基于黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制的阿基米德優(yōu)化算法

陳 俊，何慶，李守玉

（貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025）

0 引言

近年來隨著科學(xué)技術(shù)，特別是電子信息技術(shù)的飛速發(fā)展，全局優(yōu)化方法在電力調(diào)度［1］、控制工程［2］、圖像處理［3］、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理［4］等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛；然而對(duì)于非線性以及目標(biāo)函數(shù)不可導(dǎo)的全局優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難在合理時(shí)間內(nèi)解決。利用類似仿生學(xué)原理，將自然、動(dòng)物的一些現(xiàn)象抽象成的算法——元啟發(fā)算法［5-13］為解決復(fù)雜全局優(yōu)化問題提供了一種新途徑。該類方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)要求低、容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性好，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

阿基米德優(yōu)化算法（Archimedes Optimization Algorithm，AOA）是2020 年由Hashim 等［14］提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法。該算法靈感來源于浸入流體中的物體與物體所受浮力的關(guān)系，個(gè)體通過不斷調(diào)整自身密度和體積，使物體達(dá)到平衡狀態(tài)，其中調(diào)整的過程即是種群尋優(yōu)過程，達(dá)到平衡狀態(tài)的個(gè)體即是全局最優(yōu)解。相較于其他算法，AOA 局部搜索能力強(qiáng)、收斂速度快，但是仍存在很多不足：首先在迭代中后期算法不斷圍繞著全局最優(yōu)位置的尋優(yōu)方式，導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)，且全局搜索能力差；其次在搜索過程中，算法很難從個(gè)體信息上獲取收益。

針對(duì)上述存在問題，本文提出了一種多策略阿基米德優(yōu)化算法（Multi-Strategy improved AOA，MSAOA）。首先，利用變區(qū)間初始化策略來過濾搜索空間中冗余信息，以保證初始解的質(zhì)量；其次，提出黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制，擴(kuò)大個(gè)體在迭代后期的搜索范圍，以提高算法跳出局部最優(yōu)的能力；最后，根據(jù)個(gè)體自身適應(yīng)度值動(dòng)態(tài)調(diào)整搜尋半徑，在密度下降因子中引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子，提高AOA 的收斂速度。20 個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)測(cè)試的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法性能優(yōu)于原始算法，并通過4 個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)實(shí)例證實(shí)了所提算法可行性和有效性。

本文主要工作包括以下3 點(diǎn)：

1）提出了變區(qū)間初始化策略，提取和過濾搜索空間中的有用信息以保證初始種群向全局最優(yōu)解靠近。

2）提出了黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制，有效提高了種群多樣性，增強(qiáng)了算法跳出局部的能力。

3）提出了自適應(yīng)波長(zhǎng)算子，并將其融入密度因子中，有效增強(qiáng)了個(gè)體的學(xué)習(xí)效率，以提高算法的尋優(yōu)精度。

1 阿基米德優(yōu)化算法

阿基米德優(yōu)化算法（AOA）是一種基于種群的優(yōu)化算法，設(shè)計(jì)靈感來自阿基米德定理。該原理指出，當(dāng)物體完全或部分浸入流體中時(shí)，流體給物體施加的浮力大小與排出液體的質(zhì)量（體積）成正比［15］：若物體受到的浮力等于排出液體質(zhì)量時(shí)，視為該物體處于平衡狀態(tài)，如式（1）所示。假設(shè)許多物體浸沒在同一種流體中。每個(gè)物體都試圖達(dá)到平衡狀態(tài)。浸沒的物體有不同的密度p和體積v，從而導(dǎo)致不同的加速度a。

其中：b 表示為流體，o 表示為物體個(gè)體。根據(jù)式（1）可將物體的加速度公式表示為式（2）：

假如物體o 與另一個(gè)鄰近物體r 的碰撞，導(dǎo)致當(dāng)前物體的平衡狀態(tài)將受到鄰近物體的影響，則當(dāng)前物體的平衡狀態(tài)將為：

與其他的元啟發(fā)式算法一樣，AOA 以隨機(jī)初始化物體的密度、體積和加速度開始搜索。在評(píng)估了初始種群的適應(yīng)度后，AOA 進(jìn)行迭代更新，直到終止條件滿足。在每次迭代中，AOA 會(huì)根據(jù)個(gè)體與其他鄰近個(gè)體是否發(fā)生碰撞選擇位置方式，并更新個(gè)體自身屬性。更新后的密度、體積、加速度決定了下一代個(gè)體的新位置。以下是AOA 步驟的詳細(xì)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

在初始化階段，AOA 會(huì)隨機(jī)初始化每個(gè)對(duì)象的體積（vol）、密度（den）、加速度（acc）。在此過程中，AOA 將評(píng)估初始種群，選取當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體（xbest）、最優(yōu)個(gè)體的密度（denbest）、體積（volbest）、加速度（accbest），用于其他個(gè)體密度、體積和加速度的更新。

式中：和為在t代中第i個(gè)和i+1 個(gè)體的密度和為在第t代中第i個(gè)和i+1 個(gè)個(gè)體的體積；rand∈(0，1)的隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)浸透在液體中的物體是否發(fā)生碰撞，AOA 將其分為全局探索和局部搜索階段。若未發(fā)生碰撞，AOA 進(jìn)行全局探索階段；反之，進(jìn)行局部開發(fā)階段。通過設(shè)置遷移算子（Transfer Factor，TF），用于對(duì)兩個(gè)階段的切換，其定義如下：

式中：t和tmax分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。

不同階段對(duì)應(yīng)不同加速度更新公式。當(dāng)TF≤0.5，AOA進(jìn)行全局搜索，個(gè)體的加速度進(jìn)行更新方式為式（6）：

當(dāng)TF＞0.5，AOA 進(jìn)行局部開發(fā)。個(gè)體的加速度進(jìn)行更新方式為式（7）：

為了規(guī)范個(gè)體的更新步長(zhǎng)范圍，AOA 將對(duì)個(gè)體的加速度進(jìn)行歸一化操作，如式（8）所示：

在全局搜索階段，個(gè)體位置根據(jù)式（9）進(jìn)行位置更新：

在局部開發(fā)階段，個(gè)體位置根據(jù)式（11）進(jìn)行位置更新：

式中：C2為固定常數(shù)；F為方向因子，用于決定迭代的位置更新方向，其定義為：

其 中：P=2rand-C4，C4為固定常 數(shù)；T=C3×TF，且T∈［0.3C3，1］，C3為固定常數(shù)。

2 多策略阿基米德優(yōu)化算法

2.1 變區(qū)間初始化策略

初始化種群的好壞一定程度上決定了算法的性能，初始種群在解空間中的細(xì)微不同，都可能影響算法進(jìn)化方向。AOA 的初始種群在搜索空間中隨機(jī)產(chǎn)生，導(dǎo)致初始種群分布不均勻，搜索范圍有限。為了解決以上問題，獲得好的初始種群，本文利用變區(qū)間初始化策略來提取搜索空間中有用信息以保證種群向全局最優(yōu)解靠近。

對(duì)于優(yōu)化問題：

式中：LB（Lower Bound）表示搜索空間中的搜索下限；UB（Upper Bound）表示搜索空間中的搜索上限。變區(qū)間初始化策略對(duì)就是通過不斷縮短[LB，UB]，將初始種群逼近到式（13）中近似最優(yōu)解的附近。

首先在中間取一個(gè)中點(diǎn)l。

生成兩個(gè)個(gè)體：

式中a和b分別為：

計(jì)算f（x1）和f（x2）并比較它們大小，若f（x1）＞f（x2），則有x*∈［l，UB］，從而將潛在的最優(yōu)解位置收縮到［l，UB］內(nèi)；然后依次迭代，不斷縮短搜索區(qū)間，并將搜索空間［LB，UB］分割成n-1 個(gè)子區(qū)間，把初始種群聚集到問題（13）的最優(yōu)解附近。具體步驟參見算法1。

算法1 變區(qū)間初始化策略偽代碼。

2.2 黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制

在AOA 中，當(dāng)遷移算子TF＜0.5 時(shí)，AOA 進(jìn)入全局開發(fā)階段。由遷移算子定義可知TF∈(0.36，1]，并且遷移算子會(huì)隨迭代次數(shù)線性增長(zhǎng)。該現(xiàn)象導(dǎo)致絕大部分迭代圍繞著最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行位置更新，引導(dǎo)個(gè)體朝向最優(yōu)個(gè)體方向移動(dòng)；然而當(dāng)最優(yōu)個(gè)體陷入局部最優(yōu)時(shí)，很容易導(dǎo)致算法出現(xiàn)搜索停止的現(xiàn)象。為了加強(qiáng)AOA 跳出局部最優(yōu)的能力，本文提出黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制。

在凸優(yōu)化理論中，AOA 收斂的關(guān)鍵之一是其步長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)滿足適定性［16］，即：步長(zhǎng)較大會(huì)使得算法搜索精度低且收斂后期出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象；步長(zhǎng)較小會(huì)導(dǎo)致搜索速度低，且不易跳出局部最優(yōu)。萊維步長(zhǎng)［17］是一種服從萊維分布的隨機(jī)游動(dòng)，其短距離與較長(zhǎng)距離步長(zhǎng)相間的特性，使得在未知范圍內(nèi)搜索時(shí)，能夠達(dá)到更大范圍，從而有助于算法跳出局部最優(yōu)。步長(zhǎng)s的計(jì)算公式為：

其中μ和ν服從正態(tài)分布：μ～N(0，σ2μ)，ν～N(0，σ2ν)。

式中：σν通常取1；Γ（β）是Gamma 函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［18］可知，β取值影響萊維飛行步長(zhǎng)軌跡，β取值越大，局部開發(fā)能力越強(qiáng)。

其次，本文引入正弦函數(shù)與單位圓之間的關(guān)系［19］，使得種群能遍歷正弦函數(shù)上的所有點(diǎn)，即單位圓上的所有點(diǎn)。個(gè)體位置更新公式為：

式中：R1∈［0，2π］的隨機(jī)數(shù)，R1和萊維步長(zhǎng)s共同決定搜索半徑；R2∈［0，π］的隨機(jī)數(shù)，決定個(gè)體的位置更新方向；θ1和θ2是引入的黃金分割系數(shù)τ，其目的是縮小搜索空間，使得算法在每次迭代都會(huì)對(duì)能產(chǎn)生優(yōu)秀解的區(qū)域進(jìn)行充分搜索，從而加快了算法收斂速度。公式中具體參數(shù)表達(dá)式如下所示：

最后，雖然對(duì)目標(biāo)個(gè)體使用黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制，能讓算法跳出局部最優(yōu)，但并不能保證新的個(gè)體位置優(yōu)于原目標(biāo)個(gè)體位置，因此在引導(dǎo)機(jī)制后加入貪婪機(jī)制，通過比較個(gè)體位置更新前后個(gè)體適應(yīng)度后再?zèng)Q定是否更新目標(biāo)位置，以保留適應(yīng)度較好的個(gè)體。貪婪機(jī)制具體操作表達(dá)式如下：

2.3 自適應(yīng)波長(zhǎng)算子

受到浸泡在液體中運(yùn)動(dòng)物體會(huì)導(dǎo)致水平面發(fā)生波動(dòng)現(xiàn)象啟發(fā)，本文提出了自適應(yīng)波長(zhǎng)算子：達(dá)到自身平衡（適應(yīng)度較好）的個(gè)體，引起波動(dòng)較小，從而具有較長(zhǎng)的波長(zhǎng)；還遠(yuǎn)未達(dá)到自身平衡（適應(yīng)度較差）的個(gè)體運(yùn)動(dòng)會(huì)引起的較大波動(dòng)，從而具有較短的波長(zhǎng)。

在AOA 中，由于缺乏多樣性的操作，當(dāng)AOA 進(jìn)化到一定的程度時(shí)，導(dǎo)致AOA 很難從自身適應(yīng)度獲取收益。因此結(jié)合浸泡在液體中運(yùn)動(dòng)物體的物理現(xiàn)象，本文提出自適應(yīng)波長(zhǎng)算子增強(qiáng)個(gè)體學(xué)習(xí)效率，提高算法尋優(yōu)精度。

式中：λi表示第i個(gè)體運(yùn)動(dòng)引起的波長(zhǎng)系數(shù)；f（Xi）表示當(dāng)前迭代中第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值；fmin和fmax分別表示當(dāng)前迭代中最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值；α為衰減因子，ε為一個(gè)非常小的有理數(shù)，以防止分母為0 的情況。最后將自適應(yīng)波長(zhǎng)系數(shù)融合到密度因子，得到新密度因子更新公式為：

式中表示在t+1 代中第i個(gè)個(gè)體的密度因子。新的密度因子的大小會(huì)根據(jù)個(gè)體自身適應(yīng)度動(dòng)態(tài)變化：適應(yīng)度接近最優(yōu)適應(yīng)度的個(gè)體，AOA 保持原來的密度因子的性質(zhì)；而適應(yīng)度較差的個(gè)體，密度因子接近最大值，使當(dāng)前個(gè)體擁有較長(zhǎng)的步長(zhǎng)，快速向最優(yōu)解靠近。

2.4 MSAOA時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度從理論上反映算法的收斂速度，在AOA 中，假設(shè)參數(shù)初始化（最大迭代次數(shù)為M，種群規(guī)模為n，空間維度d等參數(shù)），求解目標(biāo)的適應(yīng)度函數(shù)時(shí)間為f（d），由文獻(xiàn)［14］可知，AOA 時(shí)間復(fù)雜度為O（M（n×f（d））），MSAOA 的時(shí)間復(fù)雜度與AOA 相同，分析如下。

初始化階段 假設(shè)種群初始化參數(shù)比之前多x1，且變區(qū)間初始化策略時(shí)間復(fù)雜度O（n×f（d）），則MSAOA 種群初始階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制階段 假設(shè)每一維度計(jì)算levy（λ）需要的時(shí)間為x2；生成隨機(jī)數(shù)需要的時(shí)間為x3；根據(jù)式（19）需要的時(shí)間復(fù)雜度為O（2f（d）），則該策略需要的時(shí)間復(fù)雜度為：

引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子后的時(shí)間復(fù)雜度與AOA 基本相同。綜上MSAOA 的時(shí)間復(fù)雜度為：

2.5 AOA的實(shí)現(xiàn)流程

本文所提算法MSAOA 的流程如圖1 所示。

圖1 MSAOA流程Fig.1 Flowchart of MSAOA

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了全面驗(yàn)證本文改進(jìn)策略的有效性和魯棒性，以及改進(jìn)后算法的性能。本文驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)分為3 個(gè)部分進(jìn)行。

1）將MSAOA 與不同改進(jìn)策略進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性；

2）將MSAOA 與其他群智能算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，再次驗(yàn)證MSAOA 的有效性；

3）通過Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證本文算法與其他對(duì)比算法之間的差異顯著性。

實(shí)驗(yàn)引入20 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)，分為3 類：第1 類為單峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，表1 中F1～F7 所示；第2 類為多峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，如表1 中的F8～F14 所示；第3 類為固定維度的多峰基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，如表1 中的F15～F20 所示。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Benchmark test functions

算法的基本參數(shù)：種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為1 000，算法內(nèi)參數(shù)如表2 所示。

表2 算法內(nèi)參數(shù)Tab.2 Parameters in algorithms

3.1 與不同的改進(jìn)策略對(duì)比

為了驗(yàn)證本文所提算法和每個(gè)改進(jìn)點(diǎn)的效果，將多策略阿基米德優(yōu)化算法（MSAOA）與阿基米德優(yōu)化算法（AOA）、僅加入變區(qū)間初始化策略的阿基米德優(yōu)化算法（AOA1）、僅加入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子的阿基米德優(yōu)化算法（AOA2）以及僅加入黃金萊維飛行引導(dǎo)機(jī)制的阿基米德優(yōu)化算法（AOA3），同時(shí)在20 個(gè)經(jīng)典基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)下對(duì)比實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而客觀地反映算法改進(jìn)的有效性。

首先，為了體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性能，圖2 所示的6 個(gè)測(cè)試函數(shù)運(yùn)行30 次的平均收斂曲線，其中縱坐標(biāo)取10 為底的對(duì)數(shù)。通常采用單峰值函數(shù)（F1、F3、F6）來評(píng)價(jià)算法的開發(fā)能力，多峰值函數(shù)（F8、F10、F11）來評(píng)價(jià)算法的全局探索能力。由于加入黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制，AOA 更容易跳出局部最優(yōu)，所以MSAOA 的收斂速度和收斂精度上都優(yōu)于其他算法，進(jìn)而驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。

圖2 基準(zhǔn)函數(shù)的平均收斂曲線Fig.2 Average convergence curves of benchmark functions

其次，表3 中最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差分別反映算法的尋優(yōu)能力以及穩(wěn)定性和魯棒性。

表3 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果Tab.3 Test results on benchmark test functions

從表3 縱向來看，在除去F12 外的單峰值函數(shù)，MSAOA均能找到理論最優(yōu)值，且標(biāo)準(zhǔn)差最小。對(duì)于函數(shù)F7，MSAOA雖然沒有達(dá)到理論最優(yōu)值，但是MSAOA 的性能指標(biāo)均優(yōu)于其他算法。對(duì)于7 個(gè)多峰值函數(shù)，算法的求解精度相較于單峰值函數(shù)有所下降。MSAOA 在求解多峰值函數(shù)時(shí)，其中F8、F10、F11 達(dá)到理論最優(yōu)值，且穩(wěn)定性最好。對(duì)于其余多峰值函數(shù)，MSAOA 尋優(yōu)精度以及穩(wěn)定性上都優(yōu)于AOA，客觀說明MSAOA 能有效幫助算法跳出局部最優(yōu)，擁有更強(qiáng)的全局搜索能力。對(duì)于固定維度函數(shù)，MSAOA 的平均值更接近理論最優(yōu)值，同時(shí)MSAOA 的標(biāo)準(zhǔn)差明顯優(yōu)于AOA?？v向來說，3個(gè)改進(jìn)策略對(duì)算法性能都有一定程度上的提升，其中僅加入黃金萊維飛行策略的阿基米德優(yōu)化算法（AOA3）表現(xiàn)最為突出，引入自適應(yīng)波長(zhǎng)算子的阿基米德優(yōu)化算法（AOA2）其次，結(jié)合變區(qū)間初始化策略的阿基米德優(yōu)化算法（AOA1）次之。綜合MSAOA 在表3、4 以及圖2 上的表現(xiàn)，證明MSAOA 在多種基準(zhǔn)函數(shù)上的求解效果，具有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力。

3.2 與其他群智能算法進(jìn)行比較

將MSAOA 與粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法、灰狼優(yōu)化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）、正余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）和均衡器算法（Equilibrium Optimizer，EO）進(jìn)行性能比較，結(jié)果如表4 所示。對(duì)該五種算法在最大迭代次數(shù)為500、空間維度為100、種群規(guī)模為30 條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由表4 可知，MSAOA在單峰基準(zhǔn)函數(shù)的表現(xiàn)均優(yōu)于其他算法，達(dá)到了顯著的優(yōu)化效果。在多峰函數(shù)中，對(duì)于尋優(yōu)難度較大的F12，MSAOA 穩(wěn)定性不如最新的均衡器算法（EO）；然而，對(duì)于具有許多局部極小值點(diǎn)的F10 以及多模態(tài)函數(shù)F13，均達(dá)到了一定數(shù)量級(jí)的優(yōu)化效果，并且在具有強(qiáng)烈震蕩的復(fù)雜多模態(tài)函數(shù)F9 和F11 中，均取得理論最優(yōu)值。最后在固定維度函數(shù)中，F(xiàn)17～F19 優(yōu)化效果稍遜于均衡器算法（EO）。MSAOA 對(duì)于其他的固定維度測(cè)試函數(shù)上的優(yōu)化效果仍然相對(duì)較好。

表4 所提算法與四種群智能算法結(jié)果比較Tab.4 Comparison of results of the proposed algorithm and four swarm intelligence algorithms

綜上所述，本文提出多策略改進(jìn)的阿基米德優(yōu)化算法求解精度高、魯棒性強(qiáng)和收斂較快，取得了相對(duì)較好的優(yōu)化效果，提高了原始阿基米德優(yōu)化算法的優(yōu)化效率。

3.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

本文采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證MSAOA 與其他算法的顯著性差異。每次運(yùn)行結(jié)果在p=5%的顯著性水平下，當(dāng)p值小于5%時(shí)，拒絕H0 假設(shè)，說明兩種算法的差異性顯著，否則就是接受H0 假設(shè)，說明兩種算法在整體上是相同的。由于算法不能和自身比較，所以表5 中的標(biāo)記為“NaN”表不適用，無法進(jìn)行顯著判斷；“R”為顯著性判斷結(jié)果；“+”“-”“=”分別表示MSAOA 的性能優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對(duì)比算法的次數(shù)。從表5 中可以觀察到大部分的p值是小于5%，因此表明該算法的性能在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，從而表明MSAOA 比其他算法擁有更好的優(yōu)越性。

表5 基準(zhǔn)函數(shù)上Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)p值Tab.5 p-values for Wilcoxon rank-sum test on benchmark functions

4 機(jī)械優(yōu)化實(shí)例及結(jié)果分析

優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的一門新學(xué)科與設(shè)計(jì)方法。在實(shí)際機(jī)械設(shè)計(jì)中，某一類具體的實(shí)際問題都有其特定應(yīng)用場(chǎng)合，表現(xiàn)出其特點(diǎn)以及復(fù)雜性。絕大多數(shù)機(jī)械問題與數(shù)學(xué)模型有著緊密聯(lián)系，其中設(shè)計(jì)變量的選擇、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件的確定是構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的主要步驟。該類問題的數(shù)學(xué)模型一般可以描述為如下帶約束優(yōu)化問題［20］：

在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常常會(huì)遇到這一類數(shù)值優(yōu)化問題。因此本文將提出的MSAOA 用于求解機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上，以驗(yàn)證MSAOA 在工程應(yīng)用中的有效性和可行性。選取焊接梁的設(shè)計(jì)問題［21］、壓縮彈簧的設(shè)計(jì)問題［22］、壓力管道設(shè)計(jì)問題［23］和懸臂梁設(shè)計(jì)問題［24］作為工程算例進(jìn)行分析。

為了體現(xiàn)比較的公平性，MSAOA 與粒子群優(yōu)化（PSO）算法、引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）、生物地理學(xué)優(yōu)化（Biogeography-Based Optimization，BBO）算法、差分進(jìn)化（Differential Evolutionary，DE）算法、蟻群優(yōu)化（Ant Colony Optimization，ACO）算法、樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm，SSA）、正余弦優(yōu)化算法（SCA）、AOA 進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)時(shí)，各算法外基本參數(shù)設(shè)置相同，種群的規(guī)模N=30 和最大迭代次數(shù)M=1 000，獨(dú)立運(yùn)行30 次。

4.1 焊接梁設(shè)計(jì)問題

該問題以如圖3 所示的焊接梁為研究對(duì)象，優(yōu)化目標(biāo)是使制造總成本最低。

圖3 焊接梁設(shè)計(jì)問題Fig.3 Welded beam design problem

該問題共包含4個(gè)決策變量：焊縫寬度h、長(zhǎng)度l、橫梁寬度d、厚度b，分別表示為x1、x2、x3、x4；包含7 個(gè)約束條件如式（30）所示：剪切應(yīng)力τ、橫梁彎曲應(yīng)力σ、屈曲載荷Pc、橫梁撓度δ以及各設(shè)計(jì)變量之間尺寸約束，具體數(shù)學(xué)約束方程表示如下：

MSAOA 與其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6 所示。從表6 中可知，MSAOA 對(duì)該問題的優(yōu)化效果要優(yōu)于其他的8種算法。

表6 九種不同算法求解焊接梁設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.6 Comparison of 9 different algorithms for solving welded beam design problem

4.2 壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題

該問題以如圖4 所示的壓縮彈簧為研究對(duì)象，優(yōu)化目標(biāo)是在受到最小偏差（g1）、剪切應(yīng)力（g2）、沖擊頻率（g3）、外徑限制（g4）和設(shè)計(jì)變量的條件下，盡可能減少?gòu)椈芍亓俊?/p>

圖4 壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題Fig.4 Compression spring design problem

該問題共包含3個(gè)決策變量，分別是線徑d（x1）、平均線圈直徑D（x2）及有效線圈數(shù)P（x3）。式（36）為不等式約束條件：

其中：0.05 ≤x1≤2.00，0.25 ≤x2≤1.30，2.00 ≤x3≤15.0。

MSAOA 與其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7 所示。從表7 中可知，MSAOA 對(duì)該問題的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差最小，優(yōu)化效果優(yōu)于其他8 種算法。

表7 九種算法求解壓縮彈簧設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.7 Comparison of 9 algorithms for solving compression spring design problem

4.3 壓力管道設(shè)計(jì)問題

根據(jù)壓力管道平面結(jié)構(gòu)圖5，該問題設(shè)計(jì)目標(biāo)為最小化費(fèi)用總成本。

圖5 壓力管道設(shè)計(jì)問題Fig.5 Pressure piping design problem

式中：x1（殼體厚度Ts）、x2（頭部厚度Th）、x3（內(nèi)半徑R）、x4（圓柱體長(zhǎng)度L）。該問題的約束方程如下所示：

對(duì)獲取最佳解決方案的不同算法進(jìn)行比較，從表8 可知，MSAOA 與其他算法相比，平均值優(yōu)于其他8 種算法，其次標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)小于其他8 種算法，表現(xiàn)出極強(qiáng)的穩(wěn)定性。

表8 九種算法求解壓力管道設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.8 Comparison of 9 algorithms for solving pressure piping design problem

4.4 懸臂梁設(shè)計(jì)問題

根據(jù)懸臂梁平面結(jié)構(gòu)（圖6），該問題受到不同單元梁高度或?qū)挾鹊募s束，設(shè)計(jì)目標(biāo)為盡可能減小懸臂梁矩形截面的重量。其數(shù)學(xué)模型如下：

圖6 懸臂梁設(shè)計(jì)問題Fig.6 Cantilever beam design problem

式中：f（x）為最小化懸臂梁矩形截面的重量，設(shè)計(jì)變量xi表示5 個(gè)不同單元梁的高度或?qū)挾取?/p>

表9 是MSAOA 與其他算法獲取最優(yōu)解的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表9 九種算法求解懸臂梁設(shè)計(jì)問題的對(duì)比Tab.9 Comparison of 9 algorithms for cantilever beam design problem

從表9 中可以明顯地看出，MSAOA 獲取的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都小于對(duì)比算法，具有較高的收斂精度和較強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)語

為了解決AOA 存在的問題，本文提出了一種多策略阿基米德優(yōu)化算法（MSAOA）。首先，提出了變區(qū)間初始化策略，為算法的迭代奠定良好基礎(chǔ)；其次，提出了黃金萊維引導(dǎo)機(jī)制，加強(qiáng)了AOA 跳出局部最優(yōu)的能力；最后，提出自適應(yīng)波長(zhǎng)算子，提高個(gè)體學(xué)習(xí)效率。將本文算法與主流算法在20 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)以及部分CEC2014 函數(shù)上進(jìn)行比較，使用數(shù)值分析、收斂性分析、Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。評(píng)估結(jié)果表明，本文算法有效，具有更高的尋優(yōu)精度和收斂速度，與對(duì)比算法差異性顯著；將本文算法應(yīng)用于4 個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)實(shí)例中，再次驗(yàn)證了MSAOA 的有效性和優(yōu)越性。下一步工作可圍繞著兩個(gè)方面進(jìn)行：將本文算法改進(jìn)思想應(yīng)用在其他元啟發(fā)式算法中，驗(yàn)證本文改進(jìn)策略的泛化能力以及有效性；將MSAOA 應(yīng)用在機(jī)器學(xué)習(xí)參數(shù)優(yōu)化和智能電網(wǎng)參數(shù)優(yōu)化當(dāng)中，為解決參數(shù)優(yōu)化問題提供一個(gè)新途徑。