搭建學習支架，讓思維進階看得見
——以“三角形的內(nèi)角和”教學實踐為例

江蘇省無錫市新吳區(qū)錫梅實驗小學 華麗芳

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數(shù)學新課標”）提出，數(shù)學教學活動應注重啟發(fā)式，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的積極思考，鼓勵學生質(zhì)疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、推理、驗證、直觀想象等方法分析問題和解決問題。

我們理解為數(shù)學教學活動應為學生搭建學習支架，發(fā)掘?qū)W生學習生長力，引發(fā)學生積極思考，促進學生深度學習。南京大學哲學系鄭毓信教授認為，“數(shù)學深度學習不應停留在具體知識和技能層面，要上升到思維層面，要由具體的數(shù)學方法和策略過渡到一般性的思維策略和思維品質(zhì)的提升?！倍季S層次的提升，需要學生自覺地學習，通過合作交流、互助學習等方式主動地參與課堂探究。

由此我們感受到，數(shù)學教學應當致力于為學生的思維發(fā)展而教，讓學生獲得良好的思維品質(zhì)，能自覺地用數(shù)學的思維方式去觀察、分析問題，解決現(xiàn)實問題。 為此，教學中需要讓學生進一步深度感受和理解相關(guān)的知識本質(zhì)，進一步深度積累和完善數(shù)學思維和實踐經(jīng)驗，在深度應用中發(fā)展數(shù)學學習素養(yǎng)。

圖形與幾何是義務教育階段學生數(shù)學學習的重要領(lǐng)域，“三角形的內(nèi)角和”屬于這一領(lǐng)域中具有思維挑戰(zhàn)性的典型內(nèi)容。本文結(jié)合這一課的實踐研究，闡述如何通過搭建學習支架，形成深度學習場域，引導學生自覺、主動地進行探究性學習，幫助學生實現(xiàn)從“學會數(shù)學地思維”到“通過數(shù)學學會思維”的轉(zhuǎn)變，讓思維進階在課堂真實發(fā)生。

一、搭建背景支架，明晰知識結(jié)構(gòu)的前后關(guān)聯(lián)，引發(fā)思維的敏感度

學生的發(fā)展水平有兩種，一種是現(xiàn)在的水平，另一種是可能遇到困難的水平，兩者之間的差距就是“最近發(fā)展區(qū)”，教師教學時要在學生的最近發(fā)展區(qū)尋找切入點。通過搭建背景支架，可以進行新舊知識的遷移，幫助學生尋找到新舊知識的聯(lián)結(jié)點，也就是最近發(fā)展區(qū)的切入點。

我們認為，只有對所教內(nèi)容的本質(zhì)特性有了真正的領(lǐng)悟和把握，才會用深刻、透徹的理解去改善課堂教學。對此，我們對“三角形的內(nèi)角和”這堂課究竟要“教什么”“怎么教”進行了學習、討論和思考，形成了幾點共識：

（一）從教材編排的邏輯順序來看

“三角形的內(nèi)角和”是蘇教版數(shù)學四年級下冊“三角形”這一單元的內(nèi)容。本單元是在學生已經(jīng)積累了一些有關(guān)“圖形與幾何”的知識經(jīng)驗，并形成初步的“空間觀念”的基礎(chǔ)上編排的。單元教材編排依次是認識三角形的基本特征、了解三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角和、按角分類以及按邊分類。本單元內(nèi)容豐富，又具有一定的思維挑戰(zhàn)性，且“圖形與幾何”領(lǐng)域在數(shù)學中有重要的地位，其重要價值在于通過對圖形的認識和理解，發(fā)展學生的空間觀念和推理能力。

從教材的編排順序可以看出，研究三角形的特征分別是從“邊”和“角”這兩個角度出發(fā)的，課時與課時之間呈并列的雙線遞進關(guān)系。（如圖1）

圖1

從圖1可以看出，“三角形的內(nèi)角和”是本單元教學的重點和難點之一，是學生認識和理解三角形特征的重要內(nèi)容，也是以后進一步學習和探索三角形性質(zhì)的必備基礎(chǔ)。教材的編排順序遵循了知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序，又尊重了學生的認知發(fā)展水平，有利于學生切實理解和掌握三角形的分類方法，構(gòu)建合理的認知結(jié)構(gòu)。

（二）從學生實際認知水平來看

學生在二年級下冊已經(jīng)初步認識了角，在四年級上冊又認識了射線，了解了各類角的特征，學習本課之前已經(jīng)初步理解了三角形的概念，探究得出了三角形的三邊關(guān)系。為了準確把握學生的思維邏輯，確認本課的教學目標、重難點，設計有利于學生思維深度介入的教學內(nèi)容，筆者對學生進行了前測分析。

1.前測對象：學校四年級學生120人。

2.前測內(nèi)容：

（1）說一說什么是角。

（2）說一說角可以分成哪幾類。

（3）說一說什么是三角形。

（4）三角形三邊之間有什么關(guān)系。

（5）三角形的三個內(nèi)角之間有關(guān)系嗎？有怎樣的關(guān)系？

3.前側(cè)分析：

知識點 問題 示范答案角的定義什么是角 一個頂點兩條邊角的分類角可以分成哪幾類答案1：銳角、直角、鈍角答案2：銳角、直角、鈍角、平角、周角三角形的定義什么是三角形答案1：由三條邊組成的圖形；有三個角的圖形答案2：由三條線段首尾相接圍成的圖形三角形三邊之間的關(guān)系三角形三邊之間有什么關(guān)系兩邊之和大于第三邊三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角之間會有什么關(guān)系嗎答案1：三角形越大，三個角的和也會增大答案2：內(nèi)角和是180°，原因不知道，是從書上看到的

根據(jù)數(shù)學新課標可知，小學階段的“圖形與幾何”領(lǐng)域是從多種角度對空間圖形和平面圖形等的刻畫，包括刻畫圖形的特征、大小、運動、位置等。這些促使學生從多種角度全面認識和理解圖形，并發(fā)展了學生的空間觀念和推理能力。筆者通過前測發(fā)現(xiàn)，學生對角的概念、三角形的概念的表述不夠全面，對角的類型印象比較深刻的是 “銳角、直角和鈍角”這三種，對“平角”這一概念不是很深刻，而這恰恰是探究三角形內(nèi)角和的關(guān)鍵。學生對三角形三條邊之間的關(guān)系比較清晰，對三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系不是很清晰，但他們根據(jù)學習三角形三邊關(guān)系的經(jīng)驗能夠感覺到三角形的內(nèi)角之間必定也存在某種固定的關(guān)系。由此，我們確定本節(jié)課的重點是理解“內(nèi)角”概念、知道三角形的內(nèi)角和是180°，難點是用多種方法驗證和推理出三角形的內(nèi)角和是180°，發(fā)展直觀想象和推理能力。

我們在教學時，通過搭建背景支架，加深學生對知識的整體認知，發(fā)掘?qū)W生學習新知的生長點，有利于尋找突破教學難點的途徑。這樣從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，在幫助學生梳理 “三角形的內(nèi)角和”的“前世今生”的過程中，觸發(fā)學生對探究三角形內(nèi)角和之間關(guān)系的直覺，提高學生思維的敏感度。

二、搭建情境支架，凸顯研究內(nèi)容的核心本質(zhì)，增強思維的嚴密度

情境的創(chuàng)設可以提供輕松、自然的學習場景，讓學生全身心地體驗數(shù)學學習材料、數(shù)學學習過程、數(shù)學學習結(jié)果。搭建情境支架，一方面可以激發(fā)學生的學習熱情，使學生積極主動地參與探究，進行課堂教學的深度體驗、深度探究；另一方面可以生活化表征數(shù)學模型，體現(xiàn)“數(shù)學源于生活，又回歸于生活”的數(shù)學學習理念。如在執(zhí)教“三角形的內(nèi)角和”時，教師創(chuàng)設了喜羊羊和懶羊羊給兩個三角形比大小的情境，并且利用教學情境引發(fā)問題探究。

呈現(xiàn)情境：

同學們，喜羊羊和懶羊羊在手工課上做了兩個三角形，在村子里向其他小伙伴們展示，我們一起去看看吧。（出示圖2，喜羊羊做的是三角形A，三個內(nèi)角都是銳角；懶羊羊做的是三角形B，其中有一個內(nèi)角是鈍角。）

圖2

觀察比較：

從周長來比，誰的三角形的周長長呀？

（生回答：喜羊羊）

從面積來比，誰的三角形的面積大呀？

（生回答:喜羊羊）

懶羊羊聽了之后很不服氣，說我們來比比角吧，我有一個鈍角，我的內(nèi)角和一定比喜羊羊的大！

思考：你們覺得誰的內(nèi)角和大呀？

到底是哪個三角形的內(nèi)角和大呢？誰的判斷正確呢？我們今天一起來進行探究。

我們學習的圖形是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，在上“三角形的內(nèi)角和”這節(jié)課時，教師在學生對三角形進行了直觀感知的基礎(chǔ)上，再出示生活中學生熟悉的物體的圖片，讓學生通過觀察抽象出屋頂、橋、空調(diào)架、自行車、秋千的某個面的形狀就是數(shù)學中的三角形，再次讓學生進行觀察比較并對自己之前的判斷產(chǎn)生疑問，從而產(chǎn)生進一步探究驗證的學習動機。

抽象是舍去物體的一切物理屬性從而得到數(shù)學研究對象的思維過程，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，也是研究圖形的第一步。在這兒教師采用比較三角形大小的情境，一方面學生喜聞樂見，容易激發(fā)求知欲和探究興趣；另一方面用生活化表征及豐富的數(shù)學模型，體現(xiàn)“數(shù)學源于生活，又回歸于生活”的學習理念。同時，在教學情境的基礎(chǔ)上，設置層次性的問題情境，形成驅(qū)動性問題串，有利于學生思維的逐層展開，初步形成對三角形內(nèi)角和的數(shù)學本質(zhì)的感性認識。

三、搭建過程支架，感悟探究方法的滲透，促進思維的深刻度

數(shù)學新課標提出，教師在教學時要設計必要的數(shù)學活動，搭建過程支架，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成與應用。數(shù)學學習不能只關(guān)注學習的結(jié)果，更要關(guān)注學習的過程，讓學生恰當?shù)亟?jīng)歷這些過程，對于發(fā)展思維能力、理解數(shù)學本質(zhì)、感悟數(shù)學思想有著重要的作用。搭建過程支架，把一個個數(shù)學知識分解成一個個腳手架任務，讓學生的思維可視化，引導學生進行自主探究學習，教師只在學生認知障礙處才進行介入。以“三角形的內(nèi)角和”教學為例，在探究環(huán)節(jié)，我們采用借鑒、移植、創(chuàng)生數(shù)學實驗的方式，設計三個模塊任務，搭建過程支架，引導學生進行深入思考，促進學生深入探究。

任務1：借鑒數(shù)學實驗

師：請同學們畫一個三角形，說一說，內(nèi)角在哪兒？

（師出示課件：閃爍三角形的內(nèi)角）

師：是的，由于三角形的三個角在它的內(nèi)部，我們就把這三個角稱為內(nèi)角，標上∠1、∠2、∠3。

師：誰來說說，內(nèi)角和又是什么呢？

生：就是三個內(nèi)角的度數(shù)和。

師：我們用一支筆和這個三角形來做一個實驗，一起來看看。

這樣一轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過了哪個角？（如圖3）

圖3

生：∠1。

師：如果還要轉(zhuǎn)過∠2，怎么轉(zhuǎn)？怎樣轉(zhuǎn)過∠3？

師：做完實驗后，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

數(shù)學實驗是一種特殊的教育環(huán)境，是為了支持學生的學習，根據(jù)教學目標和教學內(nèi)容而創(chuàng)設的。教師要在對教材內(nèi)容深入分析的基礎(chǔ)上，設計具有啟發(fā)性、趣味性的操作活動，有助于教師準確把握學生的學習起點，激發(fā)學生的學習興趣，激活學生已有的學習經(jīng)驗，引發(fā)他們展開數(shù)學思考，推進教學。

（一）設計指向問題探究的核心問題

在探究三角形的內(nèi)角和是多少度時，先組織學生每人在紙上畫一個三角形，讓學生仔細觀察畫出的圖形，再幫助學生理解“內(nèi)角”的概念。

以上教學是基于學生對三角形已有的表象認識的基礎(chǔ)上設計的。讓學生先畫一個三角形其實就是喚醒學生已有的認知，學生在畫之前要先思考“如何畫出一個三角形”，促使學生尋找頭腦中對三角形特征的已有經(jīng)驗。尋找內(nèi)角則指向畫三角形之后的觀察思考，聚焦圖形的本質(zhì)。在這看似簡單的操作活動中，學生的思考方向從關(guān)注表象向聚焦本質(zhì)轉(zhuǎn)移，從而促使學習更加深入，思維的深刻度也得到增強。

（二）提供啟迪深度思考的學習材料

學習材料是提供給學生實驗的學具，為自主探究提供保障。為了讓學生深度感知三角形的內(nèi)角和是180°，在學生理解什么是內(nèi)角的基礎(chǔ)上，教師設計了“轉(zhuǎn)鉛筆”這個實驗。提供的材料：1支鉛筆，以及前面在紙上畫好的三角形。學生在實驗中，需要有對內(nèi)角概念的深入認識才能完成任務。學生憑借積累的經(jīng)驗完成任務，思維水平也在此過程中得到提升。

學生做完實驗會發(fā)現(xiàn)：當這支筆轉(zhuǎn)過三個角之后，筆尖的方向和原來相反，正好旋轉(zhuǎn)了180°。由此，學生在心中萌發(fā)直觀猜想：三角形的內(nèi)角和可能是180°。數(shù)學教育的價值在于讓學生借助合適的學習素材獲得對數(shù)學思維方式的感悟與生成，只有將這樣的意識滲透在教學中的每一個環(huán)節(jié)，學生的數(shù)學素養(yǎng)才有可能厚積薄發(fā)，對數(shù)學問題探索的意識和方法才有可能深刻印記。

任務2：移植數(shù)學實驗

1.提出猜想（三角尺）

從最熟悉的三角尺開始研究，學生口算出兩把三角尺上的內(nèi)角和度數(shù)，發(fā)現(xiàn)都是180°。

師：同學們，我們可以把這兩把三角尺轉(zhuǎn)化成這樣的兩個三角形（出示圖4），觀察一下，這兩個三角形都有一個——

圖4

生：直角。

師：這兩個含有直角的三角形的內(nèi)角和是多少度？你們有什么想法？

生：是不是所有的含有直角的三角形的內(nèi)角和都是180°？

2.驗證猜想

（1）動手量一量

組長拿出1號信封，將里面的三個三角形分給三個組員，請同學按照紙上的要求進行測量和計算，組長進行匯總。

發(fā)現(xiàn)：量出來的內(nèi)角和是180°或者接近180°，之所以不完全是180°，是因為測量時有誤差。

（2）推想分一分

師：提示一下，在過去的學習中，你們還知道哪些圖形的內(nèi)角和度數(shù)？

生：長方形、正方形。

師：長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度呀？思考一下，你能不能用長方形內(nèi)角和的度數(shù)去證明含有直角的三角形內(nèi)角和的度數(shù)呢?

（提示：長方形能不能分成兩個含有直角的三角形）

生：如圖5，沿著長方形的對角線剪開得到兩個含有直角的三角形。

圖5

師：因為長方形的4個內(nèi)角都是直角，所以它的內(nèi)角和就是90°×4=360°。又因為長方形可以分成2個完全一樣的含有直角的三角形（沿著對角線剪開，動態(tài)演示兩個直角三角形完全重合），可以推理得出每個含有直角的三角形的內(nèi)角和就是360°÷2=180°。

師：實驗并沒有到此為止，同學們，剛才我們只是用了一個長方形得到兩個含有直角的三角形，如果老師把這個長方形變一變（在幾何畫板上向右拉動長方形右下角的一個點），這個長方形還可以分成兩個含有直角的三角形，這時含有直角的三角形的內(nèi)角和還是180°。繼續(xù)實驗，將這個點向左移動，使長方形成為一個正方形，這時含有直角的三角形的內(nèi)角和還是180°，由此推理得出：含有直角的三角形的內(nèi)角和都是180°。

任務3：創(chuàng)生數(shù)學實驗

問題驅(qū)動：同學們，剛才我們探究的是含有直角的三角形的內(nèi)角和，那不含有直角的三角形的內(nèi)角和是多少呢？

1.量一量

學生隨意畫一個不含有直角的三角形，用量角器去量三個內(nèi)角的度數(shù)，然后算出內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和也是180°。

2.拼一拼

可以用剪刀把三角形的三個內(nèi)角剪下來，然后把這三個內(nèi)角拼到一起，發(fā)現(xiàn)確實可以拼成一個平角，說明他們的內(nèi)角和是180°。

3.折一折

先從最上面的頂點出發(fā)向?qū)叜嬕粭l垂線，然后把∠3的頂點折到對邊和垂足重合，再把另外兩個頂點折過來，發(fā)現(xiàn)這三個角也拼成了一個平角。（如圖6）

圖6

4.分一分

運用轉(zhuǎn)化的思想，將不含有直角的一般三角形通過作高分成兩個含有直角的三角形，反過來說就是兩個含有直角的三角形拼成了一個大的不含有直角的三角形。原來的兩個直角在這個大三角形中是多出來的部分，所以360°-90°-90°=180°。（如圖7）

圖7

引導學生討論得出，不含有直角的三角形內(nèi)角和也是180°，從而得出最終結(jié)論：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

以上教學過程，通過借鑒數(shù)學實驗，從生活實例到數(shù)學形式，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，讓學生經(jīng)歷從具體直觀到數(shù)學抽象的過程，形成對三角形內(nèi)角和本質(zhì)的理性認識；移植數(shù)學實驗，利用數(shù)學形式闡釋生活實例，滲透數(shù)學模型思想，幫助學生建構(gòu)含有直角的三角形內(nèi)角和的模型；創(chuàng)生數(shù)學實驗，是學生在對有理數(shù)的加法本質(zhì)認識的基礎(chǔ)上，對有理數(shù)加法法則的自我表達，能較好地幫助學生厘清有理數(shù)加法法則算法和算理的關(guān)系，真正突破三角形內(nèi)角和的教學重難點。借鑒、移植、創(chuàng)生，有力地構(gòu)建起過程性支架，使學生的思維向深處逐層展開，在自主探究、合作交流中進行深度思考，形成對知識本質(zhì)的深刻認識。

四、搭建遷移支架，升華核心知識的輻射功能，提升思維的廣闊度

《追求理解的教學設計》指出：“搭建遷移支架，有利于學生獲得持久的理解。”理解是什么？理解是能對學習知識進行遷移，形成知識的本質(zhì)認識。作者威金斯認為，搭建遷移支架，進行知識遷移，要做到兩點：一方面要抓住該知識的核心問題；另一方面要抓住該知識的應用。以“三角形的內(nèi)角和”為例，筆者設計了兩個層級練習：

層級一：基礎(chǔ)性練習（如圖8）

圖8

師：移動頂點A的位置,可以發(fā)現(xiàn)∠A從銳角變成了直角，再從直角變成了鈍角。想一想，一個三角形中會不會有兩個直角？一個三角形中會不會有兩個鈍角？為什么？

通過辨析引導學生聚焦知識本質(zhì)的思考，因為三角形的內(nèi)角和是180°，如果有兩個直角，或者有兩個鈍角，內(nèi)角和就超過180°，所以是不可能的。

層級二：拓展性練習

根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，你能自己推算出四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？(如圖9）

圖9

學是為了更好地用，知識遷移能促進學生深度的學，體現(xiàn)知識的內(nèi)在價值。因此，在搭建遷移支架時，教師要緊緊圍繞核心問題和知識的運用進行展開，使學生可以靈活運用知識，直抵數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)思維從低階向高階提升。

總之，通過搭建學習支架，可以讓學生進行體驗性、本質(zhì)性、結(jié)構(gòu)性學習，使深度學習在課堂真正發(fā)生。在數(shù)學教學中，教師應從學科本質(zhì)、教學內(nèi)容和學情特點出發(fā)，搭建符合學生思維發(fā)展的背景支架、情境支架、過程支架、遷移支架，引導學生主動地進行探究學習，在真實的數(shù)學活動中獲得知識、技能、思維的提升，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。