一種顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預測模型序貫解算方法

鄭一帆，于先文，董彥鋒

（東南大學交通學院，江蘇 南京 211189）

引言

隧道、道路、橋梁等交通構(gòu)建物在工程完工后，由于土的固結(jié)效應以及其他因素變化所造成的沉降，被稱為工后沉降［1］。精確預測工后沉降能夠為工程的安全性評估與維護方案設計提供重要的參考。對于隧道、道路、橋梁等需要長期維護的工程項目，沉降預測的重要性更加突出。

目前，工后沉降主要通過預測模型來預測，常見的模型包括雙曲線法［2］、指數(shù)曲線法［3］、星野法［4］、Asaoka法［5］、泊松曲線法［6］等。模型的參數(shù)可以通過間接平差或序貫平差的方法解算。相比于前者，序貫解算方法具有高效、節(jié)約存儲的特點［7-8］。

不論何種沉降預測模型，其隨機模型一般都基于觀測值的精度確定。因此，現(xiàn)有工程普遍采用等權(quán)的隨機模型?？紤]到新數(shù)據(jù)比舊數(shù)據(jù)更能體現(xiàn)預測點的沉降變化趨勢，等權(quán)的隨機模型用于預測工后沉降并不合理。因此，有必要探討新的隨機模型，強化沉降預測模型的合理性，以提高沉降預測模型的預測精度。

在沉降預測模型的隨機模型領(lǐng)域，已有一些研究及成果。殷春武［9］探討了隨機模型的一些條件，并利用了三角函數(shù)進行了觀測數(shù)據(jù)的賦權(quán)，證明合理的隨機模型可以改善沉降預測模型的預測效果；曹文貴等［10-11］將新鮮度的概念引進了沉降預測模型中，采用了一些新鮮度函數(shù)賦權(quán)實測觀測數(shù)據(jù)，同樣對預測效果有積極作用；李秋全［12］在曹的基礎上，將新鮮度與吻合度結(jié)合，創(chuàng)造了新的隨機模型應用在隧道變形預測中，取得了良好的效果。但上述的隨機模型確定方法都一定程度上依賴經(jīng)驗，具有一定的隨機性；同時，其要求明確沉降數(shù)據(jù)的總體數(shù)量用于定權(quán)，這與沉降預測模型的序貫解算方法不兼容。

針對上述問題，本文引入降權(quán)系數(shù)的概念，按時效性對實測沉降數(shù)據(jù)進行賦權(quán)，確定一種適用于沉降預測模型序貫解算方法的隨機模型，以強化沉降預測模型的合理性，改善模型的預測效果，并通過工程算例驗證方法的有效性。

1 沉降預測模型序貫解算方法

沉降預測模型需要伴隨著工程進展而實時更新，以實時預報沉降變化情況。序貫平差理論可以高效地解算沉降預測模型，下面列出沉降預測模型完整的序貫解算方法。

大多數(shù)沉降預測模型可以表達為統(tǒng)一的二維線性形式，基于前m（m≥2）期數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可擬合沉降預測模型為：

式中t為觀測時間；y為包含t時刻沉降信息的因變量，為便于表達，下文直接用沉降觀測量指代；為模型系數(shù)估值，等權(quán)條件下，令所有的沉降觀測值的權(quán)都為1，其計算公式為：

估值的權(quán)陣為：

自m+1期起，即可利用序貫理論更新模型。下面以第n（n＞m）期數(shù)據(jù)為例，導出序貫沉降預測模型計算公式。

假設基于前n-1期數(shù)據(jù)，已得到沉降預測模型的系數(shù)估值a^(n-1)及其權(quán)陣W(n-1)，將其虛擬為觀測值，并建立其誤差陣v′(n)的方程為：

第n期新增沉降觀測數(shù)據(jù)為yn，相應權(quán)為1。令Fn=[ 1f(tn)]，可建立觀測誤差方程為：

將式（4）與式（5）聯(lián)立，得誤差方程式為：

式中I為二階單位陣。

根據(jù)最小二乘法，可得當前預測模型系數(shù)的最優(yōu)估值為：

相應的權(quán)陣為：

于是，更新后的沉降預測模型：

沉降預測模型序貫解算方法可以與沉降觀測過程實時同步，將歷史觀測數(shù)據(jù)對模型的影響全部映射到預測模型的系數(shù)估值及其權(quán)陣中，節(jié)約了計算量，也可以避免歷史數(shù)據(jù)存儲，減小出錯的概率。

2 顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預測模型建模

2.1 建模及解算方法

目前的沉降預測模型普遍采用等精度的觀測數(shù)據(jù)，并依據(jù)該精度賦權(quán)并擬合模型。換言之，沉降預測模型對所有數(shù)據(jù)的依賴性等同。而實際上，實測沉降數(shù)據(jù)距離預測時間點的時間間隔不同，其與預測時間點沉降的關(guān)聯(lián)程度必定不同。時間上更接近預測點的數(shù)據(jù)，其沉降規(guī)律與預測時間點的沉降規(guī)律會更接近。所以，應當建立新的隨機模型來反映數(shù)據(jù)的時效性，以獲得更好的預測效果。

根據(jù)已有的沉降預測模型的數(shù)據(jù)時效性研究，可以總結(jié)出隨機模型的建立原則：

（1）實測沉降數(shù)據(jù)的權(quán)是非負數(shù)。

（2）實測沉降數(shù)據(jù)的權(quán)應當呈現(xiàn)一個遞增的趨勢。

（3）沉降數(shù)據(jù)權(quán)的遞增應當是一個比較平緩的過程。雖然離預測時刻點越近的沉降數(shù)據(jù)對預測值的影響越大，但相鄰實測數(shù)據(jù)的權(quán)重不應差距過大，否則可能降低某些重要參考因素的影響。

假設，已基于前m期觀測數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到預測模型系數(shù)估值a^(m)及其權(quán)陣W(m)。自m+1期起，參照上述原則，對序貫解算方法的隨機模型進行改進。下面以第n（n＞m）期數(shù)據(jù)為例，導出顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預測模型序貫解算方法。

假設基于前n-1期數(shù)據(jù)，已得到沉降預測模型的系數(shù)估值及其權(quán)陣W(n-1)，將其虛擬為觀測值，并建立如式（4）所示的誤差方程。同步引入降權(quán)系數(shù)k（0＜k≤1）對虛擬觀測值進行降權(quán)，得到其新的權(quán)陣為：

第n期新增沉降觀測數(shù)據(jù)為yn，相應權(quán)為1，可建立如式（5）所示的觀測誤差方程。聯(lián)合上述兩組誤差方程，得到形如式（6）所示的誤差方程組。進而可得預測模型系數(shù)的最優(yōu)估值為：

相應的權(quán)陣變?yōu)椋?/p>

上述內(nèi)容表述了顧及數(shù)據(jù)時效進行模型序貫解算的完整方法。方法中降權(quán)系數(shù)k的取值為隨機模型保留了一定程度的靈活性，通過調(diào)整k的值，可以調(diào)節(jié)隨機模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。k的取值越接近1，算法顧及數(shù)據(jù)時效的程度越低；當k=1時，算法蛻變?yōu)槌Ｒ?guī)的等權(quán)模型。相反，k的取值越接近0，算法顧及數(shù)據(jù)時效的程度越高。

2.2 數(shù)據(jù)時效性分析

隨著沉降觀測數(shù)據(jù)的增加，同一歷史觀測數(shù)據(jù)，其離預測點的時間間隔也在增加，其對預測模型所起的作用也在減小。為了分析歷史沉降數(shù)據(jù)的權(quán)在量級上具體的下降規(guī)律，下面對歷史觀測值的權(quán)進行推導。

根據(jù)式（11），基于n期實測沉降數(shù)據(jù)進行序貫解算得到的系數(shù)估值a^(n)可寫為：

將式（14）和式（15）代入式（13）中，可以得到：

式（16）分離出了包含沉降觀測量yn-1的項，由此可以看出第n-1期數(shù)據(jù)的權(quán)為k。參考式（14）與式（15），可得與W′(n-2)的表達式為：

將式（17）和式（18）代入式（16）中，可以分離出包含沉降觀測量yn-2的項如下所示：

由上式可得第n-2期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為k2。

重復上述過程，可分離出包含第d（m＜d＜n）期沉降觀測量yd的項如下：

可知第d期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為kn-d。

當d≤m時，沉降觀測量yd被包含在觀測向量Y(m)中，利用式（2）與式（3）結(jié)果，最終可從a^(n)分離出包含Y(m)的項如下：

根據(jù)式（21）可知，此時第d期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為kn-m。

總結(jié)上述內(nèi)容，第d（d≤n，n為沉降數(shù)據(jù)總量）期歷史觀測數(shù)據(jù)的權(quán)重為：

由于0＜k≤1，根據(jù)式（22）可以看出，本文方法中同一歷史觀測數(shù)據(jù)的權(quán)是根據(jù)工程進展而迅速縮減的。這不僅與序貫解算方法相適應，也與工程的實際進程相適應。

3 算例驗證

3.1 工程背景

本文以隧道沉降模型為例，對顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預測模型序貫解算方法進行算例驗證。實驗數(shù)據(jù)選取南京市某地鐵隧道內(nèi)370，374，383，535號等四個沉降監(jiān)測點的實測沉降數(shù)據(jù)。該組數(shù)據(jù)于2013年通過精密水準測量得到，每個沉降監(jiān)測點有82期數(shù)據(jù)。

實驗模型選用沉降預測模型中最常見的雙曲線模型，其模型表達式為：

式中S0，t0分別為開始施工時的沉降量與時間點；α，β為根據(jù)實測值求出的系數(shù)；t，St分別為任意觀測時間和對應的沉降量。

根據(jù)模型的線性方程可以進行序貫解算，獲得參數(shù)估值后可進行沉降預測工作。

3.2 計算結(jié)果

為探求本算例中降權(quán)系數(shù)k取值的影響，對k取不同值進行實驗，同時采用等權(quán)的隨機模型進行預測作為對照。首先，選定降權(quán)系數(shù)k；其次，使用前3期數(shù)據(jù)基于最小二乘擬合沉降預測模型；然后，利用預測模型預測第4期的沉降值；接著，添加第4期的實測沉降數(shù)據(jù)基于序貫解算方法更新預測模型；進而，預測出第5期的沉降值。反復循環(huán)直到數(shù)據(jù)全部參與解算，最終得到沉降預測序列。選定不同的降權(quán)系數(shù)k，可得到不同沉降預測序列。

為了直觀地分析降權(quán)系數(shù)的作用，可作沉降預測圖進行輔助分析。以主體工程時間為橫軸，沉降量為縱軸，繪制實測的沉降數(shù)據(jù)曲線與不同降權(quán)系數(shù)k得到的沉降預測序列制成的曲線，如圖1～4所示。

從圖中可以很明顯地看出，顧及數(shù)據(jù)時效的隨機模型可以大幅優(yōu)化預測精度。對照等權(quán)情況下的預測曲線，當k值取0.9時，相應的沉降預測曲線急遽逼近實測沉降值；當k值取0.8，0.7與0.6時，沉降預測曲線與實測沉降曲線更加貼近，出現(xiàn)了一些重疊的部分。

為了更具體地觀察k值與預測效果之間的關(guān)系，采用預測中誤差作為具體的數(shù)據(jù)指標來描述預測精度。預測中誤差定義如下：將實測沉降數(shù)據(jù)作為真值，利用預測得到的預測沉降序列與其作差，得到預測誤差的序列?；谠撔蛄锌伤愕萌款A測值的均方根誤差作為預測中誤差。根據(jù)實驗結(jié)果，整理不同k值與相應的預測精度如下表。

對比表1中不同k值的預測結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，k調(diào)整到0.9時，預測中誤差較等權(quán)條件下縮小了50%左右；繼續(xù)減小k的值，預測中誤差的下降幅度逐漸變小；當k取0.6時，預測精度較等權(quán)情況能夠提升4～8倍。

表1 不同k值的模型預測精度

由上述結(jié)果可知，在該工程中，等權(quán)條件下的沉降預測模型預測效果并不理想。引入降權(quán)系數(shù)后，模型預測中誤差顯著減小，模型性能最高可提升數(shù)倍。這說明本方法可以有效提升沉降預測模型的預測效果，提高沉降預測模型在實際工程應用中的可靠性。

4 結(jié)束語

本文提出了一種顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預測模型序貫解算方法。該方法充分考慮了建模過程中歷史沉降數(shù)據(jù)的時效性，引入了降權(quán)系數(shù)來優(yōu)化定權(quán)方法，得到了相應的隨機模型，并將其用于序貫解算方法中。同時，分析了隨工程進展的歷史沉降數(shù)據(jù)權(quán)的變化情況。最后，通過實際的工程算例對本文新方法進行了有效性驗證。算例結(jié)果表明，通過引入降權(quán)系數(shù)k，沉降預測模型的性能得到了大幅提升，當k取0.6時，模型預測精度較等權(quán)情況能提高4～8倍，這對實際工程中的沉降處理工作具有重要意義。由于本文篇幅有限，對于降權(quán)系數(shù)k最佳取值的研究不夠深入，后續(xù)還需進一步研究。