基于疊加級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵的溫度和應(yīng)變傳感的理論分析

崔春雷,馮 建,李 鋒

(廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智慧交通工程學(xué)院，廣州 510650)

0 引言

長(zhǎng)周期光纖光柵(LPFG,Long period fiber grating)是一種透射型光纖光柵[1]，作為一種新型光纖器件，相對(duì)于布拉格光纖光柵(FBG)，長(zhǎng)周期光纖光柵對(duì)應(yīng)變、溫度、環(huán)境折射率、彎曲等環(huán)境參數(shù)的靈敏度更高[2]，且具備多個(gè)損耗峰，諧振峰波長(zhǎng)與溫度和應(yīng)變之間有著較好的線性關(guān)系[3-4]，加上成本低、體積小，近年來(lái)在傳感領(lǐng)域受到普遍關(guān)注。多參數(shù)同時(shí)測(cè)量是光纖傳感技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)[5]，但在工程測(cè)量中溫度和應(yīng)變會(huì)相互影響，從而形成交叉敏感現(xiàn)象[6-7]。目前常采用兩種以上光柵組合的方式來(lái)克服交叉敏感實(shí)現(xiàn)多參數(shù)的測(cè)量[8]，如采用FBG與LPFG組合的方式[9]，LPFG與HBF組合的方式[10]，用LPFG與保偏光纖sagnac環(huán)組合的方式[11]，這些方法主要利用不同類(lèi)型的光柵對(duì)溫度與應(yīng)變等參數(shù)的靈敏度的不同來(lái)實(shí)現(xiàn)多參數(shù)同時(shí)測(cè)量，但這些方案的成本高，制作工藝和光路復(fù)雜，影響測(cè)量精度的因素多[12]。為解決上述問(wèn)題，有學(xué)者采用同類(lèi)型光柵串聯(lián)的方式作為傳感器，如pssetti通過(guò)級(jí)聯(lián)兩個(gè)周期相同的光柵實(shí)現(xiàn)了多參數(shù)測(cè)量[13]，但該方案中兩段光柵使用相同的模式，無(wú)法形成對(duì)溫度和應(yīng)力的差異化感應(yīng)，導(dǎo)致無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)溫度與應(yīng)力的同時(shí)獨(dú)立測(cè)量。

本文提出了一種基于疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵的溫度與應(yīng)變雙參數(shù)同時(shí)測(cè)量的方案，該方案采用在同一段光纖上重疊寫(xiě)入兩種不同周期的LPFG，利用周期不同的子?xùn)啪哂胁煌臏囟?、?yīng)變響應(yīng)這一特性，設(shè)計(jì)了具有增敏和抗擾特性的解調(diào)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)溫度與應(yīng)變的高精度同時(shí)測(cè)量。

1 疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵的數(shù)學(xué)描述

常見(jiàn)的級(jí)聯(lián)型長(zhǎng)周期光纖光柵(CLPFG, Cascaded Long-Period Fiber Grating)一般采用串聯(lián)的方式把兩個(gè)光柵LPFG1與LPFG2連在一根光纖上。光經(jīng)過(guò)LPFG1后，纖芯模的一部分會(huì)被耦合進(jìn)包層模，然后包層模和剩余的纖芯模分別在包層和纖芯中傳播距離d，之后包層模又耦合回LPFG2的纖芯并和纖芯模發(fā)生干涉，其工作原理與Mach-Zehnder干涉儀相近[14]。如圖1所示，因?yàn)槔w芯模的干涉，導(dǎo)致串聯(lián)式級(jí)聯(lián)型LPFG的光譜具有密集多峰的特點(diǎn)，且光譜的密集程度和距離d、環(huán)境溫度、光柵強(qiáng)度都高度敏感[15]，這一特性決定了串聯(lián)型級(jí)聯(lián)型LPFG作為傳感器是較為困難的。如陳美娟等人提出了基于串聯(lián)級(jí)聯(lián)LPFG的溫度與應(yīng)變傳感器[16]，但該方案并未考慮到串聯(lián)型LPFG透射譜的因?yàn)檫^(guò)于密集多變無(wú)法成為穩(wěn)定的測(cè)量標(biāo)的。

圖1 串聯(lián)式級(jí)聯(lián)型長(zhǎng)周期光纖光柵(CLPFG)透射譜

為了克服CLPFG光譜過(guò)密不適合作為測(cè)量標(biāo)的的缺陷，本文提出了一種基于疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG，Superimposed Long Period Fiber Grating)的多參數(shù)傳感器，該傳感器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以實(shí)現(xiàn)溫度與應(yīng)變的同時(shí)測(cè)量，相對(duì)于單柵其靈敏度更高，且克服了串聯(lián)型級(jí)聯(lián)LPFG作為傳感器時(shí)光譜過(guò)于密集多峰的問(wèn)題。

SLPFG結(jié)構(gòu)如圖2所示，在同一段光纖中重疊寫(xiě)入周期分別為Λ1和Λ2的兩個(gè)子?xùn)?，此時(shí)纖芯折射率改變量為：

圖2 疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)結(jié)構(gòu)

(1)

其中:Δni為第i個(gè)子光纖光柵的平均折射率該變量。在這種重疊級(jí)聯(lián)式LPFG中，LPFG1和LPFG2分別把纖芯模耦合到自身的某個(gè)包層模中，從而避免了串聯(lián)式級(jí)聯(lián)LPFG中的光譜干涉現(xiàn)象。

此時(shí)，光柵中耦合方程可以表示為[17]：

(2)

其中：A1=a1(z),A2=a2(z)ej2zδ1,A3=a3(z)ej2zδ2；這里a1,a2,a3分別為纖芯基模和兩個(gè)包層模式對(duì)應(yīng)的振幅；k1和k2分別表示LPFG1和LPFG2的纖芯基模和包層模的耦合系數(shù)；δ1和δ2分別表示LPFG1和LPFG2中纖芯基模和包層模對(duì)應(yīng)的失諧量，且有：

β1，β2，β3分別為纖芯基模以及LPFG1和LPFG2包層模的傳播常數(shù)。通過(guò)求解方程(2)，得到A1，A2，A3后，最終可得出長(zhǎng)度為L(zhǎng)的疊加級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)的透射率為：

(4)

圖3為數(shù)值仿真得到的疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)的傳輸譜，其中Λ1=400 μm，Λ2=410 μm仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[18]結(jié)論一致，這里因Λ1和Λ2差距較小，所以圖中兩個(gè)LPFG的同一階次的諧振峰的位置也較為接近。

圖3 疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)透射譜

2 疊加級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵雙參數(shù)傳感原理

長(zhǎng)周期光纖光柵的耦合發(fā)生在纖芯基模和同向傳播的一階m次包層模之間，根據(jù)耦合模理論可得[19]：

(5)

對(duì)λm(T,ε)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，當(dāng)忽略高階項(xiàng)時(shí)，可得到：

(6)

式中,最后一項(xiàng)為溫度與應(yīng)變的交叉敏感項(xiàng)，在溫度與應(yīng)變較小時(shí)，交叉敏感項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)誤差的影響非常小[20]，可以忽略不計(jì)，此時(shí)可把式(6)寫(xiě)為：

Δλm=KTΔT+KεΔε

(7)

當(dāng)僅考慮應(yīng)變作用時(shí)，LPFG的諧振波長(zhǎng)與應(yīng)變關(guān)系為：

(8)

當(dāng)僅考慮溫度作用時(shí)，LPFG的諧振波長(zhǎng)與和溫度的關(guān)系為[21]：

(9)

LPFG的諧振波長(zhǎng)與溫度或應(yīng)變的靈敏度系數(shù)的大小與LPFG的周期以及損耗峰的階次密切相關(guān)，假定忽略溫度和應(yīng)變的交叉敏感，此時(shí)LPFG的諧振波長(zhǎng)與溫度和應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系。對(duì)重疊級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵，可以利用不同周期的不同諧振峰對(duì)溫度和應(yīng)變的差異性，來(lái)達(dá)到增大傳感器的靈敏度、減小交叉敏感的目的。當(dāng)環(huán)境溫度與應(yīng)變同時(shí)改變時(shí)，LPFG1與LPFG2的諧振波長(zhǎng)會(huì)隨著這兩個(gè)環(huán)境參數(shù)的改變而發(fā)生漂移，可表示為：

(10)

其中:ΔλLPG1_m表示LPFG1的纖芯基模LP01與LP0m階包層模的諧振峰的波長(zhǎng)漂移量，ΔλLPG2_n表示LPFG2的纖芯基模LP01與LP0n階包層模的諧振峰的波長(zhǎng)漂移量。KT_LPG1_m和Kε_(tái)LPG1_m為L(zhǎng)PFG1的m階諧振峰波長(zhǎng)與溫度和應(yīng)變之間的靈敏度系數(shù)，KT_LPG2_n和Kε_(tái)LPG2_n為L(zhǎng)PFG2的n階諧振峰波長(zhǎng)與溫度和應(yīng)變之間的靈敏度系數(shù)。把式(10)逆運(yùn)算，得到：

(11)

顯然SLPFG作為傳感器時(shí)，通過(guò)測(cè)量?jī)蓚€(gè)子?xùn)艑?duì)應(yīng)的波長(zhǎng)漂移量ΔλLPG1_m和ΔλLPG2_n，然后帶入公式(11)，則可計(jì)算得到溫度與應(yīng)變的變化量ΔT和Δε。

圖4為基于疊加級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)的溫度與應(yīng)變傳感系統(tǒng)。該系統(tǒng)主要分為三大部分：寬帶光源(ASE)、SLPFG光柵、光譜儀(OSA)。其中寬帶光源(ASE)發(fā)出的光，在經(jīng)過(guò)SLPFG光柵時(shí)因受環(huán)境溫度與應(yīng)變的作用，會(huì)導(dǎo)致SLPFG的透射譜中的諧振峰發(fā)生偏移，且不同周期不同階次的模式對(duì)應(yīng)的諧振峰受環(huán)境因素的影響各不相同，導(dǎo)致波峰的偏移量也各不相同，經(jīng)過(guò)光譜儀接收后，利用設(shè)計(jì)的增敏解調(diào)矩陣，就可以把環(huán)境溫度與應(yīng)變分別獨(dú)立求出。

圖4 基于SLPFG的傳感系統(tǒng)

3 雙參數(shù)傳感的仿真與分析

為了使SLPFG雙參數(shù)傳感系統(tǒng)工作于最佳波段，需要先分析單個(gè)LPFG的透射譜與溫度與應(yīng)變靈敏之間的關(guān)系。進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)設(shè)光柵參數(shù)為：α1=4.15 μm,α2=62.5 μm,n1=1.468 1,n2=1.462 8，周期Λ=400 μm,光柵長(zhǎng)度為L(zhǎng)=3 cm，p11=0.113,p12=0.252,α=5.5×10-1/℃,ξco=6.45×10-6/℃,pco=0.22，t0=20℃。由文獻(xiàn)[22]可知溫度敏感系數(shù)KT的大小與正負(fù)主要由ξco和ξcl的相對(duì)大小決定，且兩者相差越大KT越大，這里設(shè)ξcl=6.34×10-6/℃。應(yīng)變敏感系數(shù)Kε的大小與正負(fù)主要由pco和pcl的相對(duì)大小決定[23]，且兩者相差越大Kε越大，這里設(shè)pcl=0.24。

3.1 模序?qū)囟扰c應(yīng)變靈敏度的影響

采用上述參數(shù)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了1 510 nm波長(zhǎng)處不同階包層模對(duì)應(yīng)的溫度系數(shù)KT與應(yīng)變系數(shù)Kε的函數(shù)關(guān)系圖。

圖5為當(dāng)ξcl<ξco時(shí)溫度系數(shù)KT與模序的關(guān)系。由圖可知1～17階包層模所對(duì)應(yīng)的溫度系數(shù)KT為正，且隨著階次越高，溫度系數(shù)KT也越來(lái)越大；而19階及之后的包層模對(duì)應(yīng)的溫度系數(shù)KT為負(fù)，且隨著階次的增加KT的絕對(duì)值也快速減小?？梢?jiàn)在測(cè)量溫度時(shí)想獲得足夠高的靈敏度，則所選的模序越接近17階越好，考慮到溫度系數(shù)KT的正負(fù)應(yīng)盡量保持一致性，本文只采用透射譜中17階之前的模式的諧振峰作為測(cè)量標(biāo)的。

圖5 溫度系數(shù)KT與模序關(guān)系

圖6為當(dāng)pcl>pco時(shí)應(yīng)變系數(shù)Kε與模序的關(guān)系。由圖可知19階包層模之前的Kε為正，且其值隨著階次的升高，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變系數(shù)Kε也越來(lái)越大；而21階及之后的包層模對(duì)應(yīng)的應(yīng)變系數(shù)Kε為負(fù)，且Kε的絕對(duì)值隨著模序的增加而減小。由圖6可知，在測(cè)量應(yīng)變時(shí)，如果想獲得足夠高的靈敏度，則所選的模序越接近19階越好，考慮到應(yīng)變系數(shù)Kε的正負(fù)應(yīng)盡量保持一致性，本文只采用透射譜中19階之前諧振峰作為測(cè)量標(biāo)的。

圖6 應(yīng)變系數(shù)Kε與模序關(guān)系

綜合以上分析，在給定的光柵參數(shù)前提下，階次較高的模式的諧振峰對(duì)環(huán)境的敏感度也更高，且在高階次下的兩個(gè)相鄰模式之間的環(huán)境敏感度系數(shù)的差值也更大，這有利于增加傳感的靈敏度并降低交叉敏感。由此，為了增加SLPFG的傳感性能，結(jié)合圖5和圖6，本文在仿真SLPFG傳感系統(tǒng)時(shí)，優(yōu)先選擇17階之前且模序較高的諧振峰作為測(cè)量指標(biāo)。

3.2 光柵周期對(duì)溫度與應(yīng)變靈敏度的影響

再來(lái)分析不同周期對(duì)靈敏度系數(shù)的影響。保持其他參數(shù)不變的前提下，分析單個(gè)LPFG的光柵周期取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的諧振峰的漂移量與溫度的關(guān)系(圖7)，以及諧振峰的漂移量與應(yīng)變的關(guān)系(圖8)。

圖7 溫度系數(shù)KT與光柵周期關(guān)系

圖8 應(yīng)變系數(shù)Kε與光柵周期關(guān)系

圖7為溫度系數(shù)KT與光柵周期之間的關(guān)系圖，圖中的四條函數(shù)曲線從下到上分別是光柵周期取350 μm、400 μm、450 μm、500 μm時(shí)9階包層模的諧振峰波長(zhǎng)漂移量與溫度之間的關(guān)系。

相應(yīng)的，圖8為應(yīng)變系數(shù)KT與光柵周期之間的關(guān)系圖，圖中的四條函數(shù)曲線從下到上分別是光柵周期取350 μm、400 μm、450 μm、500 μm時(shí)9階包層模的諧振峰波長(zhǎng)漂移量與應(yīng)變之間的關(guān)系。

由圖7和圖8可以看出，單個(gè)長(zhǎng)周期光纖光柵(LPFG)作為傳感器時(shí),光柵周期越大則對(duì)應(yīng)的溫度與應(yīng)變靈敏度也越高，另一方面對(duì)兩個(gè)光柵周期不同的LPFG，彼此之間的周期差值越大，則兩者之間相應(yīng)的靈敏度系數(shù)之間的差異也越大。顯然，在使用SLPFG制作溫度與應(yīng)變傳感系統(tǒng)時(shí)，疊加的兩個(gè)子?xùn)诺闹芷谝矐?yīng)盡量的大，且兩個(gè)子?xùn)诺闹芷谝惨幸欢ú罹?，這樣不但可以有效提升系統(tǒng)整體的靈敏度，也可以通過(guò)不同子?xùn)胖g靈敏度的差異來(lái)減小交叉敏感現(xiàn)象。

3.3 基于疊加級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵雙參量傳感的性能分析

在采用疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)進(jìn)行溫度與應(yīng)變的雙參數(shù)同時(shí)測(cè)量時(shí)，不但要提高靈敏度，還要盡可能的減少系統(tǒng)誤差，增強(qiáng)傳感系統(tǒng)測(cè)量時(shí)的抗擾性，為此公式(10)、(11)中的傳感解調(diào)矩陣的行列式的絕對(duì)值在不為零的前提下應(yīng)該越大越好，原因如下：

把式(11)記為b=K-1Δλ，由于在測(cè)量波長(zhǎng)偏移量Δλ時(shí)會(huì)引入測(cè)量誤差，這里記為δλ，則有：b+δb=K-1(Δλ+δλ)。

(12)

設(shè)SLPFG中的子?xùn)臠PFG1的周期為Λ1=390 μm,選其7階諧振峰作為觀測(cè)量，設(shè)子?xùn)臠PFG2的周期Λ2=410 μm，選其9階諧振峰作為觀測(cè)量，其他參數(shù)保持不變，計(jì)算得到：KT_LPG1_7=0.052 nm/℃,KT_LPG2_9=0.062 nm/℃，K=0.0000 33 nm/μ，K=0.0000 55 nm/μ。考慮到矩陣中元素之間大小差異過(guò)大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致矩陣的條件數(shù)增大，矩陣趨向于病態(tài)[24]，會(huì)放大測(cè)量誤差帶來(lái)的精度損失，于是把應(yīng)力敏感系數(shù)調(diào)整單位后改為K=0.033 nm/100 μ,K=0.055 nm/100 μ，并帶入式(11)，得到：

(13)

于是通過(guò)測(cè)量疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵中LPFG1的7階諧振波長(zhǎng)的變化量ΔλLPG1_7以及LPFG2的9階諧振波長(zhǎng)的變化量ΔλLPG1_9，代入式(13)即可得到待測(cè)的溫度變化量ΔT與應(yīng)變變化量Δε。

圖9為根據(jù)本文的模型，仿真模擬的溫度與應(yīng)變同時(shí)作用于疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)時(shí)，其透射譜的變化圖。

圖9 溫度與應(yīng)變同時(shí)改變時(shí)SLPFG諧振峰的變化

圖9中的實(shí)線為環(huán)境參量ΔT=0,Δ=0 με，時(shí)的SLPFG的透射譜，從左到右分別是子?xùn)臠PFG1的7階諧振峰、子?xùn)臠PFG2的7階諧振峰、子?xùn)臠PFG1的9階諧振峰、子?xùn)臠PFG2的9階諧振峰；圖中的虛線則為ΔT=60，Δ=3000 με時(shí)上述各子?xùn)诺?階和9階的諧振峰。很明顯，溫度和應(yīng)變的增加導(dǎo)致SLPFG的兩個(gè)子?xùn)诺母麟A次諧振峰整體向著長(zhǎng)波長(zhǎng)方向漂移，且階次越高的諧振峰的波長(zhǎng)漂移量也越大，另一方面階次相同但周期不同的子?xùn)诺牟ㄩL(zhǎng)漂移量也不同，周期大的波長(zhǎng)漂移量也更大。

再來(lái)分析基于疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)的傳感系統(tǒng)相對(duì)于單長(zhǎng)周期光纖光柵(LPFG)傳感系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。如果傳感系統(tǒng)采用單個(gè)LPFG，測(cè)量標(biāo)的仍選用LP07和LP09兩個(gè)模式，通過(guò)仿真計(jì)算，得到傳感解調(diào)矩陣表達(dá)式為：

(14)

分別計(jì)算式(13)(14)中矩陣的條件數(shù)cond(K)∞，發(fā)現(xiàn)式(13)的cond(K)∞=16.1,而式(14)的cond(K)∞=21.5，根據(jù)矩陣的攝動(dòng)分析理論可知式(13)中的傳感解調(diào)矩陣對(duì)抗測(cè)量誤差擾動(dòng)的能力更強(qiáng)，即采用相同階諧振峰作為標(biāo)的時(shí)，基于SLPFG的傳感器相對(duì)基于單LPFG系統(tǒng)的敏感度更高、測(cè)量精度更好、抗擾性更強(qiáng)。

根據(jù)以上分析，在設(shè)計(jì)基于SLPFG的傳感系統(tǒng)時(shí)，如果選用子?xùn)胖芷诓町惛?，模序差異更大的兩個(gè)諧振峰作為測(cè)量指標(biāo)，則可以得到敏感度更高、抗擾性更強(qiáng)的傳感矩陣。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于重疊級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光柵光柵(CLPFG)的溫度與應(yīng)變雙參數(shù)傳感方案，通過(guò)在同一段光纖同時(shí)刻寫(xiě)兩個(gè)周期各不相同的子?xùn)诺玫蒋B加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)，利用周期不同的子LPFG具有不同的溫度、應(yīng)變傳感特性實(shí)現(xiàn)了雙參數(shù)同時(shí)測(cè)量。疊加型級(jí)聯(lián)長(zhǎng)周期光纖光柵(SLPFG)的透射譜相對(duì)于級(jí)聯(lián)型長(zhǎng)周期光柵(CLPFG)更加穩(wěn)定易控，其諧振波長(zhǎng)更適合作為測(cè)量標(biāo)的。通過(guò)分析LPFG的溫度與應(yīng)力敏感度系數(shù)與模序以及周期的關(guān)系，得到了傳感器增敏的方法，并給出基于SLPFG雙參數(shù)傳感系統(tǒng)的傳感解調(diào)矩陣，并分析了影響解調(diào)矩陣的傳感精度的因素。通過(guò)矩陣攝動(dòng)理論分析證明了基于SLPFG的雙參數(shù)傳感系統(tǒng)的性能要優(yōu)于單LPFG和級(jí)聯(lián)型LPFG，加上本方案結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、光柵刻寫(xiě)容易，使得該方案具有較高的應(yīng)用價(jià)值。