一種基于不確定分布的多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)模型及求解

龍威宇，蔡益朝，李 浩，邱建杰

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢 430014)

0 引言

在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，分布式結(jié)構(gòu)可用較低的費(fèi)用獲得較高的可靠性，因此在空管系統(tǒng)、海上監(jiān)視系統(tǒng)和地基防空系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。在該系統(tǒng)中主要有兩種形式的航跡關(guān)聯(lián)[3]，一種是點(diǎn)跡與航跡的關(guān)聯(lián),即判斷新觀測到的點(diǎn)跡屬于哪一條航跡；另一種是航跡和航跡的關(guān)聯(lián)，即判斷不同傳感器觀測到的航跡是否來自同一目標(biāo)[3-6]。本文所研究的內(nèi)容為航跡和航跡關(guān)聯(lián)。

主流的航跡關(guān)聯(lián)算法主要有加權(quán)法[7-8]、修正法[9]、最近鄰域法[10]、經(jīng)典分配法[11]、K 近鄰法[2]、獨(dú)立序貫法[2]、相關(guān)序貫法[2]等，以上方法主要是基于概率統(tǒng)計(jì)類的方法。同時(shí)還有基于模糊數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)方法，主要有：模糊雙門限分配法[2]、模糊經(jīng)典分配法[2]等。在這兩大類關(guān)聯(lián)方法中，噪聲誤差和干擾誤差等諸多不確定因素會(huì)對關(guān)聯(lián)結(jié)果產(chǎn)生不可忽視的影響。

為減弱此類影響，有兩種思路：一種是通過模型和算法的改進(jìn)，來削弱負(fù)面影響；另一種是增加傳感器數(shù)量，來進(jìn)一步提高準(zhǔn)確性。在雙傳感器條件下，文獻(xiàn)[12]通過推導(dǎo)等價(jià)量測方程，基于距離分級聚類，從而實(shí)現(xiàn)航跡關(guān)聯(lián)，在目標(biāo)密集、干擾較強(qiáng)等復(fù)雜環(huán)境下能保持很低的錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率，穩(wěn)定性較強(qiáng)。文獻(xiàn)[13]通過將廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于航跡關(guān)聯(lián)的全過程中，有效降低了系統(tǒng)的處理流程，提高了抗差性。文獻(xiàn)[14]利用模糊綜合決策思想,建立模糊因素集,依據(jù)航跡緊密度建立矩陣得到有效航跡關(guān)聯(lián)對，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差下的航跡關(guān)聯(lián)。

上述文獻(xiàn)的前提均是默認(rèn)噪聲和干擾這兩類不確定因素服從零均值的高斯分布，這樣做的好處是便于模型的構(gòu)建和計(jì)算。但在實(shí)際中，對于噪聲，相當(dāng)多的情況下人們無法獲得大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來確定噪聲的分布，如新型號(hào)的傳感器或者新部署的傳感器；對于干擾，往往也并不服從高斯分布，如對傳感器有干擾的民用無線電信號(hào)，特別是人為主動(dòng)釋放的電磁干擾。人們無法通過積累足夠的數(shù)據(jù)或者根本無法積累數(shù)據(jù)來得到上述情況下的噪聲和干擾所服從的分布及參數(shù)。如果此時(shí)依然使用零均值高斯分布來描述這些噪聲和干擾，會(huì)給航跡關(guān)聯(lián)的結(jié)果帶來較高的誤差。而此類情況下人們依然需要準(zhǔn)確進(jìn)行目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)，因此有必要引入不確定理論。

在不同的領(lǐng)域中都存在著對不確定性的描述。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，不確定性指經(jīng)濟(jì)行為者在事先不能準(zhǔn)確地知道自己的某種決策的結(jié)果[15]；在量子力學(xué)中，不確定性指測量物理量的不確定性，當(dāng)測量它時(shí)，可能得到這個(gè)值，可能得到那個(gè)值，得到的值是不確定的[16]；在信息論中，不確定性是表征某隨機(jī)變量的發(fā)生有多么可靠的物理量[17]。因此，可以將不確定性描述為：因?qū)κ挛镄畔⒄莆盏牟蝗婧筒糠中畔o法測量導(dǎo)致結(jié)果無法預(yù)測的性質(zhì)。不確定理論與概率論都是用來解決不確定性的，但有本質(zhì)區(qū)別。概率論是以歷史數(shù)據(jù)參考統(tǒng)計(jì)規(guī)律的前提下，進(jìn)行大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)或觀察呈現(xiàn)出固有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律得到數(shù)值。而不確定理論是在缺乏歷史數(shù)據(jù)，無法通過估計(jì)的概率分布得到長期積累的頻率，在系統(tǒng)帶有不確定的情況下，借助信度建模來描述不確定性[18]。自2004 年劉寶碇教授提出不確定理論開始[19]，越來越多的學(xué)者投入到不確定理論的研究中，促使不確定理論得到快速的發(fā)展與完善。在理論研究方面，不確定測度、不確定參數(shù)、不確定分布、不確定向量等方面都有學(xué)者進(jìn)行了研究推廣。隨著不確定理論的逐步發(fā)展完善，使用不確定理論解決實(shí)際問題的學(xué)者數(shù)量不斷增加。李曉娜等人利用不確定理論完成了城市水資源調(diào)度研究[20]，陳重等人將不確定理論與道路建設(shè)進(jìn)行結(jié)合[21]，樊相宇等人將不確定理論應(yīng)用于供應(yīng)鏈訂貨量決策問題[22]。

為了減小噪聲和干擾等不確定性給航跡關(guān)聯(lián)的負(fù)面影響，本文使用不確定理論中的不確定分布來構(gòu)建航跡關(guān)聯(lián)模型。在雙傳感器情況下運(yùn)用經(jīng)典算法求解該模型。最后，通過仿真驗(yàn)證得出不同的經(jīng)典算法在傳統(tǒng)模型和本文模型下的性能對比，并分析原因。

1 不確定分布

1.1 不確定測度

設(shè)Γ 是一非空集合，L 是定義在Γ 上的σ 代數(shù)，L中的元素Λ 稱為事件。M{Λ}表示事件Λ 發(fā)生的可能性，如果M 滿足如下4 條公理，則稱M 為不確定測度。

公理1 規(guī)范性。對于非空集合Γ，集函數(shù)滿足M{Γ}=1；

公理2 二元性。對于任意事件Λ，記事件不發(fā)生為ΛC，集函數(shù)滿足M{Λ}+M{ΛC}=1；

公理3 次可加性。對于可數(shù)的事件序列L{Λ1，Λ2，…}，集函數(shù)滿足：

公理4 乘積公理。設(shè)有一組不確定空間(Γk，Lk，Mk)，k=1，2，…，記Γ=Γ1×Γ2×…為各個(gè)非空集構(gòu)成的有序元組集合、Λ=Λ1×Λ2×…是有序元組集合Γ 內(nèi)的事件集合、L=L1×L2×…是有序元組集合Γ 內(nèi)的乘積σ 代數(shù)，如果存在集函數(shù)M 對于有序元組集合Γ 內(nèi)乘積σ 代數(shù)L 滿足：

則稱集函數(shù)M為該組不確定空間(Γk，Lk，Mk)，k=1，2，…的乘積不確定測度。

1.2 不確定正態(tài)分布

定義1 不確定分布函數(shù)。對于任意實(shí)數(shù)x，不確定變量ξ 的不確定分布函數(shù)定義為：

定義2 正則不確定分布。設(shè)不確定變量ξ 的不確定分布為Φ(x)，如果不確定分布在集合{0＜Φ(x)＜1}范疇內(nèi)依x 連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，且則稱Φ(x)為正則不確定分布，ξ 為正則不確定變量。

定義3 正態(tài)不確定分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

式中：φ(x)為正態(tài)不確定分布的概率密度函數(shù)；μ 和σ分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差；Φ(x)為正態(tài)不確定分布函數(shù)。

2 基于不確定分布的多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)模型

對于航跡關(guān)聯(lián)問題，傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)模型將系統(tǒng)中的噪聲和干擾等不確定性通過服從高斯分布的變量v(k)進(jìn)行描述。這里，引入服從不確定正態(tài)分布的變量φ(k)和Ψ(k)來描述系統(tǒng)中的噪聲及干擾。

假設(shè)有2 個(gè)傳感器和n 個(gè)目標(biāo)，在k 時(shí)刻第s 個(gè)傳感器對第i 個(gè)目標(biāo)進(jìn)行觀測，為了方便表達(dá)，將傳感器標(biāo)號(hào)s 置于右下角，將目標(biāo)標(biāo)號(hào)i 置于右上角。則表示在k 時(shí)刻第s 個(gè)傳感器對第i 個(gè)目標(biāo)進(jìn)行觀測后直接和間接得到的目標(biāo)信息，具體為：

關(guān)聯(lián)過程中的不確定因素由4 個(gè)變量體現(xiàn)，分別為狀態(tài)方程中的噪聲誤差、狀態(tài)方程中的干擾誤差、觀測方程中的噪聲誤差、觀測方程中的干擾誤差。

相應(yīng)的觀測信息為：

系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為：

系統(tǒng)的觀測方程可以表示為：

其中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F 為：

這樣表示的原因在于，噪聲作為自然界中無法避免的常見誤差因素，在裝備性能不發(fā)生變化的情況下，噪聲始終保持在一個(gè)相對穩(wěn)定的區(qū)間，符合高斯分布的特點(diǎn)；而干擾多為人為因素導(dǎo)致，不論是人為被動(dòng)制造干擾還是主動(dòng)實(shí)施干擾，干擾的不確定性遠(yuǎn)高于噪聲，因此使用不確定正態(tài)分布來描述干擾。分別為X 方向和Y 方向上的過程干擾和測量干擾的分量，這些分量均服從不確定正態(tài)分布，下面給出具體的不確定分布函數(shù)。

上式中各自的μ 和σ 為其對應(yīng)的均值和方差。這樣，就避免了將噪聲干擾單純用高斯白噪聲描述造成的不確定性丟失問題，使該模型更符合實(shí)際情況。

3 雙傳感器多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)流程

3.1 跟蹤濾波

卡爾曼濾波是經(jīng)典的跟蹤濾波算法，但由于其在非線性系統(tǒng)中的性能表現(xiàn)較差，本文選取無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)算法對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波。具體步驟如下：

(1)獲得一組采樣點(diǎn)(稱為Sigma 點(diǎn)集)及其對應(yīng)權(quán)值；

(2)計(jì)算Sigma 點(diǎn)集的進(jìn)一步預(yù)測；

(3)計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)量的一步預(yù)測及協(xié)方差矩陣，它由Sigma 點(diǎn)集的預(yù)測值加權(quán)求和得到；

(4)根據(jù)一步預(yù)測值，再次使用UT 變換，產(chǎn)生新的Sigma 點(diǎn)集；

(5)將步驟(4)預(yù)測的Sigma 點(diǎn)集代入系統(tǒng)方程中，得到預(yù)測的觀測量；

(6)由步驟(5)得到Sigma 點(diǎn)集的觀測預(yù)測值，求得預(yù)測的均值和協(xié)方差；

(7)計(jì)算Kalman 增益矩陣；

(8)計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)更新和協(xié)方差更新。

3.2 航跡關(guān)聯(lián)

加權(quán)法、修正法、序貫法等基于概率統(tǒng)計(jì)類的方法同樣可以在不確定分布關(guān)聯(lián)模型中應(yīng)用。這三種方法在條件一定的情況下，關(guān)聯(lián)性能后者好于前者。以下為基于不確定分布的序貫航跡關(guān)聯(lián)算法，算法根據(jù)傳感器探測到的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)關(guān)聯(lián)。

設(shè)兩部傳感器在k 時(shí)刻對目標(biāo)i 和j 的狀態(tài)估計(jì)之差為：

設(shè)H0和H1是下列事件：

其聯(lián)合概率密度函數(shù)在H0下可以寫成：

進(jìn)行似然比檢驗(yàn)：

與上式對應(yīng)的對數(shù)似然比為：

定義一個(gè)對數(shù)似然函數(shù)同時(shí)也是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

則這時(shí)需要判斷λij(k)與顯著性水平α 之間的大小關(guān)系，進(jìn)一步得出接受原假設(shè)H0或接受備擇假設(shè)H1。

具體流程如圖1 所示。

圖1 雙傳感器多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)流程

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文所優(yōu)化的模型及關(guān)聯(lián)算法的性能，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真驗(yàn)證和對比分析。仿真平臺(tái)所用的處理器為AMD Ryzen 7 3700X 3.6 GHz，使用的操作系統(tǒng)為Windows 10 專業(yè)版，使用的仿真軟件為MATLAB R2019b。在傳統(tǒng)高斯模型和不確定分布模型下對加權(quán)法、修正法和序貫法三種算法在不同目標(biāo)數(shù)量情況下的關(guān)聯(lián)正確率進(jìn)行對比。

在100 km×100 km 的二維平面內(nèi)隨機(jī)生成20、50、80 批目標(biāo)，目標(biāo)包含模擬民航的勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和模擬軍航的變速曲線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)兩類。兩部傳感器為異地配置，傳感器所在位置在該二維平面內(nèi)隨機(jī)選取。為了便于模型驗(yàn)證，假設(shè)兩部傳感器的探測范圍完全重合且送至融合中心的數(shù)據(jù)已經(jīng)經(jīng)過時(shí)空校準(zhǔn)并去除了野值，同時(shí)假設(shè)關(guān)聯(lián)過程中航跡始終連續(xù)。勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的初始速度在[230，270]m/s 范圍內(nèi)隨機(jī)選取，初速度方向在[0，2π]rad 內(nèi)隨機(jī)選取，加速度為0；變速曲線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的初速度在[200，300]m/s 范圍內(nèi)隨機(jī)選取，初速度方向在[0，2π]rad 內(nèi)隨機(jī)選取，加速度在[0，10]m/s2范圍內(nèi)隨機(jī)選取，加速度方向在[0，2π]rad 內(nèi)隨機(jī)選取。

在此假設(shè)下，進(jìn)行100 次蒙特卡洛仿真。關(guān)聯(lián)正確率分別用同一時(shí)刻的關(guān)聯(lián)正確率和平均關(guān)聯(lián)正確率這兩個(gè)指標(biāo)來衡量。k 時(shí)刻關(guān)聯(lián)正確率P(k)=C(k)/T(k)，其中C(k)是k 時(shí)刻關(guān)聯(lián)正確的航跡點(diǎn)數(shù)，T(k)是k 時(shí)刻總航跡點(diǎn)數(shù)；而平均關(guān)聯(lián)正確率P=C/T，C 和T 分別為正確關(guān)聯(lián)的航跡點(diǎn)數(shù)量和總的航跡點(diǎn)數(shù)量。

圖2 為20 批目標(biāo)的真實(shí)航跡，其中包含了10 批勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和10 批變速曲線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，同理50 批和80 批目標(biāo)的組成為勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和變速曲線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)各占一半。圖3 為用兩部傳感器對20 批目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤濾波的的結(jié)果。圖4 為濾波結(jié)果的局部放大圖片，可以看出UKF 濾波算法較好地實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)的跟蹤濾波。

圖2 20 批目標(biāo)真實(shí)軌跡

圖3 兩部傳感器對目標(biāo)實(shí)時(shí)跟蹤濾波結(jié)果

圖4 跟蹤濾波結(jié)果局部放大

圖5 為20 批目標(biāo)用加權(quán)法在兩種模型下實(shí)時(shí)關(guān)聯(lián)后的正確率匯總結(jié)果。50 批及80 批的關(guān)聯(lián)結(jié)果如表1及圖6 所示。

由圖5、圖6 和表1 可知，加權(quán)法可以在本文模型下進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)。相比傳統(tǒng)模型，加權(quán)法在本文模型下的關(guān)聯(lián)正確率更高。對于20 批目標(biāo)，本文模型下的正確率相比傳統(tǒng)模型有6.05%的提升；對于50 批目標(biāo)，本文模型相比傳統(tǒng)模型的正確率有1.82%的提升；對于80 批目標(biāo)，本文模型相比傳統(tǒng)模型的正確率有1.45%的提升。

圖5 20 批目標(biāo)用加權(quán)法在兩種模型下正確率對比

表1 加權(quán)法在兩種模型下的正確率(%)

圖6 加權(quán)法在兩種模型下的正確率

由表2、表3、圖7、圖8 展示的對比結(jié)果可知，修正法、序貫法兩種方法同樣可以在本文模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)。在20 批目標(biāo)時(shí)，修正法和序貫法分別有1.48%和2.6%的提升；在50 批目標(biāo)時(shí)，兩種算法的關(guān)聯(lián)正確率分別有0.45%和1.08%的提升；在80 批目標(biāo)時(shí)，兩種算法的關(guān)聯(lián)正確率分別有4.5%和0.13%的提升。

圖7 修正法在兩種模型下的正確率

圖8 序貫法在兩種模型下的正確率

表2 修正法在兩種模型下的正確率(%)

表3 序貫法在兩種模型下的正確率(%)

同時(shí)可以看出，隨著目標(biāo)數(shù)量的不斷增加，系統(tǒng)的不確定性及復(fù)雜性迅速升高，在同種模型下關(guān)聯(lián)正確率都有所下降，但本文模型的整體正確率還是高于傳統(tǒng)模型。本文模型對算法本身的性能沒有較大影響，在傳統(tǒng)模型下，序貫法的性能優(yōu)于修正法，修正法優(yōu)于加權(quán)法。在本文模型基礎(chǔ)上的三種算法依舊保持了此性能排序，且算法之間的性能差距與傳統(tǒng)模型下的性能差距類似。如，在20 批目標(biāo)情況下，傳統(tǒng)模型中序貫法的性能優(yōu)于修正法7.31%，在本文模型下這一數(shù)據(jù)為8.43%；修正法的性能在傳統(tǒng)模型下優(yōu)于加權(quán)法11.34%，在本文模型下這一數(shù)據(jù)為9.77%。各算法在本文模型下的性能差距與傳統(tǒng)模型相比在1.5%左右，差距很小。因此基于本文模型的三種算法獲得的性能提升與算法本身并無關(guān)系，性能提升的原因在于模型的不同。

5 結(jié)論

本文給出了一種基于不確定分布的多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)模型，該模型通過使用不確定變量來描述系統(tǒng)中的噪聲和干擾，使之更符合真實(shí)情況。通過仿真驗(yàn)證可知，本文模型具有較好的適應(yīng)性和實(shí)時(shí)性，可以在不同目標(biāo)數(shù)量的情況下實(shí)時(shí)描述真實(shí)空情，滿足航跡關(guān)聯(lián)需要；同時(shí)本文模型對經(jīng)典航跡關(guān)聯(lián)算法有較好的適用性，加權(quán)法、修正法和序貫法的性能在本文模型下都得到了不同程度的提升。本文所提出的模型對于日益復(fù)雜的空情有一定的實(shí)踐價(jià)值。

本文為了便于仿真驗(yàn)證提出了兩點(diǎn)假設(shè)。第一，假設(shè)所有傳感器送至融合中心的數(shù)據(jù)均為經(jīng)過時(shí)空校準(zhǔn)和野值剔除的，但實(shí)際中時(shí)空校準(zhǔn)和野值剔除的過程存在一些不確定性因素；第二，假設(shè)航跡關(guān)聯(lián)過程中航跡始終連續(xù)，如發(fā)生航空器進(jìn)入探測盲區(qū)等導(dǎo)致航跡中斷后重現(xiàn)這一現(xiàn)象，系統(tǒng)的不確定性將上升至一個(gè)更高的水平。后續(xù)將繼續(xù)利用不確定理論來解決以上兩個(gè)假設(shè)，使模型的適應(yīng)性更強(qiáng)。同時(shí)降低不確定性的手段除了改進(jìn)模型和算法以外，增加傳感器數(shù)量也是一個(gè)重要的路徑，后續(xù)也將進(jìn)一步利用不確定理論解決多傳感器多目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)問題。