從“點(diǎn)狀”走向“結(jié)構(gòu)”
——以“面積”模塊為例談縱向關(guān)聯(lián)下的教學(xué)實(shí)踐

林屏

（杭州師范大學(xué)東城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江杭州 310019）

根據(jù)現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成、發(fā)展和完善的過程。目前，較多一線教師依然進(jìn)行課時(shí)教學(xué)，往往忽視了整體與部分間的關(guān)系。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)用整體的視角、聯(lián)系的觀點(diǎn)把握教材知識(shí)點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系，研究教材編寫的邏輯性和系統(tǒng)性，整合課時(shí)、單元內(nèi)容，把握學(xué)段、學(xué)科內(nèi)容，以縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的視角，把教材中的各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來，做到系統(tǒng)連貫、知識(shí)成串，從而幫助學(xué)生從“點(diǎn)狀”走向“結(jié)構(gòu)”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化。

一、無意發(fā)現(xiàn)

（一）現(xiàn)狀描述

1.知識(shí)鏈條碎片化致使理解不透徹

傳統(tǒng)的教學(xué)關(guān)注學(xué)生的“課時(shí)”學(xué)習(xí)。具體表現(xiàn)為：教師重視知識(shí)的單向推進(jìn)，而忽視知識(shí)的多維關(guān)聯(lián)。重視單一知識(shí)的呈現(xiàn)，忽視整體結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。

2.數(shù)學(xué)思維無體系導(dǎo)致方法未遷移

不僅知識(shí)有生命力，思維更具生命力，更應(yīng)向下扎根向上生長(zhǎng)?！包c(diǎn)狀教學(xué)”往往將探究學(xué)習(xí)過程進(jìn)行壓縮。許多教師執(zhí)教過程中缺乏方法上的溝通，本質(zhì)上的探尋，沒有帶領(lǐng)學(xué)生在本質(zhì)中探索序列線索，未能在序列線索中將思想融會(huì)貫通。

3.學(xué)科能力未關(guān)注造成欠缺學(xué)習(xí)力

“點(diǎn)狀教學(xué)”更多的是教師對(duì)學(xué)生的單向傳遞。這種教學(xué)未關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)致學(xué)科能力不足。具體表現(xiàn)為學(xué)生自主建構(gòu)能力薄弱等，即學(xué)生習(xí)慣于被動(dòng)接受，缺乏遷移、運(yùn)用和創(chuàng)造的能力。

（二）成因分析

1.教材內(nèi)容的散點(diǎn)化

由于教材在編寫時(shí)要遵循學(xué)生的年齡特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律。從而調(diào)整了數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。比如“面積”教學(xué)，在教材中分別安排在三下、五上、五下、六上、六下。這就要求教師教學(xué)時(shí)不能僅限于本年級(jí)，而必須前后貫通，做到前有滲透，后有鞏固與延伸。

2.教學(xué)過程的線性化

許多教師往往拘泥于具體的課時(shí)安排，按照教材的編排一課一課地進(jìn)行教學(xué)，缺乏結(jié)構(gòu)地教。比如學(xué)習(xí)了多邊形面積，學(xué)生會(huì)計(jì)算平行四邊形、梯形、三角形的面積，但還體會(huì)不到多邊形面積的測(cè)量本質(zhì)是相同面積單位個(gè)數(shù)的累加。只有教師結(jié)構(gòu)化地整體設(shè)計(jì)時(shí)，才能引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)聯(lián)中領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，從而編織具有生命力的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.教學(xué)形態(tài)的知識(shí)化

教學(xué)方式仍顯單一，學(xué)生自己很難從知識(shí)源頭去探究、體驗(yàn)、生成與創(chuàng)造，難以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。教學(xué)評(píng)價(jià)仍側(cè)重知識(shí)技能的掌握，著力于知識(shí)的獲取，指向未來發(fā)展的素養(yǎng)導(dǎo)向的評(píng)價(jià)仍缺乏研究，對(duì)于發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決實(shí)際問題能力等評(píng)價(jià)力度不足。數(shù)學(xué)教學(xué)不能忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。比如不規(guī)則圖形面積的估測(cè)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)化曲為直、移多補(bǔ)少的方法，滲透轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，初步滲透極限思想。

二、專意思考

（一）概念闡釋

結(jié)構(gòu)教學(xué)是基于學(xué)情、開放整合、優(yōu)化結(jié)構(gòu)、發(fā)展素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略，縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)教學(xué)是教師以整體、聯(lián)系的觀念對(duì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容以及思想方法的縱向梳理。需要厘清知識(shí)塊邏輯關(guān)系，立足生長(zhǎng)點(diǎn)，挖掘延伸點(diǎn)，建構(gòu)立體的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)有效銜接的同時(shí)，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的全貌，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而形成知識(shí)技能的結(jié)構(gòu)化，思想方法的漸進(jìn)性，學(xué)習(xí)能力的可持續(xù)。

（二）理論基礎(chǔ)

布魯納指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方法去理解它。”簡(jiǎn)單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣關(guān)聯(lián)的。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在活動(dòng)中自主建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)、線、面、體的多向關(guān)聯(lián)。

（三）實(shí)施原則

1.基于認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

從縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的視角分析研究教材和學(xué)情，將學(xué)生已掌握的知識(shí)、已獲得的經(jīng)驗(yàn)與新學(xué)的知識(shí)溝通聯(lián)系起來，讓新知的學(xué)習(xí)變?yōu)閷?duì)舊知的延續(xù)、拓展，促進(jìn)對(duì)新知的理解與遷移。

2.著力自主建構(gòu)

為了將碎片化的知識(shí)有機(jī)串聯(lián)，應(yīng)以核心知識(shí)為主線，把各個(gè)分散的知識(shí)點(diǎn)重新聯(lián)結(jié)在一起，形成整體融通的知識(shí)體系。

3.專注能力提升

用縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的視角去分析教材、串聯(lián)并拓展教材內(nèi)容，將“知識(shí)點(diǎn)”串聯(lián)成“知識(shí)鏈”，將“知識(shí)鏈”編織成“知識(shí)網(wǎng)”，不僅讓學(xué)生感受到知識(shí)間的聯(lián)系，也發(fā)展學(xué)生的思維，建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、創(chuàng)意實(shí)踐

目前，較多一線教師進(jìn)行單元整合的相關(guān)研究，即橫向的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)教學(xué)，但往往忽視了整體與部分間的關(guān)系，整合課時(shí)、單元內(nèi)容的同時(shí)，還應(yīng)把握學(xué)段、學(xué)科內(nèi)容，以縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的視角，建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。針對(duì)上述問題，筆者以“面積”模塊為例，從數(shù)學(xué)知識(shí)理解、數(shù)學(xué)方法遷移、學(xué)科能力發(fā)展三個(gè)維度，談?wù)勅绾螐狞c(diǎn)狀教學(xué)走向縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)教學(xué)，來促進(jìn)教師有結(jié)構(gòu)地教，學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。

筆者將從尋找生長(zhǎng)點(diǎn)、挖掘生長(zhǎng)線，整合相似點(diǎn)、凸顯思考力，打破困惑點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)力，這幾條路徑實(shí)現(xiàn)從“碎片學(xué)習(xí)”走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”；從“孤立學(xué)習(xí)”走向“比較學(xué)習(xí)”；從“單一學(xué)習(xí)”走向“縱橫學(xué)習(xí)”，具體操作如下：

（一）指向數(shù)學(xué)知識(shí)理解

1.尋找生長(zhǎng)點(diǎn)

教師需要以整體視角，樹立聯(lián)系觀，在課堂教學(xué)中突破課時(shí)、單元、學(xué)段的限制，厘清知識(shí)塊間的邏輯關(guān)系，溝通與之相關(guān)的知識(shí)，建構(gòu)較完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。以面積為例，筆者對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)“面積”模塊相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了縱向梳理，如表1 所示：

通過梳理教材，我們不難發(fā)現(xiàn)三年級(jí)學(xué)習(xí)面積的概念，之后都是學(xué)圖形的面積特征和面積計(jì)算。由于面積的學(xué)習(xí)是小學(xué)生從度量一維的“線”的長(zhǎng)短到度量二維的“面”的大小，是他們空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍。長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算是學(xué)生求解探索“面積公式”知識(shí)的起始課。是學(xué)習(xí)多邊形面積和其他圖形面積公式的基礎(chǔ)。我們以長(zhǎng)方形正方形面積教學(xué)為例，思考生長(zhǎng)點(diǎn)，擬定新目標(biāo)。

案例一：

表2 案例

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

表3 教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)力求做到關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念的滲透與落實(shí)，注重學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容的深刻體驗(yàn)。從數(shù)到估，處處鋪墊與伏筆，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

2.挖掘生長(zhǎng)線

從教學(xué)內(nèi)容中可以看出，《面積》的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了一個(gè)由易到難的過程。圍繞認(rèn)識(shí)面積、求面積（解決問題）這條主線，我們可以看到在認(rèn)識(shí)完面積后，層層遞進(jìn)（如下圖）。面積的計(jì)算公式是有形的，但隱藏在零散知識(shí)體系中的數(shù)學(xué)思想是無形的。我們?cè)诶砬逯R(shí)顯性脈絡(luò)，體現(xiàn)知識(shí)序列性的同時(shí)也應(yīng)深挖其隱性脈絡(luò)?！扒笃矫鎴D形面積”的隱性脈絡(luò)即“轉(zhuǎn)化思想”。立足生長(zhǎng)點(diǎn)，挖掘生長(zhǎng)線，有效銜接不同年段同一體系的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，才能幫助學(xué)生建立知識(shí)間的前后聯(lián)系，建構(gòu)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

圖1

（二）指向數(shù)學(xué)方法遷移

1.整合相似點(diǎn)

“求平面圖形面積”一直從三年級(jí)貫穿至六年級(jí)，貫穿始終的除了面積的求法這一知識(shí)技能外，“轉(zhuǎn)化思想”同樣一以貫之。尤其是五年級(jí)上冊(cè)多邊形面積的學(xué)習(xí)過程中，教師在教學(xué)中將轉(zhuǎn)化思想推向了至高點(diǎn)。以“求面積”為知識(shí)線，轉(zhuǎn)化思想的滲透經(jīng)歷了以下幾個(gè)過程（圖2）：

圖2

我們以《多邊形的面積整理與復(fù)習(xí)》為例，思考相似點(diǎn)，重構(gòu)整合，讓知識(shí)“聯(lián)”起來，讓方法統(tǒng)一起來，知識(shí)梳理，形成框架。教師引導(dǎo)學(xué)生梳理已學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。這樣既幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，又進(jìn)一步拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識(shí)中的有些知識(shí)在學(xué)生看來是完全不關(guān)聯(lián)的，但實(shí)際上在知識(shí)背后具有縱橫聯(lián)系，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)，是需要老師著力的地方，讓學(xué)生體會(huì)到幾個(gè)圖形公式推導(dǎo)層層遞進(jìn)，共同利用轉(zhuǎn)化的方法。

在對(duì)平行四邊形、三角形、梯形的剪、移、拼的過程中，學(xué)生直觀體會(huì)到圖形間的轉(zhuǎn)化。把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積，這樣就推導(dǎo)出平行四邊形面積公式。把三角形、梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。這樣就推導(dǎo)出三角形、梯形面積公式。這就是上圖中雙向箭頭的含義。這樣，學(xué)生腦海里那些孤立、分散、無序的圖形知識(shí)點(diǎn)就穿成了鏈、攏成了片，織成了網(wǎng)，縱橫溝通，形成了系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。有利于學(xué)生方法的遷移，面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。

2.凸顯思考力

重構(gòu)梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯(lián)系?！岸噙呅蔚拿娣e”這個(gè)單元還有一個(gè)內(nèi)在聯(lián)系——梯形面積公式，這是學(xué)生看來八竿子打不著的。那么就需要教師在練習(xí)課上，將梯形面積公式與其他圖形面積公式有機(jī)整合。通過動(dòng)態(tài)演示梯形上底的變化，溝通梯形、三角形、平行四邊形公式間的關(guān)系。讓學(xué)生經(jīng)歷由模糊到清晰、由片面到全面、由感性到理性的認(rèn)識(shí)過程。他們又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，梯形的面積公式是其他四種圖形面積的通用公式。于是建立起基于轉(zhuǎn)化思想的知識(shí)網(wǎng)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和系統(tǒng)性。在重構(gòu)整合中，學(xué)生真真切切感受到各線知識(shí)的緊密聯(lián)系。抓住數(shù)學(xué)思想，具有單元性質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)被“提領(lǐng)而頓，百毛皆順”。

（三）指向?qū)W科能力發(fā)展

縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)下教學(xué)，除了尋找學(xué)科知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，整合相似點(diǎn)，我們還要打破困惑點(diǎn)。有了知識(shí)網(wǎng)，還需要指向于知識(shí)網(wǎng)中每個(gè)或者某個(gè)節(jié)下知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用練習(xí)，以凸顯學(xué)科能力的簡(jiǎn)單應(yīng)用為主，既能體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的鞏固，又能以變式促成能力的提升?；谥R(shí)網(wǎng)下的結(jié)構(gòu)性應(yīng)用，更能以一種超脫的姿態(tài)助力學(xué)生打破困惑點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)力。

1.打破困惑點(diǎn)

《不規(guī)則圖形的面積》一課是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多邊形的面積，初步掌握了轉(zhuǎn)化的思想方法上進(jìn)行教學(xué)的。學(xué)生對(duì)于教材中數(shù)方格、轉(zhuǎn)化成基本圖形等估算面積的方法并不具挑戰(zhàn)性，因此，我們將教學(xué)內(nèi)容由估算不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)變成盡可能精確地計(jì)算不規(guī)則圖形面積。旨在幫助學(xué)生體會(huì)化曲為直、逐步逼近的方法，滲透轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，初步滲透極限思想，為六年級(jí)圓面積的學(xué)習(xí)做鋪墊。

2.培養(yǎng)學(xué)習(xí)力

縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)教學(xué)的目的，就是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力，讓學(xué)生能夠?qū)⑿轮谌朐械恼J(rèn)知體系進(jìn)行建構(gòu)，并能在新的情境中創(chuàng)造性地解決問題。比如學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)采用轉(zhuǎn)化的思想，把不知道的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)知道的長(zhǎng)方形。學(xué)生可以把轉(zhuǎn)化思想遷移到三角形、梯形、圓等面積的學(xué)習(xí)。

四、詩(shī)意收獲

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重它的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，教師要把每節(jié)課的知識(shí)放到整體知識(shí)體系中，注重它的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，處理好局部與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。教師有結(jié)構(gòu)地教，引導(dǎo)學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。

（一）從“碎片學(xué)習(xí)”走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”

圖形的面積公式推導(dǎo)本來就是相互關(guān)聯(lián)的，教學(xué)中教師應(yīng)重視在圖形及其性質(zhì)之間建立聯(lián)系，幫助學(xué)生建立轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的遷移，幫助學(xué)生把分散的內(nèi)容穿起來，變“碎片學(xué)習(xí)”為“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”。

（二）從“孤立學(xué)習(xí)”走向“比較學(xué)習(xí)”

在某一階段，學(xué)生習(xí)得的一些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)又作為以后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不能孤立地學(xué)，縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)教學(xué)注重厘清知識(shí)塊邏輯關(guān)系的過程中，勾連相關(guān)知識(shí)，形成依據(jù)知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)的線性知識(shí)結(jié)構(gòu)，在聯(lián)系中比較，建立不同知識(shí)模塊的關(guān)聯(lián)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)立體化。

（三）從“單一學(xué)習(xí)”走向“縱橫學(xué)習(xí)”

任何知識(shí)都不是孤立的，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主建立起學(xué)科的知識(shí)框架；同時(shí)，任何方法也不是單一的，縱向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)及橫向結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)也不是互不相容的，二者互相補(bǔ)充，可以取得事半功倍的效果。

總之，教學(xué)中除了著眼課時(shí)、單元內(nèi)容，還要以宏觀角度，縱向關(guān)聯(lián)的視角著眼學(xué)段、學(xué)科內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的顯性與隱形脈絡(luò)，穿點(diǎn)成線、連線成面、勾面成體，盡可能幫助學(xué)生建立多維、立體、交叉的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系。縱向關(guān)聯(lián)視角下的結(jié)構(gòu)化分析，整體化設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知、思維結(jié)構(gòu)的完善，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科能力的發(fā)展。