分貝的簡便估算和應用

萬果果，王恩華

（河南廣播電視臺衛(wèi)星傳輸中心，河南 鄭州 450000）

引言

從事廣播電視技術(shù)工作的朋友們對“分貝dB”一定相當熟悉。dBx（x 代指各種單位后綴）家族無比興旺，例如dBW、dBV、dBu、dBi、dBc、dBHz、dBFS、dBSPL等，它們在工作中隨處可見，其中關(guān)系錯綜復雜，僅憑一篇短文實難盡述。本研究主要從科普和實用的角度，對dB 的概念及其應用進行講述和分析，希望對讀者理解和使用分貝有所幫助。

1 分貝的概念

從字面上看dB（decibel）就是十分之一貝爾，我們稱之為“分貝”，而B（Bel）則是dB 的標準單位。B（Bel）是1928 年由貝爾系統(tǒng)為紀念電話的發(fā)明者亞歷山大·格拉漢姆·貝爾所定義的，1931 年美國國家標準化局將dB 收錄進標準化年鑒。由于B 的單位太大，在實際工作中以B 為單位會出現(xiàn)大量的小數(shù)數(shù)值，為便于使用常采用dB 作為常用單位。例如，發(fā)射機功率2 000 W，如需增加500 W，用B 表示時即增加0.1 B，若用dB 表示即增加1 dB，使用dB 更便捷。

從本質(zhì)上講，dB 是用對數(shù)表示兩個量的比值。我國將dB 作為法定計量單位中非國際單位制的級差單位，定義為“兩個同類功率量或可與功率類比的量之比值的常用對數(shù)乘以10 等于1 時的級差”。

2 對數(shù)的定義

談分貝必然離不開對數(shù)（logarithm）。1594 年約翰·奈皮爾（John Napier）為了把當時的天文學家從極其復雜的計算中解救出來，在簡化球面三角計算的過程中偶然將等差序列和等比序列進行對應，于是便構(gòu)造出了對數(shù)。經(jīng)過20 年的打磨，1614 年奈皮爾的《奇妙的對數(shù)定律說明書》在愛丁堡問世，向世人展示了對數(shù)的神奇力量。1637 年笛卡爾發(fā)明指數(shù)，比對數(shù)晚了23 年。然而，直到1770 年才由歐拉提出“對數(shù)源于指數(shù)”。

對數(shù)的神奇之處在于能把高級運算降為次級運算，即變乘除為加減，變乘方開方為乘除，并通過查對數(shù)表快速得到答案。在電子計算機出現(xiàn)之前的3 個多世紀，對數(shù)方法和對數(shù)表、對數(shù)尺（見圖1）就是計算界的外掛。盡管計算機后來取代了對數(shù)表和對數(shù)尺，但是對數(shù)方法卻在各行各業(yè)持續(xù)發(fā)揚光大。拉普拉斯評價說，對數(shù)可以縮短計算時間，在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍。恩格斯在《自然辯證法》中把對數(shù)、解析幾何和微積分共同稱為17 世紀的三大數(shù)學發(fā)明。這都體現(xiàn)了對數(shù)的重要性，如果說對數(shù)造福了天文學家，那么基于對數(shù)的分貝則造福了工程技術(shù)人員。

圖1 dBW-W 轉(zhuǎn)換對數(shù)尺

3 分貝的意義

分貝就是常用對數(shù)的一種應用，因此也繼承了對數(shù)的優(yōu)點。首先，可以簡化讀寫，例如C 頻段衛(wèi)星上行鏈路空間損耗[1]l=（4πd/λ）2，以6G 頻率為例損耗約為8.186×1019倍，用分貝表示則記作損耗約199.13 dB，大大提高了可讀性，又降低了出錯的風險；其次，可以簡化運算，將運算降級，例如4 0004×11 220，可寫作4×10 lg（4 000）+10 lg（11 220）=144 dB+40.5 dB，降低了計算難度。

在聲學領(lǐng)域，采用分貝表示聲音的大小，更符合人的聽感。例如功率從1 W 調(diào)至11 W 時聽到的音量變化明顯，而功率從100 W 調(diào)至110 W 時感覺音量幾無變化，從數(shù)值上看功率同樣增加10 W，但聽感卻大不相同，用分貝表示相當于分別增加了約10.4 dB和0.4 dB，相較功率，分貝反映的響度[2]變化更符合人的聽覺感受。

4 分貝的速算方法

日常工作中，對功率的增減通常用dB 描述。例如當前功率為500 mW，增加8 dB 等于多少mW 呢？通常，以dB 為單位進行增減調(diào)節(jié)時多用整數(shù)，通過計算和對結(jié)果取近似值（便于心算），可以得到以下估算規(guī)律（見表1），其中計算值按公式10(n+x)÷10/10n÷10（n 為任意功率的dB 值，x 可以為增加或減去的dB 值）計算，保留4 位小數(shù)。

表1 +xdB 時的快速估算法

這就是前輩師傅傳授的+3 dB 翻1 倍，+10 dB 翻10 倍的來歷了。為了更好用，再擴展一下，+0.5 dB 約為1.12 倍，+1 dB 約為1.25 倍，-1 dB 約為0.8 倍，+2 dB 約為1.6 倍或者先翻1 倍再乘0.8，+5 dB 約為3.2倍或者翻2 倍再乘0.8，+7 dB 約為5 倍等。再看前面的問題，500 mW 增加8 dB，可以差分成7 dB+1 dB（相當于先乘5 再乘1.25），還可以拆分成9 dB-1 dB（相當于先乘8 再乘0.8），也可以直接乘6.4，實際估算時可根據(jù)數(shù)值靈活選取更方便的計算方法。-xdB時可用（10-x）dB 的近似估值除以10 進行計算，例如-1 dB 時10-1=9 dB，+9 dB 約為8 倍，除以10 為0.8，即-1 dB 約為0.8 倍，-0.5 dB 約為0.89 倍。如果計算的是幅度值則要先x/2，再以此進行估算。

表1 快速估算的最大誤差為-1.433%，基本滿足一般場景的應用。待熟練后，計算大數(shù)時可根據(jù)誤差對估算結(jié)果進行補充，使其更接近實際值。還是前面的例子，初始功率為500 mW，顯然乘8 再乘0.8 更好算，約等于3 200 mW，-1 dB 和+9 dB 的估算誤差都是-0.714 %（負數(shù)表示估算值大于實際值），根據(jù)誤差率，乘8 后差不多每1 000 mW 誤差7 mW，500×8=4 000 mW 時產(chǎn)生約28 mW 的誤差，4 000×0.8=3200 mW 時產(chǎn)生約21 mW 的誤差，累積誤差49 mW，3 200-49=3 151 mW 與實際計算值3 154.8 mW 近似。事實上，如果我們努力下，記住+8 dB 約等于6.3 倍，就可以直接心算500×6.3=3 150 mW。

反之，把500 mW 轉(zhuǎn)換為dBm，可先拆分為100 mW×5=20 dBm+7 dB=27 dBm。有興趣可以仔細觀察表1 或者自己算一算，相信會有更多發(fā)現(xiàn)。

5 分貝的應用

5.1 表示倍數(shù)

分貝是無量綱，沒有絕對意義，但可以用來表示倍數(shù)關(guān)系。參與功率增益計算時dB=10 lg（P1/P2），當參考基準P2=1 時可簡化為dB=10 lg（P1），參與幅度增益計算時dB=20 lg（A1/A2），當參考基準A2=1 時可簡化為dB=20 lg（A1）。當dB≥0 時，倍數(shù)≥1；dB＜0 時，0＜倍數(shù)＜1。例如：可以說功率增加3 dB，也可以說功率增加1 倍，二者等效。

dB 運算的實際意義如下：dB+dB，兩級放大；-dBdB，兩級衰減；dB-dB，先放大再衰減。

5.2 表示功率

常用功率單位有dBW[3]和dBm（dBmW）。dBW 的參考基準是1 W，即dBW=10 lg（P/1W），0 dBW=1 W；dBm 的參考基準是1 mW，即dBmW=10 lg（P/1 mW），0 dBm=1 mW。dBW 和dBm 僅單位詞頭不同，其換算關(guān)系為：0 dBW=30 dBm。

由P=UI 和I=U/R，可得P=U2/R，在不同的系統(tǒng)中R 的取值不同。通常在音頻系統(tǒng)R=600 Ω，有線網(wǎng)絡R=75 Ω，射頻系統(tǒng)R=50 Ω，當P=1 mW 時，不同阻值對應的電壓分別是0.775 V、0.274 V、0.224 V。

功率單位dBW（或dBm）和dB 有如下關(guān)系：

dBW（或dBm）+dB，功率增益；

dBW（或dBm）-dB，功率衰減；

dBW（或dBm）-dBW（或dBm），功率比；

dBW（或dBm）+dBW（或dBm），無現(xiàn)實意義。

5.3 表示電壓

常用電平單位有dBV、dBmV、dBμV，對應的基準電壓分別是1 V、1 mV、1 μV。由dBm=10 lg（P/P0）=10lg(（U2/R0）/(/R0))=10 lg（U/U0）2=20lg（U/U0）可知，使用dB 表示電壓時應為20 lg（U/U0），那么dBV=20 lg（U/1 V），dBmV=20 lg （U/1 mV），dBμV=20 lg（U/1μV），1 V=1 000mV=1 000 000μV，0 dBV=60 dBmV=120 dBμV。由P=U2/R 可得dBW=10 lg（P/1W）=10 lg（U2/R）=10 lgU2-10 lgR=20 lgU-10 lgR，而dBV=20 lgU，代入得dBW=dBV-10 lgR，10 lg600=27.78，10 lg75=18.75，10 lg50=16.99，當功率為0 dBW 時和dBV、dBmV、dBμV 的換算見表2。

表2 功率0 dBW 不同電阻對應電平值

dBv 和dBu 可認為是同一個單位，而dBV 和dBv是不同的單位，因為dBV 和dBv 在書寫時容易混淆，所以使用dBu 以便區(qū)分。dBu 主要用來表示音頻領(lǐng)域中信號的幅度，電阻R=600 Ω，基準電壓0.775 V，dBu=20 lg（U/0.775V）=20 lgU-20 lg0.775，代入可得dBu=dBV+2.218。

5.4 表示音量

前文提到用分貝表示聲音的響度更符合人的實際聽感，而人們在描述聽到聲音的大小時會說：“聲音太大了，都有xx 分貝了”，準確來說這里的分貝指的就是dBSPL（Sound Pressure Level 聲壓級）或dBSIL（Sound Intensity Level 聲強級）。

聲壓是大氣壓在受到聲波擾動后產(chǎn)生的變化，和振幅相關(guān)，聲壓級dBSPL=20 lg（p/p0），p0取空氣中人耳能夠識別的最低聲壓2×10-5Pa 為參考基準。聲強是通過垂直于聲傳播方向的單位面積上的平均聲能量流，也叫平均聲能量流密度。聲強I=p2/z，p 是壓強，z是空氣阻力常量（取值400），當p=2×10-5Pa 時，I=0.000 022/400=10-12W/m2，聲強級dBSIL=10 lg（I/I0），I為聲強測量值，I0為常量（10-12W/m2）。由上述可知，聲壓為2×10-5Pa 時，聲壓級是0 dBSPL，聲強級同樣是0 dBSIL，理想情況下二者等效。所以，通常在說到某個聲音的大小時，無論以dBSPL 還是dBSIL 為單位都是可以的，不過人們還是會習慣的只說“分貝”。值得注意的是0 dBSPL 或0 dBSIL 所表示的是人耳能夠聽到的最小的聲音，而非沒有聲音。

dBFS（decibels relative to Full Scale）是相對于滿幅度的分貝值，是專用于數(shù)字音頻信號的電平單位。dBFS=20 lg（s/s0），參考基準s0是系統(tǒng)可以到達的最大值（不統(tǒng)一），因此0 dBFS 就是上限，所以除最大值外都是負數(shù)。例如某設(shè)備可以對模擬音頻的幅度進行16 bit 量化，則s0=216=65 536，s 的最小值為1，計算可得最小音量為20 lg（1/65 536）=-96 dBFS，那么該設(shè)備的動態(tài)范圍即96 dB[4]。

5.5 表示天線增益

dBi 和dBd 都是用來表示天線增益的相對值，區(qū)別是參考基準不同，它們之間可以進行相互轉(zhuǎn)換。dBi（isotropic）是以理想點源全向天線為基準的增益，亦稱為絕對增益或無方向增益；dBd（dipole）是以半波偶極子天線為基準的增益。半波偶極子天線的增益是全向天線的1.64 倍，即0 dBd=2.15 dBi。

6 結(jié)論

分貝（dB）作為表示兩個同類量的級差單位，廣泛應用于廣播電視各技術(shù)部門，且采用dB+后綴的方式組成了諸多代表不同含義的新單位，而不同后綴前又可以+不同詞頭，這也造就了dBx 家族極其繁榮的場面，容易使人混淆和困惑。能夠準確理解單位后綴和詞頭，明確是功率量還是幅度量，知悉基準值，理清相關(guān)單位間的關(guān)系和使用場景，才能實現(xiàn)dB 的使用自由。讀者朋友亦可按本研究的思路對場強、功率密度等其它在工作中常用到的dB 單位進行分析和梳理，找到更多實用的信息和規(guī)律，為業(yè)務工作打牢基礎(chǔ)。