基于核心素養(yǎng)的“二項(xiàng)式定理”探究式教學(xué)的實(shí)踐與思考

陳定火

(福建省福州延安中學(xué) 350001)

1 問題的提出

有些學(xué)生常常以記結(jié)論，套公式的方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，有的教師也常常在課堂教學(xué)中告訴學(xué)生大量的解題技巧，學(xué)生經(jīng)過模仿性的訓(xùn)練似乎也掌握了技巧，但在考場(chǎng)上，卻常常“找不到解決問題的入手點(diǎn)”.究其原因，筆者以為主要是教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中不重視知識(shí)的形成過程,沒有做到真正的理解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界，知其然，知其所以然，何由以知其所以然.這不僅是數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證，也是衡量學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)的依據(jù).本課例遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性，重視學(xué)生的參與過程，以“問題”為主線來設(shè)計(jì)教學(xué)情境，不斷地向?qū)W生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生從直觀上感知二項(xiàng)式定理系數(shù)變化的特點(diǎn)，幫助學(xué)生在自主探究和合作交流過程中真正理解和體會(huì)二項(xiàng)式定理的形成過程，用心打造出一個(gè)充滿智慧的數(shù)學(xué)課堂.

2 教學(xué)分析

2.1 學(xué)情分析

本節(jié)課是人教A版《數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊(cè)，第六章第三節(jié)第一課時(shí)，針對(duì)的是高二學(xué)生.從知識(shí)儲(chǔ)備來看，通過前面的排列組合知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)分類與分步的概念有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；從方法積累來看，學(xué)生有從特殊到一般的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；

學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的困惑主要有兩點(diǎn)，一個(gè)是公式本身很抽象.另一個(gè)是公式來得很突兀,學(xué)生不理解為什么課本先用多項(xiàng)式展開,看出每一項(xiàng)的系數(shù)，再把這個(gè)系數(shù)用組合知識(shí)進(jìn)行解釋.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計(jì)數(shù)原理加以證明；

(2)通過經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.

2.3 教學(xué)重難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的形成.

(2)教學(xué)難點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的形成.

3 探究式教學(xué)實(shí)踐

3.1 探究第一波“投石問路”.

采用特殊到一般的不完全歸納法得到公式，從直觀上感知知識(shí)的形成.

問題1 請(qǐng)寫出下列式子的展開式，并說出展開的方法.

①寫出(a+b)2的展開式？

②寫出(a+b)3的展開式？

③寫出(a+b)4的展開式？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生直觀感知展開項(xiàng)的各種類型，設(shè)計(jì)易于學(xué)生操作的展開式，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，幫助學(xué)生打通受阻的思維.

問題2 請(qǐng)用觀察法找出以上三個(gè)展開式的規(guī)律，并猜想(a+b)5的展開式.

追問：觀察的角度有哪些？

學(xué)生1 觀察展開式的項(xiàng)數(shù)，次數(shù)和系數(shù).

學(xué)生2 根據(jù)(a+b)2的展開式得到三項(xiàng)，(a+b)3的展開式得到四項(xiàng)，(a+b)4的展開式得到五項(xiàng)，可猜想(a+b)5展開式為六項(xiàng).

學(xué)生3 根據(jù)(a+b)2的展開式中每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為二次，(a+b)3的展開式中每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為三次，(a+b)4的展開式中每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為四次，可猜想(a+b)5展開式中每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為五次.

學(xué)生4 猜想(a+b)5展開式，我只能說出其中的兩項(xiàng)a5和b5，并不能全部回答出來所有的項(xiàng)，因?yàn)橛X得其它項(xiàng)的系數(shù)和字母的次數(shù)很麻煩.

設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)儲(chǔ)備入手，引導(dǎo)學(xué)生在未知境界中依靠已有的知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)和思維，通過實(shí)踐活動(dòng)觀察、歸納、猜想，討論驗(yàn)證來解決問題，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)思維的方向，問題的分析和解決，對(duì)所學(xué)的內(nèi)容心中有數(shù)，提高學(xué)習(xí)的興趣和欲望，提升數(shù)學(xué)邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

問題3 系數(shù)收集后如何整理和分析并且根據(jù)分析結(jié)果做出推斷？

學(xué)生5 橫向有序排列：1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1，沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

學(xué)生6 縱向有序排列如圖1，沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

圖1

教師：做學(xué)問需要想象力，老師給一個(gè)圖片(金字塔圖片)，請(qǐng)同學(xué)們想一想，還可以怎么整理收集到的系數(shù).

學(xué)生7 排列成金字塔形狀，可發(fā)現(xiàn)1+2=3,1+3=4,3+3=6.

這時(shí)及時(shí)介紹數(shù)學(xué)文化，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》(1261年)一書中用如圖2的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生是根據(jù)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來建構(gòu)新的知識(shí)，學(xué)生由于知識(shí)方法儲(chǔ)備不足，或者由于思考的問題過于抽象，或者由于運(yùn)算過于復(fù)雜，常常產(chǎn)生思維障礙，教師需要給學(xué)生一定探究方向，通過問題導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題去觀察展開式，引發(fā)思考積極參與互動(dòng)，不斷地向?qū)W生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，說出自己的見解，引導(dǎo)學(xué)生從直觀上感知二項(xiàng)式定理系數(shù)變化的特點(diǎn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

3.2 探究第二波“他山之石，可以攻玉”.

利用組合原理推導(dǎo)公式.

問題4 能否換一個(gè)角度找系數(shù)的規(guī)律.

(經(jīng)歷剛才的探索，學(xué)生的探究欲望很高，但不知從何入手，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn).)

實(shí)驗(yàn)操作1 分組教學(xué)，每個(gè)小組都有2個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有紅球a個(gè)，白球b個(gè)，每次從2個(gè)盒子中各取一個(gè)球，小組討論，完成下列問題.

①摸出的白球恰好0個(gè)，有____種方法？

②摸出的白球恰好1個(gè)，有____種方法？

③摸出的白球恰好2個(gè)，有____種方法？

實(shí)驗(yàn)操作2 分組教學(xué)，每個(gè)小組都有3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有紅球a個(gè)，白球b個(gè)，每次從3個(gè)盒子中各取一個(gè)球，小組討論，完成下列問題.

①摸出的白球恰好0個(gè)，有____種方法？

②摸出的白球恰好1個(gè)，有____種方法？

③摸出的白球恰好2個(gè)，有____種方法？

④摸出的白球恰好3個(gè)，有____種方法？

問題5 通過兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生8 從實(shí)驗(yàn)操作1得到的數(shù)據(jù)1,2,1恰好是(a+b)2的展開式的系數(shù)，從實(shí)驗(yàn)操作2得到的數(shù)據(jù)1,3,3,1恰好是(a+b)3的展開式的系數(shù)，

學(xué)生9 把(a+b)3中的a當(dāng)成紅球，b當(dāng)成白球，展開式的系數(shù)就是摸出的白球恰好多少個(gè)的種數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)歸納猜想出一般性的結(jié)論，學(xué)生對(duì)自己總結(jié)歸納的結(jié)論會(huì)留下深刻的印象，產(chǎn)生持久效應(yīng)，而且能緊扣課堂教學(xué)目標(biāo)，明確數(shù)學(xué)的思維方向，提高學(xué)習(xí)的自主性，提升直觀想象素養(yǎng).

問題6 能否利用上述原理將(a+b)4和(a+b)5按字母a的降冪排列展開.

設(shè)計(jì)意圖：將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成摸球的模型，通過前面所學(xué)的排列組合的知識(shí)，根據(jù)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，探索二項(xiàng)式定理的構(gòu)造性證明，體會(huì)運(yùn)算法則的作用，感知運(yùn)算是一種嚴(yán)格的邏輯推理，通過一般性運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)和提出命題，掌握推理的形式和規(guī)則，探索和表述論證過程，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問題7 能否利用上述原理將(a+b)n按字母a的降冪排列展開.

教師追問1：二項(xiàng)式定理中為什么n∈N*，等號(hào)右邊的展開式共有多少項(xiàng)，什么叫做二項(xiàng)式系數(shù)．

教師追問3：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過從特殊到一般的歸納、猜想，準(zhǔn)確把握本節(jié)課的內(nèi)容性質(zhì)，通過不斷的探索發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)感悟，突出直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力，形成由感性到理性的升華，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

3.3 知識(shí)運(yùn)用

練習(xí)1(x+2)6的展開式中x3的系數(shù)是( ).

A．20 B．40 C．80 D．160

練習(xí)2(2015全國(guó)高考試題)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為____.

4 教學(xué)反思

章建躍博士提出，上好一堂課，數(shù)學(xué)教師必須要理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)，特別是內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法的理解水平，決定了理解數(shù)學(xué)的高度，決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果，同時(shí)也決定了學(xué)生對(duì)其所學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容應(yīng)達(dá)到的理解程度.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念、公式及定理的掌握大多呈現(xiàn)這樣三種情況：告訴我的知識(shí)，我會(huì)忘記;分析給我聽的知識(shí)，我會(huì)理解；讓我參與建構(gòu)的知識(shí)我會(huì)留下很深的印象.

美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出，教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng)思維，思維永遠(yuǎn)是問題的開始，從已有的知識(shí)儲(chǔ)備入手，引導(dǎo)學(xué)生在未知境界中依靠已有的知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)和思維實(shí)踐活動(dòng)觀察歸納猜想，討論驗(yàn)證來解決問題，教師在課堂教學(xué)過程中，通過精心設(shè)計(jì)問題，不斷為學(xué)生搭建思維平臺(tái)，使學(xué)生通過問題的提出，對(duì)所學(xué)的內(nèi)容心中有數(shù)，不斷提高學(xué)習(xí)的興趣和欲望，提升數(shù)學(xué)邏輯推理能力，可大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度和深度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).