奚煒奇
(上海海事大學(xué)附屬北蔡高級(jí)中學(xué) 上海 201204)
數(shù)學(xué)思想理論是在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題時(shí)所運(yùn)用到的解決方法與思考方式。數(shù)學(xué)思想方法是用來解決數(shù)學(xué)問題中最重要的解決手段,其中不僅僅包涵了數(shù)學(xué)內(nèi)涵,還包括了數(shù)學(xué)方法。但這兩者有著不同的概念:數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)和內(nèi)容,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體形式。在處理問題時(shí),數(shù)學(xué)思維方法具有指導(dǎo)性和通用性。
教學(xué)的基本思想,大都源自于生活。因此,我們需要抽象思維來解決現(xiàn)實(shí)生活中的幾何問題;我們需要建模思維來解決現(xiàn)實(shí)生活中的復(fù)雜問題;我們同樣需要推理思維來解決生活中的許多邏輯問題[1]。
數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。用數(shù)形結(jié)合來解決問題,我們并不陌生。最常見的數(shù)形結(jié)合的用法便是找出題目中所給出的數(shù)量關(guān)系,然后將數(shù)量關(guān)系運(yùn)用自己所學(xué)過的幾何概念,用圖形的方式表達(dá)出來,巧妙地把兩者結(jié)合起來。在日常教學(xué)中,教師應(yīng)加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí),使學(xué)生做到“腦中有圖,見數(shù)想圖,看圖得數(shù)”。
“數(shù)”和“形”二字涵義豐富。從廣義上說,“數(shù)”作為客觀世界的研究工具,“形”是整個(gè)世界。狹義上來說,“數(shù)”是數(shù)學(xué)題目中的數(shù)量關(guān)系,“形”是數(shù)學(xué)題目中的形象對(duì)象。數(shù)學(xué)不僅是一門研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,還是一門研究各個(gè)空間維度上的幾何關(guān)系的學(xué)科,兩類關(guān)系互相交錯(cuò)才組成了數(shù)學(xué)?!敖M合”一詞具有很強(qiáng)的方法論意義,其基本內(nèi)涵彼此密切相關(guān)。把“結(jié)合”放在“數(shù)形結(jié)合”一詞中,應(yīng)被理解為使用某些數(shù)學(xué)模型或結(jié)構(gòu)來轉(zhuǎn)換[2]。如果按轉(zhuǎn)換對(duì)象來分,分為“以數(shù)化形”“以形變數(shù)”“形數(shù)互變”三大類。
(1)從對(duì)思維能力的要求來看數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想能有效地幫助學(xué)生樹立良好的現(xiàn)代思維意識(shí)。
①通過數(shù)形組合,學(xué)生可以從多個(gè)角度考慮問題,促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。例如,在解決一元二次不等式的時(shí)候,不僅可以利用代數(shù)方法,還可以利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解。
又如,解決一元二次不等式x2+3x+4〉0時(shí)
再進(jìn)行解決。同樣,也可以將x2+3x+4〉0看作函數(shù)f(x)=x2+3x+4〉0的那一部分,即圖像上y軸的上半部分。
②教師應(yīng)通過數(shù)與形的結(jié)合,努力培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中,主要以形象思維的訓(xùn)練為主,但進(jìn)入了高中之后,抽象思維占據(jù)了數(shù)學(xué)問題中的主要地位,學(xué)生可能很難從形象思維轉(zhuǎn)到抽象思維當(dāng)中去,所以教師需要幫助學(xué)生加快從形象思維轉(zhuǎn)化為抽象思維,更進(jìn)一步地將形象思維和抽象思維相結(jié)合。
③教師通過利用數(shù)形結(jié)合思想,有效地引導(dǎo)學(xué)生將靜態(tài)思維轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)思維,尤其是坐標(biāo)中的動(dòng)直線問題。典型問題就是如直線y=ax-a雖然直線是一條不確定的動(dòng)直線,但是直線卻恒過定點(diǎn)(1,0)。這就是最典型地將靜態(tài)思維和動(dòng)態(tài)思維相結(jié)合的實(shí)例了。(2)從數(shù)學(xué)的自身特點(diǎn)來看數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學(xué)不僅是抽象的、復(fù)雜的,而且非常形式化、符號(hào)化,因此它不受學(xué)生的歡迎。事實(shí)上,高中教材中有很多內(nèi)容運(yùn)用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法,教師可以不單單從概念上幫助學(xué)生了解,還可以通過數(shù)與形的組合,更直觀地揭示出更多的現(xiàn)象,不僅幫助學(xué)生理解,還能夠給予同學(xué)一種“原來數(shù)學(xué)也可以這么理解”的想法,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣[3]。
當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)給予了數(shù)形結(jié)合足夠的重視,數(shù)形結(jié)合的思想方法簡(jiǎn)潔、快速、易于理解,是學(xué)生喜歡使用的數(shù)學(xué)方法[4]。但是學(xué)生在使用數(shù)形結(jié)合的思想方法的時(shí)候,卻很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。
(1)圖形的精確性的教學(xué)
在面對(duì)需要精確作圖的題目時(shí),學(xué)生很容易出現(xiàn)對(duì)于圖形判斷不準(zhǔn)確,圖像過于潦草的問題。這些問題就很容易導(dǎo)致圖像交點(diǎn)不準(zhǔn)確以及圖像位置不確定。在這種問題上,就要先采用數(shù)量關(guān)系決定圖像關(guān)系的方法了。
例:函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=tanx的圖像在[-2π,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()。
A .3 個(gè) B .5 個(gè) C .7 個(gè) D .9 個(gè)
(2)圖形的等價(jià)性的教學(xué)
在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題時(shí),很容易因?yàn)楦鞣N運(yùn)算,以及范圍的不斷變化而導(dǎo)致圖形的變化。在解決問題時(shí),應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行每一步的推理與作圖,確保精確性、完整性以及等價(jià)性。
如例題:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A地坐標(biāo)為(4,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),在直線x+2y-13=0上,求一點(diǎn)P使ΔPOA為等腰三角形。
解析:在解決這類型題目的時(shí)候,很多學(xué)生只能想到一種情況。若將視野擴(kuò)寬,就會(huì)發(fā)現(xiàn),還存在著多種情況。例如,以P為頂點(diǎn),O為頂點(diǎn),A為頂點(diǎn),三個(gè)頂點(diǎn)不同,腰也會(huì)不同,從而導(dǎo)致P點(diǎn)位置也不同。
(1)利用坐標(biāo)法解決幾何問題
坐標(biāo)法即將幾何問題坐標(biāo)化。首先,根據(jù)幾何問題的特點(diǎn),建立了適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并利用坐標(biāo)法求解幾何問題,將題目中的數(shù)量關(guān)系變化為坐標(biāo)系中的幾何問題,再根據(jù)所學(xué)幾何知識(shí),進(jìn)行嚴(yán)密的推理運(yùn)算,得到相關(guān)的屬相關(guān)系結(jié)論,從而揭示幾何上的問題答案。
(2)利用向量法解決幾何問題
在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中,向量是作為一個(gè)單獨(dú)的章節(jié)出現(xiàn)的。在解決向量的運(yùn)算問題中,利用與物理學(xué)相類似的矢量法來解決向量的加減乘除問題,這是向量的重點(diǎn)問題。高中向量強(qiáng)化了向量的代數(shù)運(yùn)算,但其實(shí)向量運(yùn)算中的幾何意義,如向量數(shù)量積的幾何意義等仍不可或缺。
(1)利用數(shù)形結(jié)合法解決集合的問題
在學(xué)習(xí)向量的交、并、補(bǔ)的時(shí)候,我們就利用了韋恩圖來進(jìn)行理解,這樣能夠更快地幫助學(xué)生形象地了解集合的運(yùn)算。
例如有48 名學(xué)生,每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組,參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28、25、15,同時(shí)參加數(shù)、理小組的8人,同時(shí)參加數(shù)、化小組的6人,同時(shí)參加理、化小組的7人,問:同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的有多少人?
分析:將數(shù)理化小組的人數(shù)用三個(gè)圓來表示,根據(jù)韋恩圖可知,AB兩圓的公共部分代表同時(shí)參加數(shù)、理小組的人,ABC三圓的公共部分代表同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的人。再根據(jù)總?cè)藬?shù)來進(jìn)行列式。
即28+25+15-8-6-7+n(A∩B∩C)=48。
故n(A∩B∩C)=1即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有 1 人.
(2)利用數(shù)形結(jié)合法解決方程和不等式問題
將二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與方程ax2+bx+c=0放在一起考慮,就會(huì)發(fā)現(xiàn)方程ax2+bx+c=0就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)y=0時(shí)的情況,即方程y=ax2+bx+c的根,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)。函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化,相互理解,幫助學(xué)生理解一元二次的解法的同時(shí),也幫助學(xué)生復(fù)習(xí)并掌握了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)。
“以形助數(shù)” “以數(shù)助形”都是數(shù)形結(jié)合的概念,它們其實(shí)從本質(zhì)上來說都是數(shù)形結(jié)合的思維方法,只是偏重點(diǎn)不同罷了。做題目時(shí),我們習(xí)慣從結(jié)論出發(fā),所以才有了“以形助數(shù)” “以數(shù)助形”。但是,在實(shí)際解決的問題當(dāng)中,我們經(jīng)常碰到的是,數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合,沒有側(cè)重于數(shù),也同樣沒有側(cè)重于形,兩者處于同樣的高度,需要相互結(jié)合才能解決出最后的結(jié)論。
數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用十分廣泛,不僅僅運(yùn)用在經(jīng)典的幾何題目當(dāng)中。集合、方程、函數(shù)、向量、三角、不等式、線性規(guī)劃等,均對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法有所涉及[5]。在各地高考當(dāng)中,數(shù)形結(jié)合也占據(jù)著最重要的數(shù)學(xué)思想的地位,不論是簡(jiǎn)單的題目,還是壓軸的難題,數(shù)形結(jié)合都是用來解決難題的一個(gè)好方法。本文主要先通過分析數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的概念,從而引出當(dāng)今數(shù)學(xué)教育發(fā)展下的數(shù)形結(jié)合的地位,再通過列舉典型例題,闡述數(shù)形結(jié)合的具體方法以及便捷原因。分析在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)常見的錯(cuò)誤,整理出一些典型問題,歸納總結(jié)一些有效的數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)方法。