基于改進(jìn)滑模面的音圈電機(jī)位置控制*

白 姍，劉爽英，梁宇飛，李國(guó)棟，閆 瑾

(1.中北大學(xué)軟件學(xué)院，太原 030051；2.惡劣環(huán)境下機(jī)器人與智能裝備技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030051)

0 引言

音圈電機(jī)擁有動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度快、穩(wěn)態(tài)精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于高精度、高頻率、短距離的重復(fù)性定位高的精密制造行業(yè)中，但音圈電機(jī)在工作過程中存在參數(shù)變化、非線性摩擦、遲滯特性等不確定因素[1]。

滑?？刂谱鳛橐环N典型的非線性控制方法，具有響應(yīng)時(shí)間快、構(gòu)造簡(jiǎn)單、對(duì)系統(tǒng)匹配擾動(dòng)具有不變性等優(yōu)點(diǎn)，但滑模控制的最大問題在于抖振現(xiàn)象，并且容易受到不確定性因素的擾動(dòng)影響。因此，抑制抖振現(xiàn)象是現(xiàn)行的主要研究問題[2]。研究人員從滑模面、趨近律等方面提出改進(jìn)方案，以達(dá)到減小抖振的效果?；Ｃ嬖O(shè)計(jì)的優(yōu)劣性直接影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定精度、穩(wěn)定性及響應(yīng)時(shí)間等各方面性能，是滑模設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容。因此，提出許多改進(jìn)的滑模面以達(dá)到減小抖振的目的。例如終端滑?？刂?TSM)[3-5]、積分滑模控制[6]、全局滑?？刂芠7]、時(shí)變滑?？刂芠8]、互補(bǔ)滑?？刂?CSMC)[9]等。

HOU等[10]提出用于伺服電機(jī)系統(tǒng)的連續(xù)終端滑?？刂扑惴?，是一種基于雙極限齊次性質(zhì)的全階終端滑模面，保證了控制系統(tǒng)的魯棒性。CHEN等[11]提出一種適用于外界擾動(dòng)的伺服系統(tǒng)位置跟蹤問題，提出自適應(yīng)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器及新型終端滑模函數(shù)，仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。CHEGINI 等[12]提出一種基于預(yù)定滑動(dòng)模態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)之間誤差設(shè)計(jì)的量子滑模面，可用于有界不確定性的滑?？刂葡到y(tǒng)中，仿真結(jié)果表明該控制方案在時(shí)間和控制幅度上均顯著降低。WANG等[13]提出一種基于滑模擾動(dòng)觀測(cè)器的遞歸終端滑模控制器，兼具了非奇異終端滑?？刂坪透唠A滑模控制的優(yōu)點(diǎn)，仿真結(jié)果達(dá)到預(yù)期控制性能。XU等[14]針對(duì)板球控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種變指數(shù)冪趨近律和互補(bǔ)終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合的控制方案，提高了收斂速度。

在上述的研究基礎(chǔ)上，為提高滑?？刂七^程中的控制效果以及減小滑模抖振現(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)了基于趨近律的遞歸型互補(bǔ)滑?？刂?，在保證減小抖振的基礎(chǔ)上通過使用趨近律以提高趨近階段中到達(dá)滑模面的速度，保證了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

1 音圈電機(jī)數(shù)學(xué)模型

音圈電機(jī)數(shù)學(xué)模型根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)的不同可以分為質(zhì)量-阻尼-彈簧(MKF型)和質(zhì)量-阻尼型(MK型)。由于MKF型音圈電機(jī)需要克服彈簧的形變力，在降低電機(jī)輸出功率的同時(shí)給電機(jī)控制增加了不確定項(xiàng)，而MK型音圈電機(jī)無需考慮以上內(nèi)容，可提高較高的輸出功率。MK型音圈電機(jī)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示[15]。

圖1 音圈電機(jī)結(jié)構(gòu)

在研究中不考慮磁路閉合和遲滯特性等情況，根據(jù)音圈電機(jī)電壓平衡方程和力平衡方程，建立了音圈電機(jī)匹配擾動(dòng)的二階數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，x是動(dòng)子位置；va是控制電壓；Ra是線圈電阻；ia是線圈電流；Kb是反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；La是線圈電感；Ft=Ktia是推力；Kt是驅(qū)動(dòng)力系數(shù)；M=mb+mp為總質(zhì)量；mb是動(dòng)子的質(zhì)量；mp是有效載荷的質(zhì)量；B是黏性阻尼系數(shù)；Ff是擾動(dòng)及摩擦力等。

音圈電機(jī)的電感較小且其工作在高速環(huán)境下，電感La可以被忽略，故可得到音圈電機(jī)的動(dòng)態(tài)方程為：

(2)

式中，f、g為系統(tǒng)參數(shù)；d為系統(tǒng)干擾項(xiàng)；u=va為系統(tǒng)控制輸入。

由于音圈電機(jī)為非線性的，故音圈電機(jī)的實(shí)際動(dòng)力學(xué)模型為：

(3)

式中，Δf、Δg為系統(tǒng)參數(shù)和未建模動(dòng)態(tài)而引入的不確定性；D=Δf+Δgu+d為系統(tǒng)總和擾動(dòng)，且|D|≤ρ，ρ為有界正常數(shù)。

將式(3)改寫為音圈電機(jī)匹配擾動(dòng)的二階數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程形式為：

(4)

式中，x=[x1,x2]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；x1、x2分別表示音圈電機(jī)動(dòng)子位移和速度。

2 遞歸型滑模面設(shè)計(jì)

2.1 相關(guān)工作基礎(chǔ)

文獻(xiàn)[2]的傳統(tǒng)滑模面(SMC)表現(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù)，只適用于精度不高的場(chǎng)合中，其表達(dá)式為：

(5)

文獻(xiàn)[16]提出的基于廣義滑模面和互補(bǔ)滑模面結(jié)合提出的互補(bǔ)滑模控制(CSMC)，通過互補(bǔ)廣義誤差變換從理論角度證明比傳統(tǒng)的滑?？刂频母櫿`差界減小了一半并且提高了到達(dá)階段誤差瞬態(tài)響應(yīng)，其表達(dá)式為：

(6)

式中，λ為控制參數(shù)且為正實(shí)數(shù)。

文獻(xiàn)[14]提出的互補(bǔ)終端滑?？刂?CTSMC)，采用將互補(bǔ)滑模和終端滑模相結(jié)合的控制方案，使系統(tǒng)更快的收斂到平衡點(diǎn)，其表達(dá)式為：

(7)

2.2 遞歸型互補(bǔ)滑?？刂?/h3>

基于以上工作基礎(chǔ)，研究基于分層思想提出的遞歸型互補(bǔ)滑模控制(RCSMC)，表達(dá)式為：

第一層滑模面為：

(8)

式中，τ為積分變量；c1、c2>0分別為兩個(gè)控制增益；α≥1。

第二層滑模面為：

(9)

式中，λ>0是控制增益系數(shù)。

由于滑模面設(shè)計(jì)為雙層結(jié)構(gòu)，可以有效的提高控制系統(tǒng)的魯棒性且有較快的收斂速度，具有一定的優(yōu)越性。

3 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

3.1 遞歸型互補(bǔ)滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

遞歸型滑模面第一層設(shè)計(jì)為積分終端滑?？刂疲诙訛榛パa(bǔ)滑?？刂疲謩e具有積分終端滑?？刂坪突パa(bǔ)滑模控制的優(yōu)點(diǎn)，在抑制抖振的基礎(chǔ)上具有較強(qiáng)的魯棒性。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差：

e1=y-R

(10)

式中，y為系統(tǒng)輸出狀態(tài)；R為期望信號(hào)。

定義系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差：

(11)

第一層滑模面求導(dǎo)可得：

(12)

再次對(duì)式(12)求導(dǎo)可得：

(13)

第二層互補(bǔ)滑模面中的廣義滑模面求導(dǎo)可得：

(14)

對(duì)于增益參數(shù)，互補(bǔ)滑模面中的廣義滑模面s和互補(bǔ)滑模面sc相加可得滑模面總和為：

(15)

為提高滑模變量s的收斂速度，在過程中引入新型快速趨近律，即：

(16)

式中，α=1+ε，a=1-ε；0<ε<1；k1、k2>0。

將式(10)、式(12)、式(13)代入式(14)中可得：

(17)

將式(4)的動(dòng)力學(xué)模型代入式(17)中可得：

(18)

所設(shè)計(jì)的控制律為：

uRCSMC=ueq+uv

(19)

式中，

式中，ueq為等效控制項(xiàng)；uv為切換控制項(xiàng)。

可得到最終的控制律為：

(20)

3.2 穩(wěn)定性證明

針對(duì)音圈電機(jī)匹配擾動(dòng)的二階數(shù)字模型控制系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)：

(21)

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得：

(22)

根據(jù)上式可繼續(xù)推導(dǎo)得：

即：

(23)

式中，當(dāng)s+sc>0時(shí)，當(dāng)s+sc<0時(shí)，uv<0。

因此，該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義上是穩(wěn)定的，可以保證音圈電機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真結(jié)果及分析

基于MATLAB/Simulink建立音圈電機(jī)匹配擾動(dòng)的控制仿真模型，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比分析。

仿真所需電機(jī)模型參數(shù)如表1所示。根據(jù)音圈電機(jī)模型多次調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制參數(shù)，選取最優(yōu)控制效果參數(shù)。傳統(tǒng)滑?？刂茀?shù)如表2所示，互補(bǔ)滑?？刂茀?shù)如表3所示，互補(bǔ)終端滑?？刂茀?shù)如表4所示，遞歸型互補(bǔ)滑?？刂茀?shù)如表5所示。

表1 電機(jī)模型參數(shù)

表2 傳統(tǒng)滑?？刂茀?shù)

表3 互補(bǔ)滑模控制參數(shù)

表4 互補(bǔ)終端滑?？刂茀?shù)

表5 遞歸型互補(bǔ)滑模控制參數(shù)

跟蹤正弦信號(hào) ，初始位置設(shè)為 ，仿真結(jié)果如圖2所示，具體性能如表6所示。

對(duì)正弦信號(hào)進(jìn)行跟蹤，仿真結(jié)果如圖2所示，具體性能如表6所示。從仿真結(jié)果得知此次研究所設(shè)計(jì)的控制策略RCSMC相較于SMC和CSMC擁有更快的響應(yīng)速度，響應(yīng)速度略小于CTSMC，但在0.033即可達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間，是最早達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間的控制策略，并且無超調(diào)量；穩(wěn)態(tài)誤差方面而言，SMC的穩(wěn)態(tài)誤差最大，CSMC的穩(wěn)態(tài)誤差最小但產(chǎn)生了超調(diào)現(xiàn)象，CTSMC產(chǎn)生了抖振現(xiàn)象而無研究?jī)r(jià)值，RCSMC的穩(wěn)態(tài)誤差較小且無抖振和超調(diào)。

(a) 位置跟蹤曲線(b) 位置誤差曲線

表6 跟蹤sin(10t)指令的性能對(duì)比

在控制系統(tǒng)初始信號(hào)和參數(shù)不變的情況下，改變期望信號(hào)為三角波信號(hào)進(jìn)行跟蹤。仿真結(jié)果如圖3所示，具體性能如表7所示。從仿真結(jié)果可知，在三角波的突變狀態(tài)時(shí)，RCSMC最快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)且無超調(diào)和抖振，擁有較好的控制效果；CTSMC是第二個(gè)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)且產(chǎn)生了超調(diào)和抖振；CSMC次之，但擁有較好的穩(wěn)態(tài)精度；而SMC最后到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) 位置跟蹤曲線(b) 位置誤差曲線

表7 跟蹤三角波指令的性能對(duì)比

綜上所述，所提的RCSMC控制策略雖不是全面優(yōu)秀的，但擁有較為均衡的控制效果。在改變期望信號(hào)后依舊可以保持較為優(yōu)良的跟蹤性能，證明所提控制算法的有效性。

5 結(jié)束語

針對(duì)音圈電機(jī)位置控制研究問題，在建立音圈電機(jī)匹配擾動(dòng)的二階模型的基礎(chǔ)上，分別采用傳統(tǒng)滑模控制、互補(bǔ)滑?？刂啤⒒パa(bǔ)終端滑?？刂坪徒K端滑?？刂七@4種控制方案進(jìn)行仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)遞歸互補(bǔ)滑?？刂圃诜€(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)速度方面雖不是絕對(duì)優(yōu)良的，但其沒有超調(diào)和抖振現(xiàn)象；

(2)互補(bǔ)終端滑?？刂频捻憫?yīng)時(shí)間是最快的，但其產(chǎn)生了抖振和超調(diào)；互補(bǔ)滑?？刂频姆€(wěn)態(tài)誤差是最小的，但其響應(yīng)速度過慢，并且會(huì)產(chǎn)生超調(diào)；

(3)遞歸互補(bǔ)滑模的控制性能是均衡的，可以滿足音圈電機(jī)的工作性能。