正交群的新刻畫①

程敏， 楊國(guó)川， 晏燕雄

1.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715； 2.208水文地質(zhì)工程地質(zhì)隊(duì)，重慶 400700

本文涉及的群均為有限群．clG(x)表示x在G中的共軛類，N(G)表示群G的所有共軛類類長(zhǎng)的集合，li(G)表示群G的第i大共軛類長(zhǎng)，特別地，

l1(G)=max{|xG|：x∈G}

設(shè)n為正整數(shù)，p為素?cái)?shù)，π(n)表示整除n的所有互異素因子集合，特別地，π(G)=π(|G|)．Gp表示群G的某個(gè)Sylowp-子群．給定群G，G的素圖Γ(G)定義為：以π(G)作為圖的頂點(diǎn)，兩頂點(diǎn)x，y∈π(G)有邊相連當(dāng)且僅當(dāng)存在z∈G使得xy||z|，并記為x～y．設(shè)t(G)是Γ(G)的連通分支的個(gè)數(shù)，則

Γ(G)={πi：i=1，2，…，t(G)}

若2∈π(G)，則總假設(shè)2∈π1．其他未說明的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的(見文獻(xiàn)[1])．

有限群的數(shù)量刻畫一直是有限論研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)， 許多群論研究者都進(jìn)行過相關(guān)的研究． 文獻(xiàn)[2]討論了一類共軛類特殊長(zhǎng)度之集對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響． 文獻(xiàn)[3]證明了不存在同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，2}的有限群， 并刻畫了同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3} 的群的結(jié)構(gòu)． 文獻(xiàn)[4]利用準(zhǔn)素?cái)?shù)子群的δ-置換性得到超可解群的若干性質(zhì)．

本文繼續(xù)研究群的數(shù)量性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響， 研究的問題與Thompson教授提出的猜想相關(guān)：

Thompson猜想設(shè)L是非交換單群，如果群G滿足Z(G)=1且N(G)=N(L)， 則G?L．

Thompson猜想指出：有限非交換單群能夠被其共軛類長(zhǎng)的集合唯一刻畫． 陳貴云教授在文獻(xiàn)[5-7]中證明了Thompson猜想對(duì)所有素圖不連通的有限非交換單群成立．文獻(xiàn)[8]減弱了Thompson猜想的條件， 用群的階與某些共軛類長(zhǎng)刻畫了散在單群和單K3-群． 文獻(xiàn)[9]用群的階以及某些特殊共軛類長(zhǎng)刻畫了單K4-群． 文獻(xiàn)[10-12]用群的階以及某些特殊共軛類長(zhǎng)刻畫了Ap，Cn(2)及Sp+1等．

本文繼續(xù)這一研究， 主要結(jié)果如下：

定理1的證明

必要性是顯然的，下面只證充分性．

由文獻(xiàn)[1]知

l5(G)=220·35·52·7·17

因此G存在31階元x， 使得CG(x)=〈x〉． 于是，{31}是群G的一個(gè)素圖分支， 即t(G)≥2．

下面先證明：G既不是Frobenius群又不是2-Frobenius群．

斷言：G不是Frobenius群．

否則，設(shè)G是以H為核，K為補(bǔ)的Frobenius群． 由文獻(xiàn)[13]的引理2.6(1)知t(G)=2．

如果31∈π(H)，則

π(K)={2，3，5，7，17}

|K|=220·35·52·7·17

從而220·35·52·7·17|30，矛盾．

如果31∈π(K)，則

π(H)={2，3，5，7，17}

|H|=220·35·52·7·17

設(shè)H7∈Syl7(H)，由H冪零得H7?_G，且由文獻(xiàn)[14]的定理4.5.3得|Aut(H7)|=6．則

(31，|Aut(H7)|)=1

由文獻(xiàn)[9]的引理2.12得7～31， 矛盾．

再證明：G不是2-Frobenius群．

如果G是2-Frobenius群，則由文獻(xiàn)[15]的定理2得t(G)=2．此時(shí)G有一正規(guī)群列1?_H?_K?_G， 使得

π(K/H)=π2π(H)∪π(G/K)=π1

且|G/K|||Aut(K/H)|．由于t(G)=2，且{31}是群G的一個(gè)素圖分支， 則

π2=π(K/H)={31}

從而|G/K||30，且7∈π(H)．設(shè)H7∈Syl7(H)，由H冪零得H7?_G，且|Aut(H7)|=6．于是

(31，|Aut(H7)|)=1

且7～31，矛盾．

因此，G既不是一個(gè)Frobenius群，又不是一個(gè)2-Frobenius群．

若K/H?L2(31)，L5(2)，則|Out(K/H)|=2． 由|G/K|||Out(K/H)|得17∈π(H)．設(shè)H17∈Syl17(H)，則H17?_G．由于

(31，|Aut(H17)|)=1

由文獻(xiàn)[9]的引理2.12得17～31，矛盾．

定理2的證明

必要性是顯然的，下面只證充分性．

由定理的條件知

l1(G)=220·36·52·7·11

因此G中存在17階元y，使得CG(y)=〈y〉，則{17}是群G的一個(gè)素圖分支，且t(G)≥2．

斷言：G不是Frobenius群．

否則，設(shè)G是以H為核，K為補(bǔ)的Frobenius群．由文獻(xiàn)[13]的引理2.6(1)知：

如果17∈π(H)，則

π(K)={2，3，5，7，11}

|K|=220·36·52·7·11

從而220·36·52·7·11|16，矛盾．

如果17∈π(K)，則

π(H)={2，3，5，7，11}

且

|H|=220·36·52·7·11

設(shè)H11∈Syl11(H)，由H冪零及文獻(xiàn)[14]的定理4.5.3得

H11?_G|Aut(H11)|=10

于是(17，|Aut(H11)|)=1． 由文獻(xiàn)[9]的引理2.12得17～11，矛盾．

再證明：G不是2-Frobenius群．

否則，由G是2-Frobenius群及文獻(xiàn)[15]的定理2知t(G)=2．此時(shí)G有一正規(guī)群列1?_H?_K?_G， 使得

π(K/H)=π2π(H)∪π(G/K)=π1

且|G/K|||Aut(K/H)|．由于t(G)=2，且{17}是群G的一個(gè)素圖分支， 則

π2=π(K/H)={17}

從而|G/K||16且11∈π(H)．設(shè)H11∈Syl11(H)，由H冪零得H11?_G且|Aut(H11)|=10．進(jìn)一步，有17～11，矛盾．

從而，G既不是Frobenius群，又不是2-Frobenius群．

否則，由于11?π(K/H)，且|Out(K/H)|=2n(n≤2)，得11∈π(H)．設(shè)H11∈Syl11(H)，則H11?_G．因?yàn)?/p>

(17，|Aut(H11)|)=1

所以由文獻(xiàn)[9]的引理2.12得17～11，矛盾．