帶分布時滯分?jǐn)?shù)階微分方程非振動解的存在性

趙環(huán)環(huán), 劉有軍, 康淑瑰

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，大同 037009)

0 引言

鑒于分?jǐn)?shù)階微分方程在流體力學(xué)、化學(xué)物理、電子網(wǎng)絡(luò)、動力系統(tǒng)控制理論、流體流動和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的有廣泛的應(yīng)用。近十幾年人們又加快了對分?jǐn)?shù)階常微分和偏微分方程的研究，取得了一定的進展[1–2]。此外，整數(shù)階泛函微分方程的振動理論由于其有重要的理論價值和現(xiàn)實意義，一直受到學(xué)者們的青睞，也得到了長足的發(fā)展[3–4]。與此同時，我們關(guān)注到學(xué)者們對一類中立型微分方程非振動解的存在性做了大量的研究工作[5–13]，通過對以上方程的發(fā)展歷程來看，它們的中立型部分主要討論的都是常時滯的，且主要研究思想是相似的。將中立型部分的系數(shù)分成四種情況來討論，即(?∞,?1), (?1,0), (0,1), (1,+∞)，并針對每一種情況通過構(gòu)造相應(yīng)的算子來證明。然而，中立型部分帶分布時滯的情形的相關(guān)文獻不多。在2013 年，Candan[13]討論了一階中立型帶分布時滯微分方程

這里γ是兩個正奇數(shù)的比，但是他僅僅研究了系數(shù)是

的情形，沒有給出其他三種情況的證明過程和結(jié)果。通過分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生這種情況的原因是按照已有的辦法構(gòu)造算子在推導(dǎo)過程中出現(xiàn)了較大的困難。綜合以上，本文通過打破傳統(tǒng)，構(gòu)造出新的算子，成功的克服了這個困難，依然得到了方程的中立型部分系數(shù)∫b a p2(t,ξ)dξ在四種情況下非振動解的存在的充分條件，并且在近年來，我們注意到了分?jǐn)?shù)階微分方程振動性結(jié)果[14–18]，但帶分布時滯分?jǐn)?shù)階微分方程的振動性論文較少。因此，研究該問題有其重要的理論價值和現(xiàn)實指導(dǎo)意義。

本文考慮分?jǐn)?shù)階中立型微分方程

Φ(u)定義在R 上，關(guān)于u的連續(xù)遞增的實奇函數(shù)，且Φ?1(u)滿足局部Lipischitz 條件。gi ∈C(R,R),gi(u)滿足局部Lipischitz 條件，對u ?=0，有ugi(u)>0,i=1,2。

本文將會用到以下定義、性質(zhì)和記號。

定義1若方程(2)的一個解有任意大的零點，則稱其為方程(2)的振動解，否則稱為非振動解。

定義2若存在充分大的t1>t0，對于x(t)∈C([t1?μ,∞),R)，使得

在[t0,∞)上存在，且滿足方程(2)，則x(t)為方程(2)的解，這里μ=max{θ,d,f}。

定義3[1]在半軸上的劉維爾分?jǐn)?shù)階積分定義為

這里t ∈R,α ∈[0,∞)。

定義4[1]在半軸上的劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

這里n= [α]+1,α ∈[0,∞), [α]定義的是α的整數(shù)部分。特別地，如果α=n ∈N，則f(t)=f(n)(t)，這里f(n)(t)是f(t)在通常意義下的n階導(dǎo)。

性質(zhì)1[1]對α>0,λ>0，有

記Li分別是函數(shù)gi定義在集合A上的Lipischitz 常數(shù)，K是函數(shù)Φ?1(u)的Lipischitz常數(shù)，分別地

1 主要結(jié)果

定理1假設(shè)

且滿足下面情形之一：

則方程(2)存在一個有界的非振動解。

證明 令Λ是所有定義在[t0,∞)上的具有上確界范數(shù)

的有界連續(xù)函數(shù)的全體，則易知Λ是一個Banach 空間。

情形(a)

設(shè)A={x ∈Λ,M1≤x(t)≤M2,t ≥t0}，這里M1和M2是兩個正常數(shù)，且使得

由方程(2)，選擇t1≥t0+μ，當(dāng)t ≥t1充分大時，使得

成立。接下來，在A上定義算子T如下

容易看出，T是連續(xù)的，對于t ≥t1,x ∈A，用(3)式，有

再用到(4)式，可得

這些表明TA ?A，由于A是Λ中有界的閉的緊集。為了應(yīng)用壓縮映像原理，我們必須說明T是A上的一個壓縮算子。

對所有的x1,x2∈A，當(dāng)t ≥t1時，有

這表明上確界范數(shù)

并且說明T是A上的一個壓縮映射，則由Banach 壓縮映像原理可得方程(2)存在唯一的正有界解∈A，使得T=，也就是

進一步，得

即有

根據(jù)性質(zhì)1，容易看出?x(t)是方程(2)的一個非振動解。

情形(b)

設(shè)A={x ∈Λ,M3≤x(t)≤M4,t ≥t0}，這里M3和M4是兩個正常數(shù)，且使得

由(3)式，選擇t1≥t0+μ，當(dāng)t ≥t1充分大時，使得

成立。接下來，在A上定義算子T如下

容易看出T是連續(xù)的，對于t ≥t1,x ∈A，用(7)式，我們有

且利用(8)式，得

這些表明TA ?A，由于剩下的證明過程與情形(a)證明類似，故省略了。

情形(c)

設(shè)A={x ∈Λ,M5≤x(t)≤M6,t ≥t0}，這里M5和M6是兩個正常數(shù)，使得

由(3)式，選擇t1≥t0+μ，當(dāng)t ≥t1充分大時，使得

成立。由于剩下的證明過程與情形(a)證明類似，故省略了。

情形(d)

令A(yù)={x ∈Λ,M7≤x(t)≤M8,t ≥t0}，這里M7和M8是兩個正常數(shù)，且使得

由方程(2)，選擇t1≥t0+μ，當(dāng)t ≥t1充分大時，使得

成立。由于剩下的證明過程與情形(b)證明類似，故省略了。

注1當(dāng)α=n=1∈N,r(t)≡1,Φ(u)=uγ,q2(t,σ)=0 和h(t)=0，方程(2)中立型部分變成了方程(1)的中立型部分，核心是本論文將中立型部分的系數(shù)p(t,θ)dθ由原來的(?1,1)拓展到(∞,?1)∪(?1,1)∪(1,+∞)。

2 算例

例1考慮分?jǐn)?shù)階帶分布時滯微分方程

這里

容易看出

因此，定理中情形(b)成立。事實上，x(t)=e?t是方程(9)的一個非振動解。