Lv混沌系統(tǒng)的反饋控制仿真研究

王偉豪，劉樹勇，諶 龍

(海軍工程大學動力工程學院，湖北武漢 430033)

1 引言

混沌現(xiàn)象是一種看似無規(guī)則但是具有內(nèi)在隨機性的復雜現(xiàn)象，廣泛存在于氣象，物理，經(jīng)濟，通信等各個領域[1]。目前，國內(nèi)外學者對混沌系統(tǒng)的控制提出了許多不同的方法，大致可分為反饋控制法和非反饋控制法[2]。1990年，Lima等[3]提出了基于參數(shù)共振微擾的非反饋控制方法，其應用于Duffing系統(tǒng)中達到混沌抑制。此后學者們對混沌系統(tǒng)的控制與應用進行了廣泛的研究，并取得了一系列的研究成果[4-11]。由于混沌系統(tǒng)的反饋控制具有較為完善的理論分析，衍生出了一系列反饋控制的方法，如追蹤控制[4，5]、自適應控制[6，7]、分岔控制[8，9]、微分控制[10，11]等。這些控制策略控制可以使系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡點或周期軌道，但在某些應用場合也存在一些不足。首先，反饋控制的實現(xiàn)前提必須對系統(tǒng)的狀態(tài)變量進行物理測量，這在實際工程中較難實現(xiàn)。其次，混沌系統(tǒng)對初始條件極為敏感，測量過程中會不可避免的受到外界噪聲的干擾，從而影響系統(tǒng)的精確控制。

利用非共振參數(shù)策動實現(xiàn)混沌控制[12]是近幾年提出的一種針對自治混沌系統(tǒng)的非反饋混沌控制方法，該方法不僅避免了對混沌狀態(tài)變量的測量，而且可以通過嚴格的理論分析求解控制參數(shù)，有利于推廣應用。諶龍等[13]利用自治混沌系統(tǒng)的參數(shù)非共振激勵混沌抑制原理實現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)由混沌狀態(tài)到大周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，該控制方法可用于檢測相同頻率的方波信號。王夢蛟等[14]利用非共振參數(shù)策動在一定信噪比范圍內(nèi)實現(xiàn)對Chen系統(tǒng)的非反饋混沌控制。Lv系統(tǒng)作為連接Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的橋梁的典型自治混沌系統(tǒng)，其豐富的動力學行為得到了廣泛的研究[15，16]，在工程中具有可觀的應用前景。而混沌控制是混沌應用的關鍵，因此如何實現(xiàn)對Lv系統(tǒng)的有效控制具有重要的意義。

本文首先對Lv系統(tǒng)進行線性狀態(tài)反饋反饋控制，分析了Lv系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定性，利用霍爾維茨判據(jù)確定負反饋控制參數(shù)，仿真表明所得參數(shù)可將呂系統(tǒng)控制到指定的平衡態(tài)和振蕩周期軌道上。然后通過施加非共振激勵實現(xiàn)非反饋混沌控制，采用平均法和Lyapunov方法得到控制參數(shù)應滿足的條件，仿真研究表明此方法可將系統(tǒng)狀態(tài)變量達到很好的控制，且具有較強的抗干擾性能。

2 呂系統(tǒng)及穩(wěn)定性分析

2002年，呂金虎等人通過混沌反饋控制得到混沌呂系統(tǒng)，作為連接Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)的橋梁，它很快就引起了人們的關注，吸引子由如下三維系統(tǒng)產(chǎn)生

(1)

(2)

根據(jù)式(2) 可求得各平衡點所對應特征根有正實部，因此這些平衡點都是不穩(wěn)定的，從相圖1可以看出，它有著豐富的動力學行為。

圖1 呂混沌吸引子

3 呂系統(tǒng)的負反饋控制

3.1 控制參數(shù)的確定

在呂系統(tǒng)的第二式中加入負反饋-kx，得到

(3)

(4)

則特征根均具有負實部，平衡點是漸近穩(wěn)定的。如果滿足條件

(5)

則特征值有一負的實根和一對零實部的共軛復根，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，振蕩周期為2π(b2)-1/2。通過(4)、(5)式穩(wěn)定條件，分別針對三個平衡點P1，P2，P3的負反饋控制條件進行求解，理論結果見表1．

表1 負反饋控制理論值

3.2 仿真研究結果

系統(tǒng)初值取為(0.5，0.8，1)，當k=30，特征根λ=-3.5±7.5993i和-3，均為負實部，零解漸進穩(wěn)定，系統(tǒng)(3)最終被吸引到原點P1上，數(shù)值研究結果如圖2所示，由圖2(b)看出系統(tǒng)經(jīng)過短暫時間后趨于原點P1(0，0，0)。

圖2 混沌狀態(tài)的控制k=30

圖3 混沌狀態(tài)的控制k=27

圖4 系統(tǒng)控制到極限環(huán)上k=161/6

4 呂系統(tǒng)的非反饋控制

4.1 控制系統(tǒng)描述

在實際應用中，控制信號的輸入往往會受到環(huán)境噪聲的干擾，從而影響控制效果。為分析呂控制系統(tǒng)的抗干擾能力，當激勵參數(shù)k=21時，將方差為5的高斯白噪聲加入到激勵信號中，得到信噪比為9.8dB的控制輸入μ(t)，其波形如圖所示。在激勵控制信號中加入噪聲的情況下，系統(tǒng)依然能夠迅速得到控制，其中狀態(tài)變量z(t)隨時間的變化如圖8所示，與圖6(b)中無噪聲的激勵控制相比，兩種情形下控制的時間基本相同，區(qū)別在于未加噪聲時的控制效果為97.19%，輸入含噪聲時的控制效果達到96.35%，說明控制系統(tǒng)的抗干擾性能較好。

圖7 噪聲干擾下控制輸入μ(t)的波形

圖8 輸入含噪聲時狀態(tài)變量z的控制效果

5 結論

本文對呂系統(tǒng)的混沌行為進行了研究分析，采用負反饋和非反饋控制的方法有效地控制Lv系統(tǒng)混沌并得出一下結論：

1)負反饋控制不需改變系統(tǒng)的參數(shù)和結構就可以使系統(tǒng)趨于指定的平衡態(tài)或振蕩周期上，數(shù)值仿真與理論分析得到了一致的結果；

2)對Lv混沌方程組的第二項施加頻率遠大于系統(tǒng)特征頻率的周期信號，用平均法對控制系統(tǒng)進行處理得到了慢變系統(tǒng)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理得到控制參數(shù)應滿足的條件，通過選取適當參數(shù)對混沌系統(tǒng)進行控制，控制效果可達97.8%，且具有較強的抗干擾性能，相比于參數(shù)共振微擾方法，此方法可給出嚴格的理論分析，對于微弱信號檢測具有潛在的應用價值。