在盲區(qū)，如果教師一直按照基本模式出題，久而久之，學(xué)生就會(huì)形成路徑依賴，一旦遇到變式問題，就會(huì)執(zhí)拗地使用老方法，不知道根據(jù)各圖之間的關(guān)聯(lián)從已知的必要條件推出未知的必要條件，分割時(shí)不知道優(yōu)化，不知道嘗試不同的分割方式，找不到最優(yōu)的分割方式……這些短板想靠習(xí)題訓(xùn)練補(bǔ)齊幾乎不可能，因?yàn)轭}型千變?nèi)f化，沒有固定的模式可依，唯一的辦法就是抓住一個(gè)錯(cuò)例深入挖掘和持續(xù)進(jìn)行矯正訓(xùn)練。

三、教學(xué)實(shí)施及策略

1.正視錯(cuò)誤，學(xué)會(huì)“留白”

例如，對(duì)于圖3，學(xué)生嘗試分解組合圖形，先提出了橫切法和縱切法（如圖4和圖5）；接下來，學(xué)生想到斜切法（如圖6），這種錯(cuò)誤分法令人猝不及防。

圖3

圖4

圖5

圖6

“到底對(duì)不對(duì)？大家集體商討。”筆者沒有急著否定斜切法。

教室鴉雀無聲。過了一會(huì)兒，有學(xué)生小聲嘀咕：“這個(gè)好像不是梯形?！薄皩?duì)，這不是梯形！”支持的人漸漸多起來。筆者笑著問：“誰來具體說一說？”學(xué)生：“我覺得分割得出的圖形算不上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的梯形?！惫P者繼續(xù)說：“乍一看像一個(gè)梯形，但真相并非如此，被分出的不是一個(gè)基本圖形，所以這種分法不合理?！?/p>

按慣例，筆者會(huì)不由分說馬上推翻學(xué)生錯(cuò)誤的想法，但這次則留白，讓學(xué)生慢慢去觀察對(duì)比。這個(gè)錯(cuò)誤分法中確實(shí)存在合理因素，圖6的右邊部分貌似具有梯形的部分特征。對(duì)此進(jìn)行辨析和充分討論后，學(xué)生對(duì)梯形特征的認(rèn)識(shí)就會(huì)更加清晰。

教師總是企圖將錯(cuò)誤的分割法扼殺在萌芽狀態(tài)，刻意回避，生怕這種帶有“歪理”的切割法會(huì)干擾學(xué)生的思維，影響教學(xué)秩序。殊不知，越是隱藏這種錯(cuò)誤帶來的危害就越大，學(xué)生思維中潛伏的錯(cuò)誤因子會(huì)不定期爆發(fā)，就像一個(gè)定時(shí)炸彈威脅著其正常思維的發(fā)展，不如及早暴露及早解決。將錯(cuò)誤推翻后，學(xué)生就會(huì)吸取教訓(xùn)，彌補(bǔ)思維缺陷。

2.容納錯(cuò)誤，讓學(xué)生各抒己見

針對(duì)學(xué)生得出的圖4、圖5和圖6，筆者追問：“還有別的分法嗎？”一位學(xué)生畫出了圖7。這早在筆者預(yù)料之中?！暗降讓?duì)不對(duì)？”很快，就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了破綻：“下面的圖形面積算不出來?！笔芩奶崾?，有學(xué)生幡然醒悟?！翱磥?，這個(gè)圖形不是一個(gè)常見圖形，它的面積沒有公式可依，這種分法不當(dāng)。”他思忖一會(huì)兒，說：“再加一條線（如圖8），可以補(bǔ)救?！边@回得到大家的一致贊同。筆者繼續(xù)追問：“這樣分成了三個(gè)三角形，你們有異議嗎？”有學(xué)生覺得煩瑣?！叭绻軌蚍指畛蓛蓚€(gè)，就沒必要分成三個(gè)自找麻煩了。”筆者又問：“分割時(shí)要遵循什么規(guī)則？”學(xué)生開始議論紛紛：“分割成的每個(gè)圖形要有公式可依。分割得出的區(qū)塊越少越好。”

圖7

學(xué)習(xí)中的困難和錯(cuò)誤，有時(shí)正是智慧之光，教師既要寬待學(xué)生的錯(cuò)誤，又要去剖析、補(bǔ)救和修正，在絲絲入扣的分析后，總結(jié)出“要根據(jù)條件盡量選擇簡(jiǎn)單的方法”的解題策略。這樣，學(xué)生學(xué)到的不僅是技巧，更是一種思想方法。同時(shí)，在集體商討的過程中，學(xué)生互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，不斷自我反思，不斷改進(jìn)方法，完善認(rèn)知。最后，通過交流，學(xué)生學(xué)會(huì)了批判性地看待問題。

3.剖析錯(cuò)誤，變廢為寶

在學(xué)生修正錯(cuò)誤后，筆者又問：“還有別的分法嗎？”學(xué)生畫出圖9?！斑@樣分，簡(jiǎn)單?！痹S多學(xué)生都認(rèn)同這個(gè)方法。因?yàn)檫@種分法很有迷惑性，所以筆者讓學(xué)生反思。“不對(duì)，簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單，但是無法計(jì)算面積。”果然，有學(xué)生看出漏洞?！盀槭裁矗俊薄斑@樣分出的三角形的底就是一個(gè)無法推知的未知量?！薄叭绱艘粊?，三角形的面積有求解的可能嗎？”“沒有?！惫P者繼續(xù)追問：“梯形的面積有可能推算出來嗎？”“不能，因?yàn)樯系滓渤闪艘粋€(gè)永遠(yuǎn)無法知道的未知量。”這時(shí)，其他學(xué)生也醒悟了：“是的，這樣就出現(xiàn)許多未知量，這種分法應(yīng)該排除。”筆者繼續(xù)追問：“那么，分割圖形時(shí)還應(yīng)滿足什么要求？”學(xué)生紛紛發(fā)表意見：“所有的必要條件必須能夠算出來?！薄皥D形的底、高要知道?！薄昂芎?，看來能夠分成規(guī)則圖形還不夠，光簡(jiǎn)單也不夠，還要可操作?！惫P者總結(jié)道。

圖9

對(duì)于這個(gè)意料之中的錯(cuò)誤，教師讓學(xué)生自己發(fā)掘，學(xué)生的思維能得到發(fā)散，就會(huì)想到更深層次的要求。這種錯(cuò)誤帶來了三方面的積極效果：糾正錯(cuò)誤——學(xué)生發(fā)現(xiàn)分法的確簡(jiǎn)單，但是不具備操作性；學(xué)法指導(dǎo)——在分析錯(cuò)誤的過程中，利用互評(píng)讓學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤，還找出錯(cuò)因；培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣——在辨析的過程中，要學(xué)會(huì)傾聽別人的意見和觀點(diǎn)，不斷反思和完善自己的想法。

總之，錯(cuò)誤總是與成長(zhǎng)相伴左右的。面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師要寬容，不能畏懼，而應(yīng)順著錯(cuò)誤資源不斷深挖徹查，讓學(xué)生為了查找錯(cuò)因和修正錯(cuò)誤而不斷深入探究。