混料試驗(yàn)的正交格點(diǎn)填充設(shè)計(jì)①

李光輝， 李俊鵬，， 張崇岐

1.凱里學(xué)院 理學(xué)院，貴州 凱里 556011； 2.廣州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州 510006

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一類特殊的設(shè)計(jì)， 它廣泛應(yīng)用于生物、 醫(yī)學(xué)、工業(yè)以及科研實(shí)踐中[1-4]．混料試驗(yàn)的試驗(yàn)域是q-1維正規(guī)單純形

為了使得試驗(yàn)點(diǎn)能均勻分布在試驗(yàn)域內(nèi)， 許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者嘗試了各種不同的方法．文獻(xiàn) [5]介紹了混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念及應(yīng)用．關(guān)于混料均勻設(shè)計(jì)方面的研究可參見文獻(xiàn)[6-9]．

文獻(xiàn)[10-11]研究了混料試驗(yàn)域上構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)的方法； 文獻(xiàn) [12]討論了在具有附加約束的混料試驗(yàn)域內(nèi)構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)的方法； 文獻(xiàn)[13]給出了一種單純形內(nèi)的切片設(shè)計(jì)． 這些方法所研究的設(shè)計(jì)都是在單純形內(nèi)部分布均勻， 且在某種均勻性準(zhǔn)則下能達(dá)到較好的水準(zhǔn)． 由于混料試驗(yàn)通常使用回歸模型來建模， 所以均勻設(shè)計(jì)具有很好的穩(wěn)健性．

有時(shí)需要在混料試驗(yàn)域內(nèi)采用非參數(shù)回歸模型來建模， 除了需要大量的試驗(yàn)點(diǎn)外， 還需要滿足“試驗(yàn)點(diǎn)之間的距離盡可能相等”這一條件． 混料格子點(diǎn)集雖然能均勻分布在混料試驗(yàn)域的內(nèi)部及邊界， 但是當(dāng)混料分量數(shù)超過3以后， 相鄰的格點(diǎn)之間的距離是不相等的， 并且由混料格子點(diǎn)集剖分得到的子單純形也不完全相等． 這使得使用混料格子點(diǎn)集構(gòu)造的設(shè)計(jì)不利于使用非參數(shù)回歸模型來建模． 參考超立方體內(nèi)的建模方法， 正交格子點(diǎn)集不僅排布均勻， 相鄰的格點(diǎn)之間的距離相等， 并且超立方體內(nèi)的完全析因設(shè)計(jì)有諸多優(yōu)良的性質(zhì)．

關(guān)于超立方體上的格點(diǎn)設(shè)計(jì)已有一些研究成果． 文獻(xiàn)[14-15]研究了交錯(cuò)網(wǎng)格的極大極小距離設(shè)計(jì)， 以及旋轉(zhuǎn)球填充設(shè)計(jì)．這些空間填充設(shè)計(jì)都是基于格子點(diǎn)集來研究的， 并且在超立方體上有很多好的性質(zhì)．

鑒于此， 我們考慮將超立方體內(nèi)的正交格子點(diǎn)集變換到混料試驗(yàn)域內(nèi)， 并且保證變換后試驗(yàn)點(diǎn)之間的距離不變． 根據(jù)正交格子點(diǎn)集的性質(zhì)， 研究在混料試驗(yàn)域上正交格點(diǎn)設(shè)計(jì)的性質(zhì)．首先給出一種線性變換， 能將Rq-1的點(diǎn)集變換到Sq-1中， 并且保證點(diǎn)之間的距離不變； 然后介紹在單純形內(nèi)部， 將試驗(yàn)點(diǎn)以旋轉(zhuǎn)或添加的方式， 使得設(shè)計(jì)在混料試驗(yàn)域內(nèi)更為均勻； 最后給出實(shí)例分析， 說明單純形內(nèi)的正交格點(diǎn)設(shè)計(jì)具有很好的均勻性， 并且非參數(shù)建模也具有穩(wěn)健性．

1 基本記號(hào)

對(duì)于q分量混料系統(tǒng)， 若試驗(yàn)還受到其他約束條件的限制， 我們將試驗(yàn)域記作

X={x=(x1，x2，…，xq)T：x∈Sq-1，aj≤φj(x)≤bj，j=1，2，…，k}

其中：φj(x)是關(guān)于x∈Sq-1的已知函數(shù)；aj，bj(j=1，2，…，k)為已知常數(shù)．通常X是Sq-1內(nèi)部的一個(gè)不規(guī)則凸幾何體．

對(duì)于任意的x=(x1，x2，…，xq)T∈Sq-1?X以及一個(gè)n點(diǎn)設(shè)計(jì)

Pn={x1，x2，…，xn}?X

我們給出點(diǎn)到點(diǎn)集的距離定義為

其中d2(x，xi)=‖x-xi‖2為歐氏距離的平方．

文獻(xiàn)[16]提出了3種度量混料試驗(yàn)域設(shè)計(jì)的均勻性指標(biāo)， 即偏差的定義． 為方便討論， 我們主要討論均方誤偏差和最大距離偏差．

1)均方誤偏差

2)最大距離偏差

以上兩種偏差的計(jì)算較為復(fù)雜， 在實(shí)際情形下一般都是采用Monte Carlo方法來計(jì)算近似值． 首先生成試驗(yàn)域內(nèi)的隨機(jī)混料點(diǎn)集， 或使用高階格子點(diǎn)集

令LX=L{q，m}∩X={t1，t2，…，tN}作為度量均勻性的NT-net， 再令

(1)

使用msed(Pn)和md(Pn)分別作為MSED(Pn)和MD(Pn)的近似值．在實(shí)際計(jì)算中， 一般要求N>1 000．

q-1維空間中的正交格子點(diǎn)集可以表示為

(2)

其中：αj1，αj2，…，αj，q-1∈Z；eq-1(i)為q-1維向量， 其第i個(gè)元素為1， 其余元素為0；c是已知的正數(shù)， 它表示正交格點(diǎn)之間的距離． 我們記由(2)式生成的正交格子點(diǎn)集為

對(duì)于任意的y∈H(q-1，c)， 定義y0的voronoi單元為

Vor(y0)={z：‖z-y0‖2≤‖z-y‖2，?y∈H(q-1，c)}

這樣， 我們可以考慮將超立方體內(nèi)的試驗(yàn)點(diǎn)集轉(zhuǎn)化到單純形中， 并且保持格點(diǎn)之間的距離不變．

2 保距獨(dú)立變換

為了實(shí)現(xiàn)將q-1維超立方體內(nèi)的正交格子點(diǎn)集變換到單純形中， 我們構(gòu)造一種線性變換， 將Rq-1中的點(diǎn)變換到Sq-1中， 且點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離保持不變．文獻(xiàn)[17]的單純形保距獨(dú)立變換方法如下：

定義一個(gè)q-1階矩陣

(3)

WTW=Iq-1+Jq-1

對(duì)于W的任意兩列wi，wj，i≠j， 有

這種變換可以將單純形Sq-1中的點(diǎn)映射到Rq-1中．

對(duì)于任意的xi=(xi1，xi2，…，xiq)T∈Sq-1， 記x-1，i=(xi2，xi3，…，xiq)T， 即yi=Wx-1，i，i=1，2， 有‖y1-y2‖=‖x1-x2‖恒成立．

這是因?yàn)橛删仃嘩的性質(zhì)可知

由此可見， 經(jīng)過變換后任意兩點(diǎn)在Rq-1中的距離與Sq-1中是一致的．

3 填充設(shè)計(jì)

我們按照以下方式生成Sq-1中的正交格點(diǎn)．

首先生成Rq-1中的正交格子點(diǎn)集{y1，y2，…，yN}?H{q-1，c}， 在混料試驗(yàn)域中選擇一點(diǎn)x0=(x01，x02，…，x0q)T∈X作為參照點(diǎn)， 令y0=Wx-1，0，其中

x-1，0=(x02，x03，…，x0q)T

其次， 令矩陣

Y=(y1，y2，…，yN)T+1Ny0

(4)

是以y0作為原點(diǎn)而形成的正交格子點(diǎn)集．

最后，進(jìn)行線性變換， 令矩陣

X=(1N-X-11q-1，X-1)=(x1，x2，…，xN)T

(5)

HX=H ′{q-1，c}∩X

(6)

表示最終確定落入試驗(yàn)域內(nèi)的正交格子點(diǎn)集．

(x1，x2，…，x2q)T=((a1，b1)T?12q-1，12?(a2，b2)T?12q-3，…，12q-1?(aq，bq)T)

則有以下定理．

證首先證明對(duì)于任意點(diǎn)x0=(x01，x02，…，x0q)T∈H0， 有

為了使得試驗(yàn)域X內(nèi)的正交格子點(diǎn)集具有良好的均勻性， 即使得設(shè)計(jì)

Pn={x1，x2，…，xn}=H ′{q-1，c}∩X

的均方誤偏差MSED(Pn)與最大距離偏差MD(Pn)盡可能地小， 我們考慮從以下兩個(gè)方面來實(shí)現(xiàn)．

4 旋轉(zhuǎn)變換

在X中實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換， 使得落入X內(nèi)的正交格點(diǎn)盡可能地多． 我們令q-1階方陣為

Rij(θij)=(eq-1(1)，…，eq-1(i-1)，Ei，eq-1(i+1)，…，eq-1(j-1)，Ej，eq-1(j+1)，…，eq-1(q-1))

其中Ei=eq-1(i)cosθij-eq-1(j)sinθij，Ej=eq-1(j)sinθij+eq-1(j)cosθij．在(4)式的基礎(chǔ)上， 再令

其中Θ=(θ12，θ13，…，θ(q-2)(q-1))為旋轉(zhuǎn)參數(shù)向量． 將Y(Θ)經(jīng)過(5)式的逆變換后得

(x1，x2，…，xN)=W-1YT(Θ，c)

(7)

令HX={x1，x2，…，xN}∩X表示最終確定落入試驗(yàn)域內(nèi)的正交格子點(diǎn)集． 通過調(diào)整(7)式中的參數(shù)Θ， 使得HX達(dá)到滿足要求的均勻性．

5 補(bǔ)充設(shè)計(jì)點(diǎn)

首先， 在X內(nèi)使用高階混料格子點(diǎn)集

LX=L{q，m}∩X={t1，t2，…，tN1}

作為在X上度量一個(gè)設(shè)計(jì)所使用的NT-net． 令

這里uij(i=1，2，…，N；j=1，2，…，q)相互獨(dú)立， 且都服從均勻分布uij～U(0，1)．

使用文獻(xiàn)[19]的擬分量變換方法， 選擇適當(dāng)?shù)臄M分量變換參數(shù)λ>0， 令

msed{Pn，xn+1}→inf

Pn+k={x1，x2，…，xn，…，xn+k}

(8)

考慮在試驗(yàn)域X上使用正交格子點(diǎn)集來建模， 按(7)式或(8)式生成X上的正交格子點(diǎn)集記為PN={x1，x2，…，xN}．定義高斯核函數(shù)為

其中h為已知的窗寬參數(shù)， 若試驗(yàn)在各點(diǎn)處的觀測(cè)值為y1，y2，…，yN， 則基于正交格點(diǎn)的非參數(shù)回歸模型為

如果在試驗(yàn)域內(nèi)有足夠多的格點(diǎn)， 選擇適合的窗寬， 能使得非參數(shù)回歸模型具有很好的預(yù)測(cè)效果．

例1在S3-1上構(gòu)造一個(gè)正交格點(diǎn)設(shè)計(jì)， 使得各相鄰點(diǎn)之間的距離為0.2， 通過旋轉(zhuǎn)過后設(shè)計(jì)點(diǎn)的分布以及試驗(yàn)域內(nèi)各個(gè)點(diǎn)到該設(shè)計(jì)的距離等高線圖如圖1所示．

圖1 S3-1內(nèi)旋轉(zhuǎn)后的正交格點(diǎn)設(shè)計(jì)

以模型

為例， 在S3-1上的曲面圖如圖2(a)所示， 使用正交格點(diǎn)建立非參數(shù)回歸模型， 擬合回歸曲面如圖2(b)所示．

圖2 曲面圖

由圖2可見， 使用正交格點(diǎn)設(shè)計(jì)建立的非參數(shù)回歸模型具有很好的穩(wěn)健性， 擬合效果還是不錯(cuò)的．

使用正交格點(diǎn)構(gòu)造的混料試驗(yàn)域內(nèi)的設(shè)計(jì)分布均勻，利于非參數(shù)建模， 使用文獻(xiàn)[20]的方法， 結(jié)合正交格子點(diǎn)集能有效檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的最優(yōu)性， 關(guān)于這方面的性質(zhì)有待進(jìn)一步研究．