動(dòng)態(tài)演化SEIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型和控制

王俊嶺，羅智榮，郭翠芳，劉 娟

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒，是指一種能夠通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行傳播的惡意程序。隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)病毒也隨之不斷進(jìn)化，種類更加復(fù)雜、隱蔽性更強(qiáng)、傳播更迅速、制造病毒的手段更加多元化[1]。隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的來(lái)臨，網(wǎng)絡(luò)給人們?nèi)粘９ぷ?、學(xué)習(xí)和生活帶來(lái)極大便利的同時(shí)，也給病毒在互聯(lián)網(wǎng)中的傳播埋下隱患。病毒的不斷發(fā)展不僅給社會(huì)造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失，甚至于會(huì)危及到人類的生命安全。比如目前新興的自動(dòng)駕駛汽車，遠(yuǎn)程操控手術(shù)技術(shù)等，一旦被網(wǎng)絡(luò)病毒感染，后果不堪設(shè)想。因此研究網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律，掌握控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播手段具有重大意義。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播研究的模型分為微觀模型和宏觀模型，微觀模型指的是研究網(wǎng)絡(luò)病毒的代碼本身從而建立反病毒軟件；而宏觀模型，則是借鑒生物傳染病的倉(cāng)室[2]，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)特征建立網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的倉(cāng)室模型，以此來(lái)研究各種倉(cāng)室中病毒在不同傳播條件下的傳播規(guī)律，從而找到控制病毒傳播的方法。本文研究網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的手段，借鑒生物傳染病倉(cāng)室模型，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)病毒傳播特征，提出了病毒在不同傳播條件下的SEIRS模型，從宏觀角度研究網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播和控制。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播規(guī)律進(jìn)行了深入研究，Cohen等[2]提出可以運(yùn)用傳染病動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的倉(cāng)室建模技術(shù)來(lái)了解網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律；Kephart[5]借鑒一類經(jīng)典的傳染病SIS倉(cāng)室模型，成功建立了最早的計(jì)算機(jī)病毒傳播倉(cāng)室模型；Ren等[2]建立了一個(gè)具有飽和傳染率的 SIR 模型；馮麗萍等建立了一個(gè)改進(jìn)的SIR模型[7]；HAN等人引入時(shí)滯來(lái)反映病毒傳播的潛伏期，建立了SIRS 模型[7]；Wang 等建立了SIQR病毒時(shí)滯擴(kuò)散模型[9]；劉啟明等建立了一類具有分布時(shí)滯的SIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型[10]；王剛等建立的潛伏機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播SEIQRS模型[10]。然而，現(xiàn)有研究模型都存在不足之處?，F(xiàn)實(shí)中，由于全球時(shí)間地域和用戶習(xí)慣的不同，任何時(shí)刻都可能有新的節(jié)點(diǎn)接入和舊的節(jié)點(diǎn)下線，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量時(shí)刻處于動(dòng)態(tài)變化之中；易感節(jié)點(diǎn)在受到網(wǎng)絡(luò)病毒的攻擊后，由于網(wǎng)絡(luò)病毒應(yīng)用背景和目的不同，潛伏的時(shí)間長(zhǎng)短也不同，時(shí)延長(zhǎng)短很難確定，因此以上模型存在較大限制因素。本文充分考慮現(xiàn)實(shí)中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)變化情況，基于網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏性特點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移參數(shù)改變對(duì)病毒傳播和系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，建立了與此相對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)演化SEIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型。

2 網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型

參照SEIR模型[11]進(jìn)行改進(jìn)得圖1 DynSEIRS模型，為了方便后續(xù)的模型分析，本文重新定義一些符號(hào)如下：

S(t)：在t時(shí)刻未感染病毒且沒(méi)有免疫力的節(jié)點(diǎn)，稱為易感節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)寫為S(S≥0)

E(t)：在t時(shí)刻感染病毒但病毒處于潛伏期的節(jié)點(diǎn)，稱為潛伏節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)寫為E(E≥0)。

I(t)：在t時(shí)刻感染了病毒且病毒發(fā)作的節(jié)點(diǎn)，稱為感染節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)寫為I(I≥0)。

R(t)：在t時(shí)刻對(duì)病毒有免疫力的節(jié)點(diǎn)，稱為免疫節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)寫為R(R≥0)。

最初，網(wǎng)絡(luò)中的所有結(jié)點(diǎn)都是正常運(yùn)行的，且只存在易感節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)，一旦受到網(wǎng)絡(luò)病毒的襲擊，各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)將會(huì)遵循以下規(guī)則的轉(zhuǎn)換：(A1)由于全球時(shí)間地域和用戶習(xí)慣的不同，不同的節(jié)點(diǎn)聯(lián)入網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間也是不同的，因此不斷有新節(jié)點(diǎn)以δ>0的恒定速率聯(lián)入，且聯(lián)入的新節(jié)點(diǎn)都是易感的。同理，有不斷的節(jié)點(diǎn)以恒定速率δ>0斷開(kāi)下線。

(A2)對(duì)于易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)S，由于病毒的入侵，每個(gè)易感節(jié)點(diǎn)因與感染節(jié)點(diǎn)通信而轉(zhuǎn)換成潛伏節(jié)點(diǎn)，設(shè)每次信息發(fā)送接收，傳染病毒的概率為β0，單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)與其它節(jié)點(diǎn)進(jìn)行信息共享的次數(shù)U，則平均有效傳染率為β0U，根據(jù)以上定義，t時(shí)刻所有已感染病毒的節(jié)點(diǎn)感染的新節(jié)點(diǎn)數(shù)為β0USI/N，其中N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)。根據(jù) Guan等[12]研究得知，接觸次數(shù)U與節(jié)點(diǎn)度k成正比，即U=β1k，記β=β1β2為潛伏節(jié)點(diǎn)的感染系數(shù)，從而單位時(shí)間內(nèi)被病毒感染的新節(jié)點(diǎn)數(shù)為βkSI/N。

(A3)對(duì)于易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)S，每個(gè)易感節(jié)點(diǎn)因安裝最新版本的殺毒軟件而轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為ω，ω>0。

(A4)對(duì)于潛伏節(jié)點(diǎn)E，每個(gè)潛伏的病毒被激活，而轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為γ，γ>0，因系統(tǒng)重裝而轉(zhuǎn)化為易感節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為θ，θ>0，又因用殺毒軟件及時(shí)查殺病毒而轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為ε，ε>0。

(A5)對(duì)于感染節(jié)點(diǎn)I，每個(gè)感染節(jié)點(diǎn)在病毒攻擊網(wǎng)絡(luò)時(shí)被用戶查殺而轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為μ，μ>0。

(A6)對(duì)于免疫節(jié)點(diǎn)R，每個(gè)免疫節(jié)點(diǎn)因殺毒軟件過(guò)期或因重裝系統(tǒng)而轉(zhuǎn)化為易感節(jié)點(diǎn)的單位時(shí)間概率為α，α>0。

圖1 DynSEIRS模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理及假設(shè)模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，可得DynSEIRS模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

(1)

3 穩(wěn)定性分析

由于R=N-S-E-I，式( 1) 可進(jìn)一步簡(jiǎn)化成如下平面系統(tǒng)

(2)

其初始條件為：S(0)≥0，E(0)≥0，I(0)≥0，正向不變集為

Ω={(S，E，I)|S≥0，E≥0，I≥0，S+E+I≤N}

本小節(jié)通過(guò)求方程組( 2) 的平衡點(diǎn)并且研究系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性來(lái)分析模型反映的病毒傳播機(jī)理。令

(3)

借鑒文獻(xiàn)[13]基本再生數(shù)的概念。根據(jù)式(2)中參數(shù)的物理意義，可得

(4)

S*=(δ+γ+ε+θ)(μ+δ)N/βγk

(5)

E*=(μ+δ)I*/γ

(6)

(7)

根據(jù)式(2)式可得任意平衡點(diǎn)P* 的 Jacobi 矩陣

J(P*)>

(8)

定理1：當(dāng)R0≤1時(shí)，式(2)在D內(nèi)僅有唯一的無(wú)毒平衡點(diǎn)P0局部漸近穩(wěn)定。

證明：由式(8)可得平衡點(diǎn)P0處Jacobi 矩陣

J(P0)>

(9)

矩陣J(P0) 的特征多項(xiàng)式為

(λ+δ+ω+α)(λ+θ+δ+ε+γ)(λ+μ+δ)=0

(10)

其對(duì)應(yīng)特征根λ1=-μ-δ，λ2=-ω-δ-α，λ3=-θ-δ-ε-γ顯然，當(dāng)R0≤1時(shí)，λ1，λ2和λ3根的實(shí)部均為負(fù)，無(wú)毒平衡點(diǎn)P0局部漸近穩(wěn)定。

定理1表明，當(dāng)R0≤1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中最終只存在易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)都隨時(shí)間趨于0，網(wǎng)絡(luò)病毒全部被消滅。

證明：由式(8)可得平衡點(diǎn)P1處Jacobi 矩陣

(11)

其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為：λ3+b1λ2+b2λ+b3=0。其中：

當(dāng)R0>1時(shí)，b1>0，b2>0，b3>0。根據(jù)Hurwitz定理，計(jì)算可得

由Hurwitz判據(jù)可得特征方程的根的實(shí)部均為負(fù)，即J(P1)的特征值實(shí)部全部為負(fù)。因此可得結(jié)論： 當(dāng)R0>1 時(shí)，平衡點(diǎn)P1=(S*，E*，I*)是局部漸近穩(wěn)定。

定理2表明，當(dāng)R0>1 時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中潛伏節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)將以一定的比值持續(xù)穩(wěn)定存在，網(wǎng)絡(luò)病毒最終不能完全被消滅。根據(jù)定理1和定理2可知，可以調(diào)節(jié)參數(shù)使R0≤1，來(lái)控制和消除網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播。

4 數(shù)值模擬與分析

為了觀察微分方程(2)刻畫的網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播過(guò)程，研究各參數(shù)變量動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，本小節(jié)圍繞系統(tǒng)基本再生數(shù)R0=βkγ(α+δ)/(δ+θ+γ+ε)(δ+μ)(ω+δ+α)，重點(diǎn)分析S-E狀態(tài)傳染率β、S-R狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率ω和R-S狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率α三個(gè)參數(shù)及新舊節(jié)點(diǎn)的上下線率δ對(duì)病毒傳播的影響，進(jìn)而驗(yàn)證模型的有效性及系統(tǒng)隨時(shí)間的演進(jìn)關(guān)系。仿真的目的主要是：①驗(yàn)證定理1，2理論分析的正確性；②在系統(tǒng)其它參數(shù)不變的情況下，改變狀態(tài)轉(zhuǎn)換參數(shù)來(lái)觀察模型的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過(guò)程；③分析狀態(tài)轉(zhuǎn)換參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播影響，得出有利于控制網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的結(jié)論。

圖2 SEI相圖

圖3 SIR相圖

分別設(shè)置系統(tǒng)變量的初值和相關(guān)參數(shù)，設(shè)置網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=1，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平均度k=30，最初，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)都是正常運(yùn)行的，且只存在易感節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)，開(kāi)始S和I為隨機(jī)數(shù)量，其它參數(shù)的基本設(shè)置為：δ=0.0001，μ=0.08，θ=0.06，β=0.02，γ=0.2，ω=0.3，ε=0.06，α=0.02。計(jì)算得R0=0.293。由MATLAB仿真得到圖2和圖3。

由圖2和圖3相圖可知，在R0=0.293<1情況下，無(wú)論易感節(jié)點(diǎn)S和感染節(jié)點(diǎn)I的初始值怎樣分布，結(jié)果潛伏節(jié)點(diǎn)E和易感節(jié)點(diǎn)I都隨著時(shí)間逐漸趨于0，病毒最終被完全消滅。而易感節(jié)點(diǎn)S和免疫節(jié)點(diǎn)R最終隨時(shí)間趨于穩(wěn)定，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0處。這表明易感節(jié)點(diǎn)S和感染節(jié)點(diǎn)I的初始值，不會(huì)影響無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0的位置。

4.1 S-R狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率ω對(duì)病毒的傳播影響

為了研究參數(shù)ω對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播影響，本文運(yùn)用控制變量的方法，保持其它參數(shù)值不變，調(diào)整ω的值并分析其對(duì)病毒傳播的影響。根據(jù)基本再生數(shù)R0，計(jì)算得S-R狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率ω的閾值為ωlim=0.074。當(dāng)ω>ωlim時(shí)R0<1，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0；當(dāng)ω<ωlim時(shí)R0>1，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在有毒平衡點(diǎn)P1處。當(dāng)ω=0.2時(shí)，R0=0.427<1，仿真結(jié)果如圖7所示，從圖4中可明顯看出，感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間趨于0，病毒最終被完全消滅。當(dāng)ω=0.04時(shí)，R0=1.565>1。仿真結(jié)果如圖5所示，從圖5中可明顯看出，感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間趨于穩(wěn)定，但網(wǎng)絡(luò)病毒最終無(wú)法完全被消滅。

圖4 ω=0.2時(shí)DynSEIRS隨時(shí)間的數(shù)量變化

圖5 ω=0.04時(shí)DynSEIRS隨時(shí)間的數(shù)量變化

圖6 在不同ω值下感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間變化

圖6是ω在不同值下，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間的變化曲線仿真圖，其中，ω在區(qū)間[0.01，0.16]中取值，步長(zhǎng)為0.5。當(dāng)ω=0.01，0.06<ωlim時(shí)，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在有毒平衡點(diǎn)P1處，感染節(jié)點(diǎn)無(wú)法完全被消滅；當(dāng)ω=0.11，0.16>ωlim時(shí)，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在無(wú)病毒P0處。病毒全部被消滅，仿真結(jié)果與理論分析一致。隨著ω值不斷增大，感染節(jié)點(diǎn)逐漸減少，這表明安裝和更新最新的殺毒軟件能有效的控制病毒的傳播。當(dāng)ω超過(guò)閾值ωlim即R0≤1時(shí)，病毒可以完全被消滅。所以，可以通過(guò)適當(dāng)調(diào)控ω來(lái)有效控制和消除病毒的傳播。

4.2 R-S狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率α對(duì)病毒的傳播影響

為研究參數(shù)α對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播影響，根據(jù)基本再生數(shù)R0，計(jì)算得R-S狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率α的閾值為αlim=0.0814。當(dāng)α<αlim時(shí)R0<1，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在無(wú)毒平衡點(diǎn)P0處；當(dāng)α>αlim時(shí)R0>1，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在有毒平衡點(diǎn)P1處。當(dāng)α=0.04時(shí)，R0=0.552<1，仿真結(jié)果如圖7所示，從圖7中可明顯看出，感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間趨于0，網(wǎng)絡(luò)病毒最終被完全消滅。當(dāng)α=0.2時(shí)，R0=1.873>1。仿真結(jié)果如圖8所示，從圖8中可明顯看出，感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間趨于穩(wěn)定，但是網(wǎng)絡(luò)病毒最終無(wú)法被完全消滅。

圖7 α=0.04時(shí)DynSEIRS隨時(shí)間的數(shù)量變化

圖8 α=0.2時(shí)DynSEIRS隨時(shí)間的數(shù)量變化

圖9 在不同α值下感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間的變化

圖9表示的是，在α的不同值下，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間的變化曲線。其中，α在區(qū)間[0.01，0.13]中取值，步長(zhǎng)為0.4，當(dāng)α=0.01，0.05<αlim時(shí)，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在無(wú)毒平衡點(diǎn)P0處；當(dāng)α=0.09，0.13>αlim時(shí)，系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定在有毒平衡點(diǎn)P1處，感染節(jié)點(diǎn)無(wú)法被完全消滅，仿真結(jié)果與理論分析一致。隨著α值不斷增大，感染節(jié)點(diǎn)逐漸變大，這證明節(jié)點(diǎn)在無(wú)殺毒軟件或殺毒軟件失效時(shí)，易感節(jié)點(diǎn)更容易被病毒傳染。當(dāng)α小于閾值αlim即R0≤1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)病毒可以完全被消滅。所以，可以通過(guò)適當(dāng)調(diào)控α來(lái)有效控制病毒的傳播。

4.3 新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ對(duì)病毒的傳播影響

在全球中，由于時(shí)間地域的跨度不同，隨時(shí)都有新節(jié)點(diǎn)的加入和舊節(jié)點(diǎn)的下線，整個(gè)系統(tǒng)都是動(dòng)態(tài)演變的。為分析新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的影響，通過(guò)調(diào)整新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ的大小，分別仿真當(dāng)δ=0.01，0.1，0.2，0.3，0.5時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，仿真結(jié)果如圖10所示。通過(guò)對(duì)比這五條曲線，可以明顯的看出，隨著δ的增大，感染節(jié)點(diǎn)趨于零的時(shí)間越來(lái)短。這表明：用戶集中上下線有助于控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播。所以，有效抑制病毒的傳播可以通過(guò)合理的調(diào)控δ。

圖10 在不同δ值下感染節(jié)點(diǎn)數(shù)隨時(shí)間的變化

研究結(jié)果表明，S-R狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率ω和R-S狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率α影響著病毒在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中是長(zhǎng)久存在還是趨于滅絕，新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ影響著網(wǎng)絡(luò)病毒的治愈時(shí)長(zhǎng)。通過(guò)增大轉(zhuǎn)移概率ω和減小轉(zhuǎn)移概率α，增大新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ可有效迅速的控制和消除網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播。

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了動(dòng)態(tài)演化SEIRS網(wǎng)絡(luò)病毒模型DynSEIRS，該模型充分考慮了網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化及在計(jì)算機(jī)病毒的潛伏性特點(diǎn)下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移參數(shù)對(duì)病毒傳播的影響，彌補(bǔ)了現(xiàn)有模型因忽略網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)上下線動(dòng)態(tài)演化所帶來(lái)的不足，使模型能更客觀地反映現(xiàn)實(shí)中計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播情況。系統(tǒng)的分析了模型的動(dòng)力學(xué)行為，研究表明，S-R狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率ω，R-S狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率α和新舊節(jié)點(diǎn)的上下線率δ對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播有著很大影響，當(dāng)α小于而ω大于各自對(duì)應(yīng)的閾值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定在無(wú)毒平衡點(diǎn)上，網(wǎng)絡(luò)病毒最終完全被消滅，一旦α超過(guò)而ω小于各自對(duì)應(yīng)的閾值時(shí)，系統(tǒng)將穩(wěn)定在有毒平衡點(diǎn)，病毒最終不能被完全消滅；網(wǎng)絡(luò)病毒被治愈的時(shí)間也隨著δ的增大而變得越來(lái)越小。因此，在網(wǎng)絡(luò)安全防御行動(dòng)中，為了有效控制并消除病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，最有效且可行的辦法就是通過(guò)增大轉(zhuǎn)移概率 ω、減小轉(zhuǎn)移概率α 和增大新舊節(jié)點(diǎn)上下線率δ。