Duffing方程周期解的精確個數及其穩(wěn)定性

陳紅斌，邢慧，殷子健

(1.西安交通大學數學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710049;2.西安工程大學數學系，陜西 西安 710048;3.西北農林科技大學數學系，陜西 咸陽 712100)

1 引言

考慮Duffing方程

其中h是一個正的T-周期函數且g(x)是一個連續(xù)函數.方程(1)或者具有更為一般非線性項的二階微分方程周期解的存在性和多解性已經被眾多學者廣泛研究.但是，關于方程(1)的周期解的確切個數的研究很少見.在文獻[1]中，作者研究了小擾動問題，當h(t)充分小，在非線性滿足簡單的凹凸性條件時，得到了方程(1)恰有三個T周期解.R.Ortega在文獻[2]中研究了下面帶有參數的Duffing方程

其中c＞0且關于第二個變量是嚴格遞增的，滿足條件

得到的Ambrosetti-Prodi定理結果如下:

存在一個s0，使得當s＜s0時，方程(2)沒有T周期解;當s=s0時，方程(2)有唯一穩(wěn)定的T周期解;當s＞s0時，方程(2)恰有兩個T周期解，其中一個是漸近穩(wěn)定的，另一個是不穩(wěn)定的.

以上結果是關于周期邊值問題解的精確個數的首個完整的結果.關于周期解存在性的相關結果可參考文獻[3-5].

在文獻[6]中，J.Mawhin首先得到了關于一階微分方程的類似結果.在文獻[7]中作者利用奇點理論對該問題也進行了相關研究.在文獻[8]中，A.Tineo利用Poincare映射的不動點定理對該問題也進行了研究.關于單擺方程的多解性的研究可參考文獻[9-13]等.后來，在文獻[14]中，作者研究了非線性項具有三次方即g(x)=ax-x3的情況，并假設非線性回復力g滿足凹凸性條件，證明了方程(1)恰有3個T周期解.

在本文中，假定非線性回復力g有唯一的極小值點，采用分歧方法并結合極大值原理，得到了Ambrosetii-prodi定理，該結果減弱了文獻[2]中的條件，對文獻[2]中的結果有了本質的改進.本文的方法對于更為一般的非線性項g是適用的，可得到關于解的精確個數和穩(wěn)定性的更為完整的信息.對于周期解的多解問題，可參考文獻[15-17].關于周期解的穩(wěn)定性和衰變速度可參考文獻[14，18-22].

在本文中，如果g滿足下面的條件

(i)g(x)≥0，g∈C1;

(ii)g(x)有唯一的非退化臨界點x0使得g(x0)=0;

(iii)在x0的某個鄰域內，g關于x滿足g∈C2.

則稱g是U-型的.即g是非負有唯一的零點x0，在x＜x0時是遞減的，當x＞x0時是遞增的，且g′′(x0)＞0.

在本文中，一律假設g(x)∈C1是U-型的且滿足下面的條件

且h(t)＞0，h∈CT.

簡而言之，本文的主要結果是當g具有U-型結構時，方程(1)的解曲線也是U-型的.確切的說，本文得到如下定理:

定理 1.1設g(x)∈C1是U-型的且滿足條件(3)和.則

(i)當λ＜0時，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當λ=0時，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當λ＞0時，方程(1)恰有兩個有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的.

如果g是U-型的，顯然兩個極限是存在的，或者其中一個是等于無窮的.當其中一個是有界時，例如，m-＜∞，假設以及則得到解曲線的性質如下:

定理 1.2設g(x)∈C1是U-型的，滿足條件(3)且，m-是有界的，則

(i)當λ＜0時，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當λ=0時，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當0＜λ＜λ0時，方程(1)恰有兩個有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的;

(iv)λ＞λ0時，方程(1)有唯一穩(wěn)定的T周期解.

如果m±＜+∞，m-＜m+.設λ0=m-/，λ1=m+/.則上面的定理簡化成下面的形式:

定理 1.3設g(x)∈C1是U-型的，滿足條件(3)且m±＜+∞，m-＜m+，則

(i)當λ＜0時，方程(1)沒有T周期解;

(ii)當λ=0時，方程(1)有唯一的平凡T周期解x(t)=x0;

(iii)當0＜λ＜λ0時，方程(1)恰有兩個有序T周期解，且其中較大的是穩(wěn)定的，較小的是不穩(wěn)定的;

(iv)當λ0＜λ＜λ1時，方程(1)有唯一穩(wěn)定的T周期解;

(v)當λ＞λ1時，方程(1)無T周期解.

下面是一些記號方便后面使用.

(1)當 1≤p≤∞時，表示T-周期函數u∈Lp[0，T]，范數記為‖u‖p;

(2)當k≥0，在Ck-范數下，表示T-周期函數u∈Ck[0，T];

(3)α(t)?β(t)，表示α(t)≥β(t)且在正測度子集上α(t)＞β(t).

2 線性周期問題

本節(jié)回顧線性周期邊值問題的基本結果以備后用.考慮周期邊值問題

其中F:[0，T]×Rn→Rn是一個連續(xù)函數且當n=2時是關于t是T-周期的.

記x(t，x0)為初值問題(4)的解.

定義 2.1如果線性化方程

沒有非平凡的T周期解，則方程(4)的T周期解被稱為是非退化的.

設M(t)是方程(5)的基解矩陣，且μ1和μ2是矩陣M(T)的特征值.如果|μi|＜1，i=1，2，則x(t，x0)是漸近穩(wěn)定的，否則，如果其中一個的模大于 1，則x(t，x0)是不穩(wěn)定的.

考慮下面齊次周期方程

其中c＞0是一個常數且α(t)∈LT.

下面的引理在文獻[1]中給出，在證明本文結果中起著重要的作用.

引理 2.1設α(t)∈LT使得

如果α(t)?0或α(t)?0時，則方程(6)的可能的T周期解x是平凡的.

下面是關于周期解的穩(wěn)定性的結果，在文獻[23]中已給出.

引理 2.2設x是方程(2)的一個孤立的T周期解使得條件成立，則

(i)如果α(t)?0，則x是漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果α(t)?0，則x是不穩(wěn)定的.

考慮微分方程

其中c是一個常數且α(t)，h(t)∈LT.

為了得到帶有滿足凸性條件的非線性項g的Duffing方程解的精確個數，需要下面改進的極大值原理，這個極大值原理推廣了文獻[15]中由P.J.Torres和M.R.Zhang得到的定理2.3的結果.

引理 2.3設h(t)?0且α(t)滿足.如果x(t)是方程 (8)的一個T周期解，則下面的結論成立:

(i)對?t∈R，則x(t)＞0或者x(t)＜0;

(ii)對?t∈R，如果α(t)＞0，則x(t)＞0;

(iii)對?t∈R，如果α(t)＜0，則x(t)＜0.

證明首先證明結論 (i).用反證法，如果x(t)在 [0，T]上變號，則存在一個τ使得x(τ)=0.假設x′(τ)≤0，否則，如果x′(τ)＞0，由于x(t) 是一個T-周期函數，x(t)在 [τ，τ+T)有一個連續(xù)的零點t0，使得x′(t0)≤0.在這種情況下，設τ=t0，不失一般性，假設τ=0使得x′(0)≤0.設v(t)是下面方程

初值問題的解，使得v(0)=v′(0)-1=0.由假設可得方程 (9)在 [0，T]上是非共軛的，其中λ1是特征問題y′′-cy′+λx=0，x(0)=x(T)=0 的第一特征值.從而可得對?t∈(0，T]有v(t)＞0.方程 (8)乘以v(t)，方程 (9)乘以x(t)，兩式作差并在[0，T]上利用分部積分得

上式等號左邊是負的，而右邊是正的，矛盾，因此對?t∈R，則x(t)＞0或者x(t)＜0.對方程(8)在[0，T]上積分易得當α(t)＞0時，有x(t)＞0，當α(t)＜0時，有x(t)＜0.結論(ii)和(iii)得證.

3 定理的證明

本節(jié)首先給出定理1.1的證明，以下引理對證明定理十分關鍵.證明中主要采用了連續(xù)延拓的方法.在給出證明前，首先回顧 Crandall-Rabinowitz分歧定理.具體細節(jié)可參考文獻 [24]由 H.Kielh?fer編寫的第一章 1.4節(jié)的內容或參考文獻 [25].設F:U×R→Z，開集U?X，其中X和Z是 Banach空間.下面首先給出Crandall-Rabinowitz分歧定理:

引理3.1設F:U×R→Z在U×V?X×R上是連續(xù)可微的且滿足下面3個條件:

(i)對某個 (x0，λ0)∈U×V，有F(x0，λ0)=0 且 dimN(DxF(x0，λ0))=1;

(ii)DxF(x0，λ0)) 的 Fredholm 指標是 0;且 codimR(DxF(x0，λ0))=1;

(iii)DλF(x0，λ0)(DxF(x0，λ0)).

則存在一條連續(xù)可微的曲線通過(x0，λ0);也就是說，存在

使得F(x(s)，λ(s))=0，?s∈(-δ，δ)，并且在 (x0，λ0) 的鄰域內，F(xiàn)(x，λ)=0 的所有解都屬于這條曲線，其中Fλ((x0，λ0))的核空間為由u生成的子空間，且

下面證明本文的主要結果，首先證明定理1.1.

證明當λ＜0時，如果方程 (1)有一個T周期解x(t)，則在區(qū)間 [0，T]上對方程(1)進行積分得

由于h(t)是正的，從而得等式的右邊是負的，而等式的左邊是正的，矛盾，所以定理1.1的結論(1)得證.當λ=0時，下面證明方程(1)有唯一的T周期解x0.在這種情況下，方程(1)化為

設x(t)是方程(11)的任意T周期解.方程(11)乘以x′(t)，并在區(qū)間[0，T]上積分可得

由上式可得x(t)是常數，將x(t)=c代入方程(11)可得g(c)=0.由函數g的假設條件得x(t)=c=x0.從而定理1.1的結論(2)得證.

當λ＞0時，采用分歧的方法進行證明.下面分為三步進行證明.

第一步:首先，證明 (x，λ)=(x0，0)是一個分歧點.設，Z=CT，且F(x，λ)=x′′+cx′+g(x)-λh(t)，顯然F:X×R→Z是一個非線性 Fredholm 算子且F(x0，0)=0.為了證明(x，λ)=(x0，0)是一個拐點，下面驗證引理 3.1的條件.F在點 (x，λ)=(x0，0) 的 Frechet 導數如下:Fx(x0，0)v=v′′+cv′+g′(x0)v=v′′+cv′.考慮線性方程

顯然，方程(12)有唯一的常數T周期解.由此可得N(DxF(x0，0))=span[1]，即線性算子DxF(x0，0))的核空間是一維的.下面驗證 codimDxF(x0，0)=1.考慮自伴算子，方程(12)的共軛方程如下:

顯然自伴算子的核空間N(DxF*(x0，0))=span[1].由Fredholm二擇一定理可得

由于DλF(x0，0)=-h(t)和，從而證明了DλF(x0，0)(DxF(x0，0)).

根據引理3.1可得，存在連續(xù)可微的曲線通過(x0，λ0)，也就是說，存在

使得F(x(s)，λ(s))=0，s∈(-δ，δ)，并且在 (x0，0) 的鄰域內，F(xiàn)(x，λ)=0 的所有解都在這條曲線上.

對方程(1)，關于s求二階導數并在(x0，0)處取值得

因此，(x，λ)=(x0，0)是F(x，λ)=0 的分歧點.

根據引理 3.1即 Crandall-Rabinowitz分歧定理可得，當λ＞0時，在 (x0，0)的某個鄰域內，存在兩個解分支x±(t，λ) 通過 (x，λ)=(x0，0) 且有x-(t，λ)＜x+(t，λ).更進一步，當λ＞0 時，有x-(t，λ)＜x0＜x+(t，λ).顯然，x0滿足

則方程 (1)與方程 (15)作差，令u=x(t)-x0，可得如下方程u′′+cu′+p(t)u=λh(t)，其中p(t)=(g(x(t))-g(x0))/(x(t)-x0)滿足條件(3).由此可得，u＞0或u＜0，證得以上結果.

第二步:現(xiàn)在已經證得方程(1)有確切的兩個T周期解，下面采用連續(xù)延拓的方法證明對?λ＞0，方程 (1)有兩個解.首先，證明當λ＞0時，x+(t，λ)關于λ＞0是遞增的.

考慮在x(t)=x+(t，λ)處的線性方程

由于x(t)=x+(t，λ)＞x0且g′(x)＞0，由此可得 0＜g′(x(t))且滿足條件 (3)，根據引理 2.1結論 (3)得上述方程沒有任何非平凡解，也就是說，x(t)=x+(t，λ)是非退化解.因此x(t)=x+(t，λ)有關于λ的連續(xù)導數.對方程(1)關于λ求二階導數得

由反極值原理得xλ＞0，從而證得x+(t，λ)關于λ是遞增的，隨著λ的遞增，不僅x+(t，λ)是存在的，而且是非退化的.因此，對?λ＞0，解曲線x+(t，λ)是存在的.類似可得，對?λ＞0，x-(t，λ)也是存在的.

第三步:對固定的λ，設x(t)是方程 (1)的任意解.下面證明x(t)≡x+(t，λ)或x(t)≡x-(t，λ).首先，用類似第一步的證明方法容易驗證x(t)＞x0或者x(t)＜x0.不妨設x(t)＞x0，則u=x(t)-x+(t，λ) 是下面方程u′′+cu′+p(t)u=0 的解，其中p(t)=(g(x(t))-x+(t，λ))/(x(t)-x+(t，λ)).顯然，0＜p(t) 且滿足條件 (H)，由引理 2.1可得u≡0.類似地，如果x(t)＜x0時，則x(t)≡x-(t，λ).由引理 2.2易得每個解的穩(wěn)定性.定理1.1證畢.

注 3.1由于定理1.2和定理1.3的證明思想和定理1.1類似，所不同的是需要采用L-S約化方法處理解的存在性，這里就不再證明.