光纖F-P腔干涉納米級位移高分辨率測量

史國軍,華 震,趙 忖

(1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163319；2.國網(wǎng)哈爾濱供電公司信息通信分公司(數(shù)據(jù)中心),黑龍江 哈爾濱 150000；3.東北石油大學(xué)秦皇島校區(qū),河北 秦皇島 066004)

1 引 言

納米技術(shù)已在生物檢測、制造業(yè)、光學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)以及國防等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,納米級位移測量技術(shù)則影響著超精密加工發(fā)展水平[1-2]。激光自混合干涉測量裝置具有結(jié)構(gòu)緊湊、易準(zhǔn)直等特點,已廣泛應(yīng)用于測量絕對距離、速度、位移和流體流動等[3-5]。高分辨率激光自混合測量系統(tǒng)的研究,進(jìn)一步推動了激光自混合干涉技術(shù)在非接觸納米測量領(lǐng)域的應(yīng)用[6-7]。光纖法布里-珀羅(Fabry-Pérot,F-P)干涉儀通過將干涉條紋的時間運動轉(zhuǎn)換為圓周運動,使得光學(xué)長度的變化測量精度得到了提高[8]。使用線性調(diào)頻轉(zhuǎn)發(fā)器對光束進(jìn)行相位調(diào)制,獲得穩(wěn)定的拍頻信號,實現(xiàn)了納米級位移測量[9]。光纖F-P立體棱鏡腔的構(gòu)造,進(jìn)一步提高了位移測量的精度[10]。單計量光柵位移測試系統(tǒng),簡化了實現(xiàn)高倍數(shù)光學(xué)細(xì)分手段,采用一種新型的等腰閃耀光柵用于對光柵系統(tǒng)的設(shè)計和制作,同時通過對莫爾條紋的高速高精度處理來提高納米位移測量的精度[11]。利用環(huán)形器的特性,實現(xiàn)兩路信號的獨立采集,并根據(jù)兩路信號的相位關(guān)系,解調(diào)出高精度的納米位移,構(gòu)造了一種用于測量納米位移的光纖差動干涉儀[12]。

在上述諸多測量儀器和方法基礎(chǔ)上,為了在精密測量中獲取更高的分辨率,拓展測量范圍,本文從理論上分析了光纖F-P腔干涉信號二倍次方與分辨率的關(guān)系,給出了有效測量時待測物體振幅與激光波長的關(guān)系,通過多次希爾伯特變換重構(gòu)了待測物體的位移,實現(xiàn)了高精度、高分辨率、寬范圍的納米級位移測量。

2 基于滯后相位的光纖F-P腔干涉測量原理

光纖F-P腔是由兩個平行鏡面構(gòu)成,其原理如圖1所示。

圖1 F-P干涉原理圖

根據(jù)光波在鏡腔傳播原理,光纖波在F-P腔內(nèi)干涉導(dǎo)致相位滯后,數(shù)學(xué)描述為:

φ(t)=φ1-φ2=4πnL(t)cosθ/λ

(1)

式中,φ1和φ2是兩個鏡面對應(yīng)的滯后相位;n為鏡面之間介質(zhì)的折射率;L(t)是鏡面間的距離;θ是入射角;λ為激光波長。

當(dāng)腔內(nèi)為空氣(n=1)且入射光平行時,θ=0,故:

φ(t)=4πL(t)/λ

(2)

由式(2)可知待測物體的位移對應(yīng)著光纖F-P腔干涉相位的變化。

為了進(jìn)一步分析相位變化,對原始信號相移采用多次希爾伯特變換[13],一次希爾伯特變換實現(xiàn)π/2的相移,三次希爾伯特變換實現(xiàn)3π/2的相移,數(shù)學(xué)上等價于(-π/2)相移。輸入一個正弦信號,通過希爾伯特變換可得到余弦信號,進(jìn)而得到tan[φ(t)],然后通過相位展開得到φ(t)。

3 基于二倍次方功率的光纖F-P腔干涉分析

測量物體位移的激光在光纖F-P腔干涉后,輸出功率P為:

P=cos(4πL(t)/λ)

(3)

對光纖F-P腔干涉功率做二次方運算,得到:

P2=1/2cos(8πL(t)/λ)+1/2

(4)

式(4)的第一部分描述了光纖F-P腔干涉功率二次方運算后的條紋狀況。對于余弦函數(shù),如果待測物體的最小位移能引起一個條紋變化,設(shè)為ΔL,則由式(4)可得相位變化量Δφ為:

(5)

由式(5)可得ΔL=λ/4。此時,條紋干涉分辨率為λ/4。

對光纖F-P腔干涉功率做四次方運算,得:

(6)

式(6)和式(4)做差,可得:

(7)

消除式(7)中常數(shù)項,記為:

(8)

同理可得:

(9)

(10)

(11)

n=1,2,3,…

(12)

(13)

(14)

由式(14)可知:

ΔL=λ/2n+3(n=1,2,3,…)

(15)

此時的干涉條紋的分辨率為λ/2n+3。

4 光纖F-P腔干涉振動數(shù)值模擬

對上述算法進(jìn)行數(shù)值模擬,首先分析待測物體振幅大于激光的半波長情況,選擇激光波長為1550 nm,待測物體振動頻率為80 Hz,零初始相位,振幅為775 nm,采樣頻率200 kHz,采樣點5000。數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 待測物體振幅大于激光半波長仿真圖

圖2(a)為待測物體振動的余弦信號,振幅為775 nm。初始干涉條紋的兩個反轉(zhuǎn)點之間的數(shù)量是1條,如圖2(b)所示。對功率信號做二次方運算后,兩個反轉(zhuǎn)點之間的干涉條紋是2條,如圖2(c)所示,此時光纖F-P干涉條紋的條紋精度提高到λ/4。依此類推,圖2(d)～圖2(f)中兩個翻轉(zhuǎn)點之間的干涉條紋數(shù)量分別是4條、8條、16條,即干涉條紋精度進(jìn)一步提高到了λ/8、λ/16和λ/32,與理論分析一致。

上述模擬分析的前提是待測物體振幅大于輸入激光的半波長,因為大于激光半波長產(chǎn)生干涉后可以出現(xiàn)完整的F-P干涉條紋。接下來改變待測物體振幅,保持其他參數(shù)不變,分析干涉條紋變化情況。

數(shù)值模擬物體的振幅為500 nm(λ/4<500 nm<λ/2),振動頻率仍為80 Hz,零初始相位,采樣頻率200 kHz,采樣點為5000。模擬結(jié)果如圖3所示。對應(yīng)圖3(a)的初始信號,圖3(b)在兩個翻轉(zhuǎn)點之間不存在一個完整的干涉條紋。在圖3(c)中,即功率經(jīng)過二次方運算后,兩個反轉(zhuǎn)點之間則出現(xiàn)了一個完整的干涉條紋。在此基礎(chǔ)上,采用多次希爾伯特變換方法,可重構(gòu)出待測物體振動信號。

圖3 振幅為500 nm仿真圖

繼續(xù)降低待測物體振幅至200 nm(λ/8<500 nm<λ/4),振動頻率仍為80 Hz,零初始相位,采樣頻率200 kHz,采樣點5000。模擬結(jié)果如圖4所示。對應(yīng)圖4(a)的初始信號,圖3(b)、(c)均未在兩個翻轉(zhuǎn)點之間出現(xiàn)完整的干涉條紋。直至圖3(d),出現(xiàn)D0后,兩個反轉(zhuǎn)點之間才出現(xiàn)了一個完整的干涉條紋,此時的干涉條紋的分辨率為λ/8。

圖4 振幅為200 nm仿真圖

同理,進(jìn)一步降低待測物體振幅,數(shù)值模擬結(jié)果為:待測物體振幅為100 nm(λ/16<500 nm<λ/8)時,出現(xiàn)D1后,兩個反轉(zhuǎn)點之間方能出現(xiàn)了一個完整的干涉條紋,此時的干涉條紋的分辨率為λ/16；待測物體振幅為50 nm時,干涉條紋的分辨率可達(dá)λ/32。隨著功率二倍次方的提高,測量分辨率可進(jìn)一步提高。

為了模擬分析待測物體振動信號重構(gòu)精度,選取振幅為387.5 nm,其余參數(shù)不變,模擬仿真結(jié)果如5所示。圖5(a)是待測物體振動的初始干涉信號,由于振動物體的振幅387.5 nm等于λ/4,所以初始干涉條紋圖形中看不到一個完整的干涉條紋。圖5(b)系功率信號做二次方運算后所得干涉條紋,此時條紋分辨率為λ/4,可見兩個翻轉(zhuǎn)點之間存在一個完整的干涉條紋。圖5(c)中灰色線條為功率信號做四次方運算后所得干涉條紋,黑色線條為其經(jīng)過多重希爾伯特變換后的信號。圖5(d)則為初始振動信號與重構(gòu)信號,灰色線為待測物體信號,黑色線為重構(gòu)信號。圖5(e)示出了原始與重構(gòu)信號的誤差,最大為振幅的0.18倍。

圖5 振幅為387.5 nm信號重構(gòu)仿真圖

5 光纖F-P腔干涉振動實驗

光纖F-P腔干涉納米位移實驗如圖6所示。激光由DFB發(fā)出,波長為1550 nm經(jīng)過耦合器的一個端口照射在一面鏡子上,經(jīng)過另一端口照射在外置PD,用于采集干涉信號。為了利用F-P腔干涉測量物體位移,將鏡子放在壓電陶瓷器(PZT)上并隨之振動,通過數(shù)據(jù)采集模塊(USB-4431,NI)獲取電壓信號,最終送入PC處理。

控制PZT的運動頻率2 Hz,振幅為387.5 nm(λ/4),采樣頻率為50 kHz,光纖F-P腔干涉信號如圖7所示。由于待測物體振幅小于λ/2,故看不到完整的干涉條紋。

圖7 光纖F-P腔干涉振幅為387.5nm信號初始波形圖

對信號做二倍次方運算,其干涉條紋分辨率提高一倍,達(dá)到λ/4,而振動物體的振幅也是λ/4,故此時的光纖F-P腔干涉圖形呈現(xiàn)出一個完整的干涉條紋,如圖8所示。

圖8 光纖F-P腔干涉振幅為387.5nm信號經(jīng)過二倍次方運算后的波形圖

獲取完整的干涉條紋后,經(jīng)過濾波,再采用多重希爾伯特變換,即可重構(gòu)出此時待測物體的位移,如圖9所示。其中灰色線是PZT運動的信號圖形,黑色線是重構(gòu)出的振動物體的運動圖形,其誤差示于圖10,最大誤差為振幅的0.26倍。因?qū)嶒灂r存在干擾,故該誤差高于數(shù)值模擬的誤差。另外,基于光纖F-P腔干涉信號做二倍次方處理后,擾動信號也將成二倍次方指數(shù)增加,從而造成干涉條紋的不穩(wěn)定,甚至嚴(yán)重失真。所以在進(jìn)行實驗時,應(yīng)盡可能避免干擾。

圖9 振幅為387.5 nm待測物體位移及其重構(gòu)圖

圖10 振幅為387.5 nm振動物體重構(gòu)誤差圖

6 結(jié) 論

(1)基于光纖F-P腔干涉信號的二倍次方運算和多次希爾伯特變換,實現(xiàn)了納米位移高分辨率測量,分辨率隨著二倍次方增長而提高。

(2)該方法突破了待測物體振幅大于激光半波長約束,在待測物體振幅小于激光半波長時,根據(jù)二者關(guān)系選取具體的二倍次方數(shù)值,即可獲得完整的干涉條紋,拓展了測量范圍。