一類具擴(kuò)散的HBV模型的穩(wěn)定性分析

甘文珍，金龔逸，袁 櫻

（江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 210331）

眾所周知，傳染病因其具有傳染性嚴(yán)重威脅著人類的生命和健康。乙肝病毒（HBV）感染作為全球性的公共衛(wèi)生問(wèn)題，已經(jīng)得到廣泛的關(guān)注和研究，特別是傳染病動(dòng)力學(xué)的介入使HBV的防治進(jìn)入了新的階段。早在1927年，Kermack和Mckendrick[1]為了研究瘟疫和黑死病的傳播機(jī)制，建立了經(jīng)典的SIR倉(cāng)室模型，成為傳染病動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。Nowak等人[2]根據(jù)HBV的特點(diǎn)，于1996年首次提出了如下HBV動(dòng)力學(xué)模型：

其中：x,y,v分別表示健康肝細(xì)胞、染病肝細(xì)胞和自由病毒的密度；λ和d分別表示健康肝細(xì)胞的產(chǎn)生速率和死亡速率；c表示染病肝細(xì)胞的治愈率；b表示自由病毒的死亡率。在沒有免疫反應(yīng)的條件下，健康肝細(xì)胞按照βxv的雙線性方式感染，染病肝細(xì)胞以a的速率死亡。隨后，Korobeinikov[3]利用Lyapunov函數(shù)證明了：當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，染病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

隨著病毒研究的深入，HBV的更多特點(diǎn)被進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，因此很多學(xué)者對(duì)早期提出的基礎(chǔ)模型進(jìn)行了改進(jìn)。譬如：Nowak等人[4]通過(guò)添加免疫反應(yīng)項(xiàng)，建立了具有免疫反應(yīng)的HBV模型系統(tǒng)；Hews等人[5]考慮了健康肝細(xì)胞的Logistic增長(zhǎng)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，在模型（1）的基礎(chǔ)上建立了如下模型：

其中：r表示增長(zhǎng)率，K表示環(huán)境容量；健康肝細(xì)胞的轉(zhuǎn)化率為，其中β表示接觸率；a，γ表示染病肝細(xì)胞的死亡率和治愈率，μ表示自由病毒的死亡率。Manna等人[6]著重考慮了HBV-DNA衣殼，建立了一類HBV動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)，并分析了其正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。近期，Gharahasanlou等人[7]提出了一般發(fā)生函數(shù)下具有CTL免疫的HBV系統(tǒng)，即：

其中，z表示CTL的細(xì)胞密度。Gharahasanlou等人[7]對(duì)文獻(xiàn)[4，8，9]中的發(fā)生函數(shù)進(jìn)行了推廣，利用Lyapunov函數(shù)證明了各正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

以上模型系統(tǒng)均假設(shè)健康肝細(xì)胞、染病肝細(xì)胞和自由病毒在空間上是沒有隨機(jī)移動(dòng)的?？墒聦?shí)上，這種隨機(jī)移動(dòng)在許多生物現(xiàn)象活動(dòng)中扮演著重要的角色。Funk等人[10]采用了一個(gè)補(bǔ)丁模型來(lái)模擬病毒向最近鄰居的移動(dòng)，即擴(kuò)散。假設(shè)健康肝細(xì)胞和染病肝細(xì)胞在正常環(huán)境下是不能移動(dòng)的，但自由病毒在肝臟中可以隨機(jī)移動(dòng)，且自由病毒的擴(kuò)散遵循Fick擴(kuò)散。據(jù)此，Wang等人[11]提出了一個(gè)具擴(kuò)散的HBV模型，討論了該模型行波解的存在性。Xu等人[12]建立了一個(gè)具有飽和發(fā)生率的時(shí)滯擴(kuò)散模型，并研究了正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，Manna等人[13]通過(guò)引入擴(kuò)散項(xiàng)，建立了一類具擴(kuò)散的時(shí)滯HBV模型，并研究了正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。

受以上研究的啟發(fā)，本文在模型（2）的基礎(chǔ)上考慮自由病毒的擴(kuò)散，建立如下的反應(yīng)擴(kuò)散方程組：

其中：Ω是RN中的有界區(qū)域，邊界?Ω光滑；η是邊界上的單位外法向量；u1,u2,u3表示健康肝細(xì)胞、染病肝細(xì)胞和自由病毒在t時(shí)刻的空間分布密度；d表示擴(kuò)散率；?i是Ω上連續(xù)的非負(fù)函數(shù)。本文主要討論模型（4）解的漸近行為，安排如下：第一節(jié)討論無(wú)病平衡點(diǎn)和染病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性；第二節(jié)證明無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性；第三節(jié)利用數(shù)值模擬呈現(xiàn)所得結(jié)論。

1 無(wú)病平衡點(diǎn)和染病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性

由標(biāo)準(zhǔn)偏微分方程理論可知，模型（4）的解存在且唯一，下面給出解的先驗(yàn)估計(jì)。

定理1：對(duì)于任何非負(fù)初值函數(shù)，模型（4）有唯一全局解(u1,u2,u3)，且在Ω×( 0,+∞)內(nèi)滿足。其 中，

定理2：當(dāng)時(shí)，模型（4）僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，模型（4）除了存在無(wú)病平衡點(diǎn)外，還存在唯一的染病平衡點(diǎn)其中：表示細(xì)胞存活指數(shù)。

下面，利用線性化方法和特征值理論討論模型（4）平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。利用文獻(xiàn)[14]中的方法，設(shè)0=μ1<μ2<…是Ω中帶有齊次Neumann邊界條件的算子-Δ的特征值，是中對(duì)應(yīng)于μi的特征子空間。令是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，令模 型（4）在處 的 線 性 化 方 程 為其中：的特征值。故模型（4）的特征方程為：

定理3：當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)Ef局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)Ef不穩(wěn)定。

證明：根據(jù)以上分析，模型（4）在Ef=( )

K,0,0處的特征方程為：

對(duì)每個(gè)i≥1,Xi是算子L的不變子空間，因此λ是L在Xi中的特征值，當(dāng)且僅當(dāng)它是矩陣

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到特征根為：

容易判斷λ1<0。當(dāng)R0<1時(shí)，有：

因此，λ2,3是負(fù)根。

下證R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

當(dāng)i=1，μ1=0時(shí)，特征方程為：

當(dāng)λ→∞時(shí)，f1()λ→∞。當(dāng)R0>1時(shí)，方程f1(λ)=0至少包含一個(gè)正根，L的譜包含了一個(gè)Reλ>0的特征值。由文獻(xiàn)[14]的推論1.11可知，當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)Ef是不穩(wěn)定的。

定理4：當(dāng)時(shí)，染病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

證明：模型（4）在處的特征方程為：

經(jīng)計(jì)算可得：

其中：

顯然，a2>0，當(dāng)時(shí)，有：

因此，

令Δ=a1a2-a0，則有：

根據(jù)Routh-Hurwitz判別條件可知，式（5）的根具有負(fù)實(shí)部。進(jìn)一步令λ=μiζ，則式（5）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)i→∞時(shí)，有μi→∞，故：

因?yàn)?，a0，a1，a2>0，且a1a2-a0>0，故 由Routh-Hurwitz判別條件得知的 三 個(gè)根ζ1，ζ2，ζ3均 有 負(fù) 實(shí) 部，即 存 在-δ，使 得由 連 續(xù) 性 可 知，存 在i0∈N使 得 方 程的 三 個(gè) 根ζi,1，ζi,2，ζi,3

2 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

在討論無(wú)病平衡點(diǎn)Ef的全局穩(wěn)定性之前，首先給出一個(gè)重要的引理。

引理1[15]：設(shè)a，b為正常數(shù)，，且?有 下 界。如 果，且在上對(duì)某些正常數(shù)K成立，則

定理5：當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)Ef全局漸近穩(wěn)定。證明：對(duì)于，定義Lyapunov函數(shù)為：

由Poincaré不等式知：

注：當(dāng)接觸率很小時(shí)，該疾病將不會(huì)流行。

3 數(shù)值模擬

對(duì)模型（4）進(jìn)行數(shù)值模擬，取以下兩組參數(shù)。

例1：取參數(shù)r=1,K=2e11，d=4，α=0.069 3,β=0.001 4，γ=25，μ=0.693。

并取初值函數(shù)：

經(jīng)過(guò)計(jì)算，R0=0.728 8<1，滿足定理3和定理5的條件，故在該組參數(shù)下無(wú)病平衡點(diǎn)Ef(2e11,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。由圖1可知，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，健康肝細(xì)胞數(shù)量達(dá)到環(huán)境容量K，染病肝細(xì)胞和自由病毒數(shù)量為0，傳染病最終會(huì)消亡。

圖1 無(wú)病平衡點(diǎn)Ef的全局穩(wěn)定性

例2：取參數(shù)r=1,K=2e11，d=4，α=0.069 3,β=0.001 4，γ=25，μ=0.693。

并取初值函數(shù)：

圖2 染病平衡點(diǎn)E*的全局穩(wěn)定性