小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)業(yè)測評

人民教育出版社課程教材研究所 王永春

21世紀(jì)初，數(shù)學(xué)課程改革以來，課程理念更加先進(jìn)，課程目標(biāo)越來越導(dǎo)向核心素養(yǎng)，課堂教學(xué)更具主體性，但是考試評價卻沒有與時俱進(jìn)?！叭欢?，學(xué)業(yè)成就評價改革進(jìn)展緩慢，特別是考試方式和試題編制方面變化甚微。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，我國仍在沿用舊有的評價方式，紙筆測試的標(biāo)準(zhǔn)化考試依舊盛行，數(shù)學(xué)試題的編制沒有實質(zhì)性的改變，仍過于關(guān)注顯性知識和基本能力，卻忽視了新課改所倡導(dǎo)的許多新的理念、思想和方法?！?/p>

一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向的評價體系內(nèi)涵

教育部于2022年4月頒布了《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”），意味著新一輪義務(wù)教育課程改革正式啟動。課程改革是一個系統(tǒng)工程，接下來要進(jìn)入教材研究編寫、教研培訓(xùn)、課堂教學(xué)實施、考試評價等一系列環(huán)節(jié)的改革，來逐步貫徹落實新課標(biāo)的基本理念和目標(biāo)。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[以下簡稱“數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）”]相比，在評價方面有一些變化，主要體現(xiàn)如下：

對學(xué)業(yè)質(zhì)量進(jìn)行了界定，確立了學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的核心地位和作用，把學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)作為評價和考試命題的依據(jù)。數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，“學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，反映核心素養(yǎng)要求。學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是以核心素養(yǎng)為主要維度，結(jié)合課程內(nèi)容，對學(xué)生學(xué)業(yè)成就具體表現(xiàn)特征的整體刻畫。數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)業(yè)水平考試命題及評價的依據(jù)，同時對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動、教師的教學(xué)活動、教材的編寫等具有重要的指導(dǎo)作用。”

由上述學(xué)業(yè)質(zhì)量的闡述可知，數(shù)學(xué)新課標(biāo)把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為學(xué)業(yè)質(zhì)量的核心，也就是說，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的核心不是“四基”和“四能”，而是形成與發(fā)展“四基”和“四能”的過程中達(dá)成的11個核心素養(yǎng)；同時，強(qiáng)調(diào)“情感態(tài)度”的重要性，認(rèn)為情感態(tài)度是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值的重要指標(biāo)，它與“四基”“四能”相互支撐，共同導(dǎo)向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定基礎(chǔ)。具體概括為以下評估學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成及發(fā)展情況的三個方面：

（1）以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識主題為載體，在形成與發(fā)展“四基”的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念等。

（2）從學(xué)生熟悉的生活與社會情境，以及符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中，在經(jīng)歷“用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語言分析和解決問題”的過程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等。

（3）學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運(yùn)用、實踐探索活動并進(jìn)行經(jīng)驗積累，逐步產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心、求知欲，以及對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，初步養(yǎng)成獨(dú)立思考、探究質(zhì)疑、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，初步形成自我反思的意識。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)化對考試命題的要求，強(qiáng)調(diào)“以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查‘四基’‘四能’與核心素養(yǎng)。適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設(shè)置要注重真實情境的創(chuàng)設(shè)，提出有意義的問題，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查。遵循課標(biāo)要求，嚴(yán)格依標(biāo)命題。全面理解和體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的課程目標(biāo)、內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和學(xué)業(yè)質(zhì)量命題，各領(lǐng)域考查內(nèi)容所占比例與其在課程標(biāo)準(zhǔn)中所占比例大體一致，難易程度大體平衡，保證命題的科學(xué)性”。

二、核心素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)業(yè)測評原則

根據(jù)新的考試命題理念和要求，在大數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)、云計算、人工智能的時代，應(yīng)減少對傳統(tǒng)的純計算內(nèi)容的考查，尤其是復(fù)雜數(shù)據(jù)計算的題目，因為我們?nèi)祟愑嬎隳芰υ購?qiáng)，也算不過機(jī)器人；可把計算內(nèi)容融入其他題目的考查中。我們應(yīng)該從數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面進(jìn)行評價，增加對規(guī)律、關(guān)系、結(jié)構(gòu)、變式問題、聯(lián)系實際的真問題、開放性問題等的考查。那么，這也應(yīng)成為“什么題是好題？什么題不是好題？”的判斷標(biāo)準(zhǔn)?；诖耍诳荚囋囶}編制方面，筆者提出以下幾點(diǎn)原則建議：

（一）堅持考查數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)由概念、命題、結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法、元認(rèn)知、非智力因素構(gòu)成，概念雖然重要，但不是本質(zhì)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)的重點(diǎn)是關(guān)系、規(guī)律、結(jié)構(gòu)、思想方法及問題解決等。因此，命題應(yīng)盡可能少地直接考查概念及相關(guān)判斷。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)方程的重點(diǎn)在于面對實際問題，能夠分析并建立等量關(guān)系、用方程解決。如果讓學(xué)生判斷x=0， x=1， a+b=b+a是不是方程，這些考查就沒有必要。究其原因： 一是因為這些問題不是方程內(nèi)容的核心，二是教師對其經(jīng)常爭論不休。再如，最小的一位數(shù)是0還是1？嚴(yán)格來說，位數(shù)不是純數(shù)學(xué)概念，也不是數(shù)感的本質(zhì)，這個題目不易作為考試題讓學(xué)生回答。我們再次強(qiáng)調(diào)，自然數(shù)與小數(shù)的基礎(chǔ)及核心是十進(jìn)位值制記數(shù)法，小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)與運(yùn)算的本質(zhì)是對計數(shù)單位的表達(dá)（分解與組合），教師可以考查這方面的問題。

（二）考查題目具有嚴(yán)謹(jǐn)性

小學(xué)數(shù)學(xué)題目看起來簡單，但是也有一個嚴(yán)謹(jǐn)性的問題，如果不加以注意，就會影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維和思想方法的水平。

例如，有一道教師經(jīng)常爭論不休的題： 1.25×6的積是幾位小數(shù)？

實際上這是一個要求不清楚的題，應(yīng)分類討論。因為1.25×6=7.50=7.5，如果將積末尾的0舍去，就是一位小數(shù)，如果積末尾的0不舍去，就是兩位小數(shù)。由于題目的要求不明確，導(dǎo)致答案有爭論，其實學(xué)生的內(nèi)心是十分清楚的，只不過題目要求不清楚，就使學(xué)生判斷起來左右為難。

再如，計算圖形的面積時，不說明圖形的形狀，而采取默認(rèn)的方式。如有一塊草坪，底是8米，高是5米，它的面積是多少？

題目中沒有說明草坪是什么形狀的，學(xué)生看到底和高，就默認(rèn)為是平行四邊形，于是計算出面積是 8×5=40（平方米）。這是不符合數(shù)學(xué)邏輯的，數(shù)學(xué)的運(yùn)算與推理是在具備前提條件和規(guī)則的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

（三）加強(qiáng)對數(shù)學(xué)基本思想的考查

數(shù)學(xué)的思想方法有很多，但是最基本的是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型，其中最重要的是邏輯推理，這是數(shù)學(xué)本質(zhì)里最核心的部分。如前文所述，數(shù)學(xué)運(yùn)算的算理與算法的本質(zhì)都是邏輯推理，圖形的性質(zhì)、判斷、計算、位置關(guān)系、圖形的運(yùn)動等都要用到邏輯推理。因此，應(yīng)多考查數(shù)學(xué)思想，少考查可以模仿的計算；即使考查計算，也應(yīng)多考查計算中的算理部分。在數(shù)學(xué)的世界里，最重要的不是我們已經(jīng)知道了什么，而是我們怎么知道的。

三角形面積公式的探索是一個難點(diǎn)，原因是它無法像平行四邊形那樣轉(zhuǎn)化成長方形或者平行四邊形來計算，而是用兩個全等的三角形拼成平行四邊形來推導(dǎo)面積公式，這個方法學(xué)生不容易想出來。那么，除了這個方法，如何啟發(fā)學(xué)生比較自然地利用已有的知識和方法探究三角形的面積公式呢？教師可像下題這樣考查轉(zhuǎn)化、推理、建模等基本思想方法：

我們都知道，三角形的面積公式是通過用兩個全等的三角形拼成平行四邊形來推導(dǎo)的，如果不用這個方法和思路，請你在方格紙上畫圖，把三角形轉(zhuǎn)化成長方形或者平行四邊形，然后推導(dǎo)三角形的面積公式。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)加強(qiáng)了對演繹推理思想方法的要求，通過直觀和計算感悟等式的基本性質(zhì)及等量相等這一基本事實，進(jìn)行簡單的推理。下面關(guān)于長方體的一些性質(zhì)可以考查學(xué)生的推理能力。

如下圖所示的長方體，每個面都是長方形。

（1） 根據(jù)長方形的性質(zhì)，EF=HG， EF=AB，所以HG=AB。這是一個推理證明的過程，根據(jù)相等關(guān)系的傳遞性的思路，請證明長方體12條棱分為3組，每組有4條相對的棱彼此相等。

（2） 平行關(guān)系也有傳遞性，請證明HG∥AB。請證明長方體12條棱分為3組，每組有4條相對的棱彼此互相平行。

（四）加強(qiáng)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

有很多研究表明，我國學(xué)生在解決聯(lián)系實際的真問題、開放問題方面，在國際上排名并不理想。為此，人教版數(shù)學(xué)教科書在這方面進(jìn)行了比較大的改進(jìn)，但是仍然有很大的改進(jìn)空間。讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象、推理思想、模型思想、分析法和綜合法有利于提高學(xué)生解決問題的能力，從而可以讓學(xué)生理性地面對著名的“船長年齡”問題（是張奠宙教授早年從國外引進(jìn)的題目：“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請問船長幾歲？”據(jù)說當(dāng)時我國參與測試的學(xué)生有90%以上用給定的兩個數(shù)據(jù)計算出年齡）。

跨學(xué)科綜合應(yīng)用也是數(shù)學(xué)新課標(biāo)的新要求，舉例如下：

著名詩句“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還，兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”，是李白在流放途中突然得知被赦免而即興創(chuàng)作的一首七言絕句。白帝城位于重慶市奉節(jié)縣，江陵即現(xiàn)在的荊州市，兩地的水路大約340千米，千里江陵是一種夸張的說法，形容路途遙遠(yuǎn)。如果李白早晨6：00出發(fā)，當(dāng)天晚上12：00到達(dá)，保證“一日還”是真的，那么船的順?biāo)骄俣戎辽偈嵌嗌伲浚ǖ脭?shù)保留整數(shù)）

分析：根據(jù)給定的信息，從早晨6：00到當(dāng)天晚上12：00的時間是18個小時，要想當(dāng)天到達(dá)江陵，就要求出船的最小速度，即340÷18≈19（千米/時）。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)質(zhì)量監(jiān)測樣題

當(dāng)前，全國各地各級部門均在進(jìn)行不同年級的數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測，測試題目在不斷地向著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)改進(jìn)。筆者在此補(bǔ)充一些考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題目，有些題目的難度略高，可能超過數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，作為對全體學(xué)生的要求未必合適，但是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的考查，可以作為額外加分題供教師參考使用。

（一）選擇題

1.觀察算式，根據(jù)規(guī)律判斷999999×8的積是（ ）。

3.一個長方形足球場，長110米、寬70米，學(xué)生進(jìn)行團(tuán)體操表演，如果每個學(xué)生占地3平方米，那么這個足球場大約同時容納（ ）進(jìn)行團(tuán)體操表演比較合適。

A．5000人 B．3500人 C．2500人 D．1000人

4.下面是某班學(xué)生的身高統(tǒng)計表：

性別身高區(qū)間/cm 120及以下121～125 126～130 131及以下男 5人 6人 5人 4人女 4人 5人 7人 4人

全班同學(xué)排隊做課間操，一共站成8排，每排5人。他們按照第1排身高最矮、第8排身高最高的從矮到高的順序站隊。身高126cm的一共有3人，那么身高126cm的小麗應(yīng)站在（ ）。

A．第5排 B．第4排 C．第6排 D．第7排

5.從一個鈍角的頂點(diǎn)出發(fā)，在這個鈍角的內(nèi)部畫一條射線，把這個鈍角分成∠1和∠2兩個角，下面說法正確的是 （ ） 。

A．∠1和∠2一定都是銳角

B．∠1和∠2一定都是鈍角

C．∠1和∠2中可能有一個是鈍角

D．∠1和∠2中不可能有直角

6.如圖，用一副三角尺的兩條邊拼出了∠1，它的度數(shù)是（ ） 。

A．45° B．120° C．135° D．150°

7.鐘面上的時間為4時整，時針和分針的夾角是（ ）。

A．90° B．120° C．130° D．150°

8.下面方格紙的每個小方格都是邊長為1cm的正方形， 等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)都是相交點(diǎn)，邊AB=5cm，那么等腰梯形ABCD的周長是（ ）。

A. 18cm B. 19cm C. 20cm D. 無法確定

9.用長628cm的鐵絲圍成一個封閉圖形，面積最大的是（ ）。

A．三角形 B. 長方形 C. 正方形 D. 圓

10. 已知a,b,c三個數(shù)均不為0，且3—7a=5—8b=9—4c，則下列選項中說法正確的是（ ）。

A. a最大 B. b最大 C. c最大 D. 無法確定

11. 把一個長方形ABCD沿著EF翻折，點(diǎn)B翻折到點(diǎn)D，如圖，已知∠DEF=57°，那么∠AED=（ ）。

A.31° B.30° C.29° D.28°

12.一個等腰三角形的兩條邊分別長5cm和7cm，那么該三角形的周長是（ ）。

A.一定是17cm B.一定是19cm

C.17cm或者19cm D.12cm

13.一個等腰三角形的底角等于70°，那么頂角等于（ ）。

A. 70° B. 55° C. 60° D. 40°

14.一個三角形的最小內(nèi)角是50°，下面關(guān)于三角形的敘述正確的是（ ）。

A.一定是鈍角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是銳角三角形 D.無法確定

15.一個三角形OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°的三角形是A′OB′，已知∠AOB=50°，那么∠BOA′=（ ）。

A. 50° B. 30° C. 40° D. 60°

16.已知平面上有三點(diǎn)A（3，3），B（6，1），C（6，5），A、B、C三點(diǎn)連線組成的圖形是（ ）。

A.等邊三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.鈍角三角形

A. 1和2 B. 2和3 C. 3和5 D.3和6

18. 兩輛汽車從同一地點(diǎn)出發(fā)，A車先出發(fā)，B車后出發(fā)，同時到達(dá)一個服務(wù)區(qū)休息，然后繼續(xù)前行到達(dá)終點(diǎn)。下面敘述正確的是（ ）。

A.從出發(fā)到服務(wù)區(qū)A車比B車速度快

B.B車比A車休息的時間長

C.從服務(wù)區(qū)到終點(diǎn)B車比A車速度快

D.以上說法都不對

19.把一個三角形按照1：2放大，那么放大后的三角形與原來三角形的周長之比為（ ）。

A.1：1 B.1：2 C.2：1 D.4：1

20.下面不是正方體展開圖的是（ ）。

（二）解答題

1.用三根小棒圍三角形，已知有兩根小棒的長分別是6cm、8cm，如果要求第三根小棒的長度是整厘米數(shù)，那么第三根小棒最短是多少？最長是多少？一共有多少種可能？

2.一個長方形的面積是110cm2，寬和長是相鄰的兩個自然數(shù)，這個長方形的周長是多少？

3.一根16m高的旗桿在太陽下的影長為6m，在同一個時刻和地點(diǎn)，身高1.6m的小明直立站在凳子上，凳子加人的影長為0.75m。凳子高多少？

4.一次數(shù)學(xué)考試成績公布后，小明、小麗、小紅三人的平均分是96，小麗和小紅兩人的平均分是97，那么小明的成績是多少？

5.我們把圓心角是180°的圓弧與直徑組成的圖形叫半圓，已知一個半圓的周長是51.4（圓周率取3.14），該圓的半徑是多少？

6.一瓶藥的說明書如下：內(nèi)裝50片，每片0.5g，每天吃3次，每次吃1g，10天為一個療程。這瓶藥夠吃一個療程嗎？

7.一個單位組織280人春游，需要租車，汽車公司有兩種型號的大客車。

A型：每輛限乘50人，租金1000元；

B型：每輛限乘40人，租金900元。

請設(shè)計一個最省錢的租車方案。

8.小麗一家三口假期開車從自己家去爺爺家，路程是500km，用了40L汽油?；貋頃r沒有原路返回，計劃去一個風(fēng)景區(qū)，爺爺家到風(fēng)景區(qū)的路程是300km，這樣從爺爺家回到家的總路程增加到800km，如果按照去爺爺家時的耗油量，從爺爺家返回時加滿一箱油60L，夠不夠回到家？

9.用小棒拼連接在一起的正方形（如下圖），如果拼一組正方形用了181根小棒，那么一共拼了多少個正方形？

11.一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6cm和8cm，分別以一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個圓錐，比較一下，這兩個圓錐哪個體積大？

12.一件上衣的標(biāo)價是300元，標(biāo)價的30%是成本，其余是利潤?，F(xiàn)在節(jié)假日促銷，為保證不少于60元的利潤，折扣最高可以定幾折？

13.在方格紙中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的圖形叫格點(diǎn)圖形。請在下面的方格紙中畫一個以線段AB為對角線的面積最小的格點(diǎn)平行四邊形。