基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型

趙 川，李璐瑤，楊浩雄，左敏

（北京工商大學(xué)電商與物流學(xué)院，北京 100048）

0 引言

庫存系統(tǒng)是企業(yè)生產(chǎn)運營管理的重要組成部分，也是供應(yīng)鏈管理領(lǐng)域研究的重要議題［1-4］。近年來自然災(zāi)害、重大公共衛(wèi)生等大規(guī)模突發(fā)事件的頻繁發(fā)生，使企業(yè)意識到傳統(tǒng)的庫存管理已不足以應(yīng)對現(xiàn)代突變的市場環(huán)境給企業(yè)庫存系統(tǒng)帶來的巨大威脅。2020 年6 月，北京新發(fā)地批發(fā)市場爆發(fā)新一輪的新冠病毒聚集性疫情，由于三文魚分割案板呈新冠陽性反應(yīng)，導(dǎo)致市場對于三文魚的需求銳減，數(shù)以噸計的貨物成為燙手山芋；2021 年5 月，受日本福島核污水排放入海決定的影響，韓國大批民眾搶購、囤積海鹽，導(dǎo)致海鹽市場需求激增，多數(shù)企業(yè)出現(xiàn)庫存不足的現(xiàn)象。在外部需求不確定的環(huán)境下，特別是在面對突發(fā)事件導(dǎo)致的臨時性撤銷訂單、追加訂單等情況時，如何實現(xiàn)對庫存系統(tǒng)的有效控制，使其保持動態(tài)穩(wěn)定，是眾多企業(yè)和學(xué)者共同面臨的難題。庫存系統(tǒng)的穩(wěn)定，在企業(yè)運營和供應(yīng)鏈管理中都具有至關(guān)重要的作用。本文旨在對隨機擾動下具有不確定需求的企業(yè)庫存系統(tǒng)進行優(yōu)化，指導(dǎo)企業(yè)合理制定訂貨策略，降低庫存波動，弱化市場隨機擾動對企業(yè)庫存的影響，從動態(tài)系統(tǒng)的角度提高庫存系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為企業(yè)的實際生產(chǎn)運營提供科學(xué)的理論借鑒和應(yīng)對方法。

庫存系統(tǒng)控制是通過將企業(yè)進銷存中主要動態(tài)變量轉(zhuǎn)換成控制信號、將基本微分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)控制，合理設(shè)計自主反饋控制算法，從而使需求預(yù)測量、訂貨量、庫存量等參數(shù)達到理想狀態(tài)的庫存管理方法［5-8］?，F(xiàn)有與本文密切相關(guān)的研究主要集中于三方面，即：經(jīng)典控制理論對庫存的優(yōu)化、現(xiàn)代控制理論對庫存的優(yōu)化和自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）算法的應(yīng)用研究。

Simon［9］首次將控制系統(tǒng)思想應(yīng)用于庫存控制，將庫存優(yōu)化問題看作一個控制系統(tǒng)，并用拉普拉斯變換將微分方程轉(zhuǎn)換成控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。自此，很多學(xué)者嘗試從不同角度，使用不同的控制方法研究庫存控制問題，取得了一定成果。Towill 等［10］將生產(chǎn)-庫存分解成3 個子系統(tǒng)：生產(chǎn)延遲時間、庫存調(diào)整時間和需求調(diào)整時間。文獻［10］在模型中建立了庫存水平與消耗率的關(guān)系，證明了反饋控制和前饋控制在庫存管理中的重要性。Jing 等［11］針對閉環(huán)供應(yīng)鏈中的庫存優(yōu)化和牛鞭效應(yīng)等問題，通過對單級庫存系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行Z 變換后，利用遺傳算法經(jīng)過參數(shù)整定對閉環(huán)庫存比例-積分-微分（Proportion-Integral-Derivative，PID）控制后發(fā)現(xiàn)，PID 控制器能有效降低庫存和系統(tǒng)的牛鞭效應(yīng)。此類文獻是本文研究領(lǐng)域的奠基石，也引導(dǎo)了將控制理論與庫存管理相結(jié)合的學(xué)科交叉；但此類文獻以反饋控制為主，只考慮了系統(tǒng)輸出對輸入的影響，沒有深入分析庫存系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量。

隨著控制理論的發(fā)展，出現(xiàn)了能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的現(xiàn)代控制方法和理論。一些學(xué)者將現(xiàn)代控制理論推廣到庫存管理領(lǐng)域，對庫存系統(tǒng)整體進行動態(tài)控制。John 等［12］在現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)上提出了一種基于自動渠道、庫存和定購的生產(chǎn)控制系統(tǒng)模型（Automatic Pipeline，Inventory and Order Based Production Control System，APIOBPCS），企業(yè)訂貨量可以根據(jù)需求預(yù)測量、實際庫存量和理想庫存量等參數(shù)來控制。Zhou 等［13］將其擴展到包含生產(chǎn)商、供應(yīng)商和零售商的三級閉環(huán)庫存控制系統(tǒng)，并研究了供應(yīng)鏈系統(tǒng)的整體動態(tài)性、庫存系統(tǒng)的波動性以及牛鞭效應(yīng)等問題。Zaher 等［14］給出了一個針對庫存問題的隨機微分方程，并將其轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問題，在對問題的描述中，將生產(chǎn)率作為控制變量，庫存量作為狀態(tài)變量，構(gòu)建了庫存系統(tǒng)的狀態(tài)方程。Subramanian 等［15］運用分部 式的模型 預(yù)測控制（Model Predictive Control，MPC）研究了一個由制造商和零售商組成的二級閉環(huán)供應(yīng)鏈庫存系統(tǒng)。徐君群［16］則從魯棒H∞控制角度研究了具有需求不確定性的動態(tài)閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的總成本問題。Zhao 等［17］通過建立庫存系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，利用極點配置狀態(tài)反饋的方式構(gòu)建了庫存控制系統(tǒng)，并通過實證研究證明了該系統(tǒng)的可行性與有效性。以上文獻主要從經(jīng)典的輸出反饋控制、PID 控制以及現(xiàn)代控制理論的角度，分別研究了確定型需求和隨機型需求的庫存系統(tǒng)優(yōu)化問題。此類文獻以現(xiàn)代控制理論和狀態(tài)空間算法為指導(dǎo)，清晰地討論了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量對庫存的影響；但沒有深入分析系統(tǒng)外部隨機擾動對庫存的影響，也沒有對企業(yè)庫存系統(tǒng)如何應(yīng)對擾動的具體算法進行研究。

自抗擾控制（ADRC）采用直接觀測未知擾動、補償隨機擾動的方式來抑制其對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。一方面，該算法繼承了經(jīng)典PID 中“利用誤差反饋消除誤差”的優(yōu)點，使控制系統(tǒng)不依賴于具體模型，僅僅利用誤差進行反饋控制；另一方面，該算法又借助現(xiàn)代控制理論，通過建立擴張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer，ESO）將系統(tǒng)外部擾動及系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)不確定性合并為總擾動，在其對系統(tǒng)造成嚴重影響之前被估計出來，并通過控制規(guī)律和補償機制將其抵消，以此彌補經(jīng)典PID 的缺陷［18-19］。自抗擾控制以其較好的抗擾動性能和高精度的控制效果，在眾多工程領(lǐng)域都有應(yīng)用：Gao［20］在自抗擾控制技術(shù)推出后，對其進行線性化和參數(shù)化整定，簡化了參數(shù)調(diào)節(jié)，便于分析研究，為自抗擾控制技術(shù)的工程化和實用化打下基礎(chǔ)；Zhao 等［21］研究了加入具有時變增益的動態(tài)函數(shù)的非線性自抗擾控制系統(tǒng)，并驗證了其收斂性；Li等［22］設(shè)計了一種衛(wèi)星自抗擾控制算法，用于分析天線系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性，并通過仿真驗證了該模型在實現(xiàn)高指向精度和轉(zhuǎn)速等方面具有很好的效果；段慧達等［23］針對類似板球系統(tǒng)的一類高階、強耦合、不確定非線性系統(tǒng)，提出以多個低階自抗擾控制器級聯(lián)實現(xiàn)控制的方法；Sira-Ramírez 等［24］則將自抗擾控制運用到永磁同步電機的控制上，介紹了一種基于擾動不確定和永久磁鐵同步電動機的角速度軌跡跟蹤任務(wù)的自抗擾控制方案，驗證了該方案的魯棒性和有效性。從目前研究現(xiàn)狀來看，自抗擾控制技術(shù)非常適用于系統(tǒng)的抗擾研究，尤其是在無法對突發(fā)隨機擾動進行數(shù)學(xué)描述的情況下，可以強有力地補償擾動對系統(tǒng)造成的影響，維持系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定；但自抗擾控制主要應(yīng)用于工程控制領(lǐng)域，在企業(yè)庫存管理及庫存控制方面還未見涉及。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，針對企業(yè)庫存運營管理的內(nèi)在邏輯和隨機市場需求特點，將臨時性追加和撤銷訂單視為隨機擾動。結(jié)合自抗擾算法的控制機理和適用條件，削弱短時隨機擾動對庫存系統(tǒng)的影響，進一步對企業(yè)庫存系統(tǒng)的控制優(yōu)化問題展開研究。

本文的主要工作如下：

1）建立了庫存系統(tǒng)的二階狀態(tài)空間模型，在隨機需求基礎(chǔ)上增加了代表臨時追加和撤銷訂單的隨機擾動。

2）設(shè)計了一種基于具有跟蹤微分器安排需求信號過渡、擴張狀態(tài)觀測器對隨機擾動擴張觀測和非線性狀態(tài)反饋律進行控制補償作用的自抗擾控制隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型。

3）通過對基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型進行參數(shù)整定和優(yōu)化，進一步提高了系統(tǒng)的控制效果和控制精度。

1 隨機擾動下庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間建模

在一個常見的生產(chǎn)或分銷企業(yè)中，與進銷存過程密切相關(guān)的基本變量有：企業(yè)向上游發(fā)送訂單的訂貨量、企業(yè)內(nèi)部形成的庫存量和企業(yè)收到下游的訂單，即實際需求量。以上3 個變量相互影響，最終決定企業(yè)的庫存水平和庫存成本。本文采用“定至點”訂貨策略，具體而言，在一個訂貨周期內(nèi)，企業(yè)首先向供應(yīng)鏈上級供應(yīng)商進行訂貨，到貨后形成本周期庫存，并根據(jù)市場需求銷售貨物；其次，到本周期期末，企業(yè)一方面對現(xiàn)有庫存量即銷售后的剩余庫存量進行盤點，另一方面，根據(jù)本周期的實際銷售情況，對下一周期市場需求進行預(yù)測；最后，企業(yè)根據(jù)本周期現(xiàn)有庫存量與下一周期預(yù)測需求量的偏差，制定具體的訂貨策略。為方便本文建立企業(yè)庫存系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，本文參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 參數(shù)設(shè)置Tab.1 Setting of parameters

本文假設(shè)：I(t)和Df(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；D(t)為系統(tǒng)的輸入；O(t)為系統(tǒng)的輸出，即：訂貨量通過現(xiàn)有庫存量和預(yù)測需求量對訂貨量產(chǎn)生影響。其次假設(shè)研究期間內(nèi)企業(yè)訂貨周期不變，配送期間不存在貨損和延遲送貨等情況。

根據(jù)企業(yè)庫存管理基本邏輯，t+1 時的期初庫存量等于t時的期初庫存量加上t時段內(nèi)企業(yè)向上游的訂貨量，減去t時段內(nèi)實際需求量，即：

根據(jù)泰勒展開式，對于庫存函數(shù)有：

其中：n！表示階乘，Rn(t)表示泰勒展開式和實際值之間的余數(shù)，由此可以得到庫存函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的近似值：

假設(shè)R1(t)足夠小，求解得到t時的邊際庫存量為：

t時段內(nèi)的訂貨量為t時段的需求預(yù)測量減去t時段的現(xiàn)有庫存量：

代入式（4）得：

根據(jù)指數(shù)平滑法預(yù)測模型，得到t時期內(nèi)平滑指數(shù)為α的需求預(yù)測模型：

同樣由泰勒展開得到邊際需求預(yù)測量：

變換式（4）得：

根據(jù)狀態(tài)空間描述式：

結(jié)合企業(yè)庫存系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（6）～（9），得到無隨機擾動時的企業(yè)庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間基本描述式：

為建立含有隨機擾動的庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間，需將庫存狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化成復(fù)頻域傳遞函數(shù)后再加入動態(tài)隨機擾動。首先，由將企業(yè)庫存系統(tǒng)的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)后得：

其中：E為單位矩陣，S為復(fù)頻域算子，進一步可得該狀態(tài)方程的等效傳遞函數(shù)為：

最終得到考慮隨機擾動的庫存狀態(tài)空間標準式：

將此標準式轉(zhuǎn)化為適用于抗擾控制算法的多級串聯(lián)標準型［25-26］：

為得到f1、f2及b，需令y=x1，將輸出y(t)的輸入輸出關(guān)系轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量的控制關(guān)系。由式（17）可知=x2，得到f1=0。

對輸出y(t)求導(dǎo)，可得：

由式（17）可知存在如下關(guān)系：

將式（21）代入式（20）可得：

綜上所述，式（17）庫存狀態(tài)空間標準式可轉(zhuǎn)化為一類標準的二階狀態(tài)空間系統(tǒng)：

2 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型設(shè)計

自抗擾控制算法能對系統(tǒng)外部干擾起到較好的抑制和弱化作用，尤其適用于不確定性因素影響下的動態(tài)系統(tǒng)。本文針對企業(yè)在訂單激增，臨時撤單等情況下，庫存系統(tǒng)受外部隨機干擾較嚴重時無法快速、穩(wěn)定地恢復(fù)原有狀態(tài)的問題，設(shè)計了一種基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型。該基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型主要由跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）、擴張狀態(tài)觀測器和非線性狀態(tài)誤差反饋控制律（Nonlinear State Error Feedback Control Law，NLSEF）三部分相互作用形成［27］，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖1 企業(yè)庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間框圖Fig.1 Block diagram of enterprise inventory system

圖2 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型框圖Fig.2 Block diagram of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC

自抗擾控制通過對企業(yè)庫存系統(tǒng)受到的隨機擾動進行估計，主動補償擾動對庫存系統(tǒng)的影響，從而實現(xiàn)隨機擾動下企業(yè)庫存系統(tǒng)的控制和優(yōu)化。具體來說，跟蹤微分器能夠提取系統(tǒng)輸入市場需求中的擾動信號，對信號進行跟蹤和輸入，進而控制隨機擾動下庫存系統(tǒng)的最大響應(yīng)幅度和響應(yīng)時間；擴張狀態(tài)觀測器通過對隨機擾動信號進行狀態(tài)估計，形成合理的控制信號，削弱隨機擾動對庫存系統(tǒng)的影響；非線性狀態(tài)誤差反饋控制律根據(jù)庫存系統(tǒng)受到擾動時和正常情況下的庫存狀態(tài)差值，確定相應(yīng)的控制量，配合擴張狀態(tài)觀測器對庫存系統(tǒng)進行及時調(diào)整。

首先設(shè)計跟蹤微分器。為使庫存系統(tǒng)的外部市場需求信號更易跟蹤，降低外部隨機擾動的干擾，弱化反饋誤差，本文對目標需求信號，即實際市場需求，采用一種過渡過程進行處理。定義如下跟蹤微分方程組，其二階形式為：

其中控制量u采用如下形式：

采用v(k)為輸入的目標需求信號，v1(k)為目標需求信號v(k)的跟蹤信號，v2(k)為v1(k)的微分信號，r為速度因子，h為非線性函數(shù)fhan(·)的采樣時間，其跟蹤微分表達式參照文獻［27］設(shè)計為組合式（28）的形式：

通過跟蹤微分算法可將較為柔和的跟蹤信號v1(k)代替被擾動的目標需求信號v(k)，并得到較為光滑的微分信號v2(k)，進而更好地實現(xiàn)后面的控制優(yōu)化模型。

其次，設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器。對于庫存系統(tǒng)外部的市場隨機擾動，本文通過構(gòu)造擴張狀態(tài)觀測方程組對其進行觀測，并進行補償。在式（24）中，將系統(tǒng)內(nèi)部擾動和外部擾動納入f(x1，x2，t)中，對于式（25）所示的二階系統(tǒng)，本文定義如下形式的擴張狀態(tài)觀測方程組：

其中：y(t)為系統(tǒng)輸出，zi(t)(i=1，2，3)為觀測值，e(t)為ESO觀測誤差，β0i為觀測器增益系數(shù)，fal(e，λ，δ)為非線性函數(shù)，其算法［27］為：

其中，δ是為了防止誤差接近于零時增益過大而產(chǎn)生庫存系統(tǒng)較大波動而設(shè)置的線性區(qū)間長度，區(qū)間為(-δ，δ)。

最后，設(shè)計非線性狀態(tài)誤差反饋控制律。在線性反饋下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與反饋增益成反比，而在非線性反饋下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與使用的非線性函數(shù)有關(guān)，故自抗擾控制通過選用適合的非線性函數(shù)來生成控制量。本文中采用如下形式的非線性反饋函數(shù)：

其中：z3為擴張狀態(tài)觀測器中針對擾動部分被擴張出來的觀測狀態(tài)，b為補償因子，u為補償庫存系統(tǒng)和擾動作用的分量。非線性反饋控制律可以使庫存系統(tǒng)通過補償隨機擾動從而生成預(yù)測需求量來指導(dǎo)企業(yè)庫存系統(tǒng)進行合理訂貨（即系統(tǒng)輸出）。

至此，基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型已設(shè)計完畢，其Simulink 框圖如圖3 所示。

圖3 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型仿真框圖Fig.3 Simulation block diagram of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC

3 仿真與對比研究

為驗證基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的有效性，本文應(yīng)用Matlab/Simulink 平臺對自抗擾控制器進行設(shè)計，并對企業(yè)隨機擾動庫存系統(tǒng)進行仿真優(yōu)化研究。具體實驗步驟為：首先，搭建基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型，包括跟蹤微分器、擴張狀態(tài)觀測器、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律和企業(yè)動態(tài)庫存系統(tǒng)；其次，對基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型進行參數(shù)整定與優(yōu)化，選取與動態(tài)庫存系統(tǒng)相匹配的參數(shù)組合，以提高系統(tǒng)的控制效果和控制精度；最后，以庫存系統(tǒng)的缺貨次數(shù)、剩余庫存均值、剩余庫存標準差、進貨量均值和進貨量標準差為控制指標，對仿真結(jié)果進行綜合分析，驗證基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的優(yōu)化效果。

3.1 參數(shù)整定與優(yōu)化

本文在Simulink 平臺中對優(yōu)化模型進行仿真，采用階躍信號和波動相對平穩(wěn)的正弦信號進行參數(shù)整定測試，由于平滑指數(shù)取值取決于數(shù)據(jù)源的波動程度，即波動較大時，α相對較大，波動平穩(wěn)時，α取值較小，0 ＜α＜1［28］。針對采用階躍信號的參數(shù)實驗階段，取平滑指數(shù)α=0.8。

對于基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型而言，參數(shù)整定是首要問題。在本文設(shè)計的基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型中，跟蹤微分環(huán)節(jié)的參數(shù)r、h的調(diào)整能夠有效解決系統(tǒng)超調(diào)問題，即當(dāng)市場需求受擾動干擾發(fā)生巨大變化時，期望庫存的超調(diào)量不會過大。擴張狀態(tài)觀測環(huán)節(jié)中，參數(shù)β01、β02及β03的具體選擇由系統(tǒng)的采樣步長決定，它們主要解決系統(tǒng)滯后性和振蕩問題，在具體的調(diào)節(jié)過程中可先調(diào)節(jié)β03觀測效果，直到系統(tǒng)跟蹤效果較好時，再對β01、β02進行調(diào)節(jié)以提升控制系統(tǒng)性能，使需求預(yù)測能快速低滯后、穩(wěn)定無振蕩地跟隨市場實際需求的變化而變化。非線性反饋控制律中，k1、k2為非線性函數(shù)fal(·)前的系數(shù)，b為補償因子，主要用于補償外部擾動，以使期望庫存的設(shè)定能在抗干擾環(huán)境下跟隨市場需求波動［29-30］。

首先對基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型進行參數(shù)整定，自抗擾控制各環(huán)節(jié)初始狀態(tài)下各參數(shù)為：

跟蹤微分環(huán)節(jié)r=120，h=0.8。

狀態(tài)觀測環(huán)節(jié)β01=80，β02=55，β03=70。

非線性反饋率k1=25，k2=30。

初始狀態(tài)下，優(yōu)化模型跟蹤曲線如圖4 所示，由圖4 可見，系統(tǒng)響應(yīng)振蕩較多、幅度較大且響應(yīng)速度較慢。

圖4 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型初始狀態(tài)下跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC in initial state

初始狀態(tài)下，基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的階躍響應(yīng)如圖5 所示。

圖5 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型初始狀態(tài)下階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC in initial state

通過實驗可以看出，在階躍響應(yīng)中，初始狀態(tài)的基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的超調(diào)量達到60%，調(diào)節(jié)時間為70 s。

為使庫存系統(tǒng)對隨機擾動下需求的響應(yīng)達到準確、快速、穩(wěn)定、超調(diào)小的目的，對系統(tǒng)各環(huán)節(jié)不同參數(shù)進行整定，經(jīng)過大量實驗后最后確定最優(yōu)參數(shù)組合，結(jié)果如下：

跟蹤微分環(huán)節(jié)r=150，h=1。

狀態(tài)觀測環(huán)節(jié)β01=10，β02=100，β03=10。

非線性反饋率k1=95，k2=20。

參數(shù)整定后，對應(yīng)的跟蹤曲線如圖6 所示。與圖4 相比，在系統(tǒng)的上升與下降沿部分，響應(yīng)速度均有相對提高，響應(yīng)振蕩幅度明顯減小，自抗擾控制器跟蹤精度有較大的提高。

圖6 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型參數(shù)整定后跟蹤曲線Fig.6 Tracking curve of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC after parameter tuning

參數(shù)整定后，基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的階躍響應(yīng)結(jié)果如圖7 所示。

圖7 基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型參數(shù)整定后階躍響應(yīng)Fig.7 Step response of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC after parameter tuning

通過實驗結(jié)果可以看出，參數(shù)整定后的階躍實驗中，優(yōu)化模型的超調(diào)量由60%下降到50%，達到穩(wěn)定狀態(tài)的調(diào)節(jié)時間也下降為40 s，系統(tǒng)的控制效果較好。因此，通過對優(yōu)化模型的跟蹤精度、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間進行觀測，可知該組參數(shù)組合適用于本文所提出的基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型。

3.2 仿真對比

在基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型中，企業(yè)每一周期對需求的預(yù)測要根據(jù)歷史實際需求信息制定，而實際需求除正常波動外還會受諸多不確定擾動影響，如臨時加單、撤單，這增強了其不確定性，加大了庫存系統(tǒng)的控制難度。當(dāng)需求波動伴隨隨機擾動信號輸入基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型時，自抗擾控制器會對其進行觀測并模擬，通過狀態(tài)反饋控制輸出，指導(dǎo)企業(yè)訂貨決策，保證庫存系統(tǒng)在隨機擾動下仍能穩(wěn)定運行，降低庫存成本。本文收集了某大型批發(fā)市場自2018 年1 月至2019 年12 月中50個周期米醋的實際銷售量進行實證研究，如表2 所示，其平均值為347，標準差為202；除此之外，在第15、30、35 周期增加持續(xù)時間為1 s 的3 個振幅分別為500、500 和-400 的不定時正負脈沖信號作為隨機擾動量，即在實際市場需求的基礎(chǔ)上增加瞬時擾動，采用上述參數(shù)整定優(yōu)化后的基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型進行仿真對比。

表2 某批發(fā)市場米醋實際銷售量數(shù)據(jù)Tab.2 Actual sales volume data of rice vinegar in wholesale market

為驗證基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的有效性，本文對庫存系統(tǒng)進行三個仿真實驗，分別為：無隨機擾動庫存系統(tǒng)仿真、隨機擾動庫存系統(tǒng)仿真和基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型仿真。

三種庫存系統(tǒng)的訂貨量仿真結(jié)果如表3 所示。

表3 庫存系統(tǒng)訂貨量仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results of order quantity in inventory system

三種庫存系統(tǒng)的訂貨量仿真對比如圖8 所示。結(jié)果表明，在隨機擾動的影響下，企業(yè)訂貨量波動明顯增大；而基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型能夠弱化隨機擾動對企業(yè)庫存系統(tǒng)的影響，保證其穩(wěn)定運行，指導(dǎo)企業(yè)進行合理訂貨。

圖8 庫存系統(tǒng)訂貨量對比Fig.8 Comparison of order quantity in inventory system

圖9 為庫存系統(tǒng)訂貨量移動標準差對比情況?；谧钥箶_控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型訂貨量移動標準差略小于無隨機擾動庫存系統(tǒng)，明顯小于隨機擾動庫存系統(tǒng)。結(jié)果表明，自抗擾控制系統(tǒng)不僅能夠削弱隨機擾動對企業(yè)訂貨決策的影響，還能夠進一步修正市場實際需求，使庫存系統(tǒng)對需求響應(yīng)能夠達到抗擾、準確、快速、穩(wěn)定的效果，降低企業(yè)訂貨波動。

圖9 庫存系統(tǒng)訂貨量移動標準差對比Fig.9 Comparison of order quantity moving standard deviation in inventory system

圖10 為庫存系統(tǒng)訂貨量移動均值對比情況，無隨機擾動企業(yè)訂貨量均值為349；隨機擾動企業(yè)訂貨量均值為364；而基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的企業(yè)訂貨量均值為358。實驗結(jié)果證明，基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型能夠有效減小企業(yè)訂貨量，合理利用資源，降低庫存成本。

圖10 庫存系統(tǒng)訂貨量移動均值對比Fig.10 Comparison of order quantity moving mean in inventory system

三種庫存系統(tǒng)的剩余庫存量仿真結(jié)果如表4 所示。

表4 庫存系統(tǒng)剩余庫存量仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of residual inventory in inventory system

三種庫存系統(tǒng)的剩余庫存量仿真對比如圖11 所示，隨機擾動擾亂企業(yè)庫存系統(tǒng)，分別在第16 和第32 周期出現(xiàn)2次缺貨現(xiàn)象；而自抗擾控制能夠優(yōu)化庫存系統(tǒng)，穩(wěn)定企業(yè)庫存，完全改善缺貨現(xiàn)象。

圖11 庫存系統(tǒng)剩余庫存量對比Fig.11 Comparison of residual inventory in inventory system

圖12 為庫存系統(tǒng)剩余庫存量移動標準差的對比情況。由圖可知，自抗擾控制能夠弱化隨機擾動對企業(yè)庫存系統(tǒng)的影響，減小庫存波動，使其處于相對穩(wěn)定運行的狀態(tài)。

圖12 庫存系統(tǒng)剩余庫存量移動標準差對比Fig.12 Comparison of residual inventory moving standard deviation in inventory system

圖13 為庫存系統(tǒng)剩余庫存量移動均值的對比情況，無隨機擾動企業(yè)平均剩余庫存量為145，隨機擾動企業(yè)平均剩余庫存量為320，而基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的企業(yè)平均剩余庫存為237。結(jié)果表明，基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型能夠有效改善由外部隨機擾動引起的庫存大量積壓現(xiàn)象，減少資源浪費。

圖13 庫存系統(tǒng)剩余庫存量移動均值對比Fig.13 Comparison of residual inventory moving mean in inventory system

為了更加直觀地體現(xiàn)基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的優(yōu)化效果，現(xiàn)將無隨機擾動、隨機擾動和基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型仿真結(jié)果量化形成對比表，如表5 所示。

表5 三種模型仿真結(jié)果對比Tab.5 Comparison of simulation results of three models

4 結(jié)語

本文針對隨機擾動企業(yè)庫存控制問題進行深入研究，從工程控制的角度，建立了基于動態(tài)微分方程的庫存系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，并通過拉普拉斯變換對庫存系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行推導(dǎo)，進而得到自抗擾控制受控對象的標準形式，建立基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型。為提高基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型的精準程度并驗證其控制效果，本文通過大量實驗對基于自抗擾控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型進行復(fù)雜參數(shù)整定與優(yōu)化，確定一組最優(yōu)控制參數(shù)組合；收集某大型批發(fā)市場實際銷售量數(shù)據(jù)作為系統(tǒng)輸入，并使用Simulink 軟件對系統(tǒng)進行仿真實驗。仿真實驗表明，隨機擾動使企業(yè)無法快速、準確地識別真實市場需求并及時調(diào)整訂貨策略，進而導(dǎo)致缺貨、庫存積壓和庫存成本過高的現(xiàn)象?；谧钥箶_控制的隨機擾動庫存系統(tǒng)優(yōu)化模型能夠修正庫存系統(tǒng)輸入，指導(dǎo)企業(yè)科學(xué)、合理地制定訂貨策略，進而保證庫存系統(tǒng)穩(wěn)定運行。在消除缺貨現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，降低庫存持有量，減小庫存積壓，有效弱化市場隨機擾動對企業(yè)庫存系統(tǒng)的影響。

本文應(yīng)用自抗擾控制實現(xiàn)隨機擾動下的庫存系統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化，從而為企業(yè)庫存系統(tǒng)抗擾和穩(wěn)定運營提供優(yōu)化策略，降低不穩(wěn)定性輸入導(dǎo)致的運營成本，為企業(yè)的實際生產(chǎn)運營提供理論借鑒和應(yīng)對方法。依托本文隨機擾動下庫存自抗擾優(yōu)化模型，可以進一步進行相關(guān)拓展研究。本文為方便計算，使用指數(shù)平滑預(yù)測法進行需求預(yù)測，未來可采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法進行更精準的需求預(yù)測；除此之外，本文只考慮了單級庫存系統(tǒng)，未來可針對供應(yīng)鏈多級庫存系統(tǒng)進行研究。