和初學(xué)者談微積分

◎吳 謙

(大同師范高等?？茖W(xué)校，山西 大同 037039)

17世紀(jì)，資本主義的興起促使社會(huì)生產(chǎn)力得到極大的提升，生產(chǎn)力推動(dòng)著科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)迅速地向前發(fā)展，人類的活動(dòng)半徑逐漸增大，研究的問題逐漸深入例如，如何確定遠(yuǎn)洋船舶的準(zhǔn)確位置；軍事方面如何精準(zhǔn)掌握彈道導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡;天文學(xué)方面如何掌握行星的橢圓軌道理論等等傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)方法對(duì)這些生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)問題已經(jīng)束手無策、無能為力數(shù)學(xué)逐漸地從初等數(shù)學(xué)時(shí)期向變量數(shù)學(xué)時(shí)期轉(zhuǎn)變這一轉(zhuǎn)變，以笛卡兒建立的解析幾何為起點(diǎn),以微積分的興起為標(biāo)志從數(shù)學(xué)史的分期來看，微積分出現(xiàn)在變量數(shù)學(xué)時(shí)期(梁宗巨先生在自己的著作《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》中對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的分期該書系我國(guó)數(shù)學(xué)史專家獨(dú)立完成的第一部世界數(shù)學(xué)史專著)微積分早期被物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家用來解決大量的實(shí)際問題，主要用于天文、力學(xué)、幾何中的計(jì)算等問題

微積分是理工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)學(xué)科，是高等數(shù)學(xué)的主體微積分是各所大學(xué)里很多理工類專業(yè)的必修課程和文史類專業(yè)的選修課程微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)，微分學(xué)的主要內(nèi)容包括極限理論、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等；積分學(xué)的主要內(nèi)容包括不定積分、定積分等微積分的知識(shí)在1980年之前是大學(xué)課程里的內(nèi)容1978 年 2 月教育部頒布《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)》，大綱第一次將微積分初步的內(nèi)容正式納入高中數(shù)學(xué)課程根據(jù)1978年大綱(試行草案)，人教社第五套高中數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)第四冊(cè)(1980年4月出版，高二下學(xué)期學(xué)習(xí))，第一次在高中數(shù)學(xué)課程中設(shè)置了微積分初步的知識(shí)高考不做考試要求微積分初步在高中數(shù)學(xué)課程中“反復(fù)”出入，現(xiàn)在它的部分知識(shí)又回到高中數(shù)學(xué)理科的選修課本里(人教社2007版，A版教科書，數(shù)學(xué)，選修2-2)，并且一直都是這些年高考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)不論是當(dāng)年的大學(xué)生還是現(xiàn)在的高中生，初學(xué)者往往感覺到這門功課的內(nèi)容概念抽象復(fù)雜，定理推論很難理解，解題時(shí)方法深?yuàn)W靈活，學(xué)習(xí)困難重重，理論性太強(qiáng)且不易掌握本文就微積分的思想和方法，談一些筆者自己在學(xué)習(xí)與教學(xué)中的心得體會(huì)，望為初學(xué)者提供參考

一、微積分主要研究的問題

從數(shù)學(xué)的歷史上看，在微積分發(fā)展的初期，微積分主要源于四類基本問題：速度與路程問題、光學(xué)與切線問題、最大值最小值問題、面積問題

1速度與路程問題：已知物體的運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求運(yùn)動(dòng)物體的速度(瞬時(shí)速度)和加速度；反過來，已知物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求運(yùn)動(dòng)的路程

2光學(xué)與切線問題：求曲線的切線

3最大值最小值問題：求函數(shù)的最大值、最小值

4面積問題：求曲線的弧長(zhǎng)，求曲線所圍成的平面圖形的面積，求曲面所圍成的空間物體的體積

其實(shí)，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)中所遇到的許多涉及微積分的數(shù)學(xué)、物理等問題，也可以歸結(jié)為上述幾類問題

二、微積分的基本思想

(一)微分的基本思想

1瞬時(shí)速度

關(guān)于微分的基本思想，我們從人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程談起，以此來體會(huì)、感受微分初步的基本思想

從衛(wèi)星點(diǎn)火離開地面，到它拋棄第三級(jí)火箭，進(jìn)入橢圓形的運(yùn)行軌道繞著地球飛行，它的飛行速度始終都在急劇地增加著我們需要對(duì)它每時(shí)每刻的飛行速度非常準(zhǔn)確地把握，以確保衛(wèi)星按計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)進(jìn)入預(yù)先設(shè)定的軌道，并在進(jìn)入軌道時(shí)，達(dá)到預(yù)定的速度，達(dá)到我們的發(fā)射目的

在衛(wèi)星發(fā)射的過程中，軌道修正、變軌(例如嫦娥工程的繞月飛行：衛(wèi)星繞地球飛行變軌到繞月球飛行)等等，就是我們對(duì)衛(wèi)星的運(yùn)行的掌控把握，以保證衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)的圓滿完成

可見，研究運(yùn)行的物體在每一時(shí)刻的運(yùn)行速度是相當(dāng)重要的運(yùn)行物體在每一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度，又叫作即時(shí)速度

平均速度的概念只能使我們對(duì)運(yùn)動(dòng)物體在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)的大致情況有所了解這對(duì)于掌握衛(wèi)星的發(fā)射過程遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，即使對(duì)于了解比衛(wèi)星發(fā)射速度變化慢得多的飛機(jī)、火車、汽車、輪船等的運(yùn)行情況也是不夠的鐵路管理部門對(duì)火車在上下坡時(shí)、進(jìn)出車站時(shí)、過橋時(shí)、轉(zhuǎn)彎時(shí)、穿隧道時(shí)的行車速度都有一定的要求，司機(jī)必須注意速度表司機(jī)如果對(duì)火車運(yùn)行的速度沒有準(zhǔn)確掌握，那就不能安全行車、正點(diǎn)到站在人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程中，人們不但要掌握火箭運(yùn)行過程中的速度，而且要掌握火箭運(yùn)行速度的變化規(guī)律掌握速度的變化規(guī)律，這是科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)重要的課題

運(yùn)行物體在每一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度的概念也沒有多么神秘，并不是難以把握的，我們完全可以借助平均速度的概念來掌握我們知道，一個(gè)做變速運(yùn)動(dòng)的物體，不管它的速度變化有多大，在一段很短的時(shí)間內(nèi)，它的速度的變化總是不大的，可以被近似地看成勻速運(yùn)動(dòng)

為了刻畫運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的“快慢程度”，運(yùn)行時(shí)間區(qū)間[,+Δ] 取得越小越好，即時(shí)間段 Δ越小越好當(dāng)時(shí)間段 Δ取得越來越小的時(shí)候，運(yùn)動(dòng)物體在很小的時(shí)間段 Δ內(nèi)的平均速度就可以近似地反映它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度Δ越小，這種近似程度就越高當(dāng) Δ無限變小并趨于零(Δ→0)時(shí)，即發(fā)生一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度就轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度了可見，速度中的“平均速度”與“瞬時(shí)速度”，這一對(duì)概念在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的簡(jiǎn)單地說，就是以平均速度為紐帶，我們通過平均速度可以求出物體變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，實(shí)現(xiàn)速度由平均速度到瞬時(shí)速度的轉(zhuǎn)化

2曲線切線的斜率

曲線的切線(曲線在某一點(diǎn)處的斜率)，也是微分產(chǎn)生的本源性問題，下面我們通過實(shí)例來探究曲線的切線

設(shè)L為方程=()在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定的曲線，點(diǎn)(,())，點(diǎn)(+Δ,(+Δ))為曲線L上的兩點(diǎn)那么對(duì)于割線的斜率，我們可以將其定義為：

圖1

解決上述問題所體現(xiàn)的思想和方法，正是微分思想的基本方法

瞬時(shí)速度的概念、曲線切線的斜率，在數(shù)量上是用導(dǎo)數(shù)(在舊版教材中叫作微商)的概念來描述的導(dǎo)數(shù)(即微商)是微積分的一個(gè)很基本的概念趨近的過程，在數(shù)學(xué)上稱為極限過程“平均變化率”與“瞬時(shí)變化率”(即局部變化率)的轉(zhuǎn)化，正是在極限的過程中實(shí)現(xiàn)的

導(dǎo)數(shù)(即微商)是微積分的一個(gè)很基本的概念，但不能說微積分就是研究導(dǎo)數(shù)(即微商)的導(dǎo)數(shù)(即微商)只是微積分的一部分，即微分學(xué)部分下面我們來談一談微積分的另一部分，即積分學(xué)

(二)積分的基本思想

同學(xué)們想一想，在初等數(shù)學(xué)里我們都會(huì)計(jì)算哪些圖形的面積呢？我們會(huì)計(jì)算三角形、正方形、矩形、梯形、多邊形等一些規(guī)則的圖形面積

但同學(xué)們會(huì)計(jì)算拋物線下面圖形的面積嗎(即曲邊三角形的面積)？

圖2

我們用已有的知識(shí)討論這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)它并不好解決，曲邊三角形既不是三角形，又不是扇形我們以前學(xué)過的求圖形面積都是對(duì)于規(guī)則的圖形，例如圓的面積、正方形或長(zhǎng)方形的面積、菱形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積等等三角形的三條邊都是直的，圖2看上去像一個(gè)三角形，可這里有一條邊是彎曲的(曲線=的一部分)現(xiàn)在這個(gè)問題的困難正是“曲”(曲邊)與“直”(直邊)的矛盾

怎樣實(shí)現(xiàn)“曲”與“直”的相互轉(zhuǎn)化呢？

其實(shí)這個(gè)方法在現(xiàn)實(shí)生活中我們是見到過的同學(xué)們見過大煙囪(或者水塔，或者圓形、偏圓形的建筑物)吧！大煙囪在整體上看來是圓的，但是大煙囪由磚頭砌成，磚頭的每一個(gè)面都是平直的

也就是說，大煙囪雖然整體上看起來是圓的，但在局部每一個(gè)小段上(每塊磚的每一個(gè)面)都是直的，如果直的一小段越短，整體看起來就越圓

這就是微積分的基本思想在很小的一段上，可以以“直”代“曲”正如恩格斯所指出的：高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾，在一定條件下直線與曲線應(yīng)當(dāng)是一回事這句話高度概括了微積分的基本思想

前面所提到曲邊三角形的面積，也可以按照上面的這種思想方法去表達(dá)步驟如下：

第一步，分割區(qū)間現(xiàn)在將曲邊三角形分割成個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形都用底相同、高等于底的左端點(diǎn)函數(shù)值的矩形近似代替，之后就得到圖中的階梯形把這些小矩形面積加起來就得到了階梯形的面積，階梯形的面積可作為曲邊三角形的近似值

第二步，求和我們?yōu)榱说玫较鄬?duì)來說更為精確的面積值，可以把曲邊三角形分成很細(xì)很細(xì)的小曲邊梯形(如圖2所示)，可以從圖形上看出階梯形的面積更接近于曲邊三角形的面積

第三步，取極限我們把區(qū)間分得越來越細(xì)，近似值就越來越接近準(zhǔn)確值如果把每個(gè)小曲邊梯形無限細(xì)分(→∞)，這時(shí)每個(gè)小矩形的面積就轉(zhuǎn)化為“微分”，近似值就轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確值這個(gè)值就是=這個(gè)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的定積分

由此可見，定積分是微分的無限積累

總之，貫串于微積分的基本矛盾是“勻”與“不勻”“直”與“曲”的矛盾處理矛盾的基本方法都是借助于細(xì)分(極限方法)，即創(chuàng)造條件使得“勻”與“不勻”“直”與“曲”互相轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)“不勻”或“曲”的目的

我們從這兩個(gè)實(shí)例來看，微積分并不神秘難懂，通過極限的思想和方法可以得到很好的表達(dá)，我們也可以很清楚地理解和把握

三、微積分的基礎(chǔ)

極限是微積分的基礎(chǔ)，極限也是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)微積分的所有的基本概念、定義及定理都建立在極限的基礎(chǔ)之上初學(xué)者感到微積分這門功課的內(nèi)容抽象，定理推論難理解，解題時(shí)方法深?yuàn)W，理論性太強(qiáng)且不易掌握……主要是因?yàn)榇髮W(xué)生從初等數(shù)學(xué)上升到高等數(shù)學(xué)、從具體的靜止的數(shù)學(xué)階段上升到運(yùn)動(dòng)的變化的數(shù)學(xué)階段，不能一下子適應(yīng)，也不能很快理解，感覺到深?yuàn)W且束手無策雖然說微積分初步被安排到高中階段已經(jīng)有一段時(shí)間，但是作為微積分基礎(chǔ)的極限論，在現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教科書中找不到，學(xué)生學(xué)習(xí)的微積分是不完善、不系統(tǒng)的沒有極限基礎(chǔ)定義的微積分，讓現(xiàn)在的高中生無法準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)并深刻理解微積分的基本定義導(dǎo)數(shù)的定義是在求解無限減小的函數(shù)的局部變化率的過程中實(shí)現(xiàn)的比如瞬時(shí)速度、曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率等等再如在定積分中，求曲邊三角形(或曲邊梯形)的面積時(shí)的細(xì)分區(qū)間，分得越來越細(xì)，以至于最大的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零，于是，我們實(shí)現(xiàn)了曲邊三角形(或曲邊梯形)面積的準(zhǔn)確值的求取在極限的基礎(chǔ)上，我們定義了導(dǎo)數(shù)、微分、定積分等微積分的基礎(chǔ)定義

四、微積分的產(chǎn)生及影響

牛頓和萊布尼茨是微積分的奠基人，他們通過不同的問題提出并分別發(fā)明了微積分牛頓通過運(yùn)動(dòng)學(xué)得到的微積分稱為“流數(shù)術(shù)”；而萊布尼茨通過幾何學(xué)得到的微積分命名使用了“差的計(jì)算”與“求和計(jì)算”等術(shù)語，后來成為專門術(shù)語“微分學(xué)”和“積分學(xué)”這就是近代西方微積分名稱的來源，后來合起來叫微積分

微積分的創(chuàng)立，逐漸顯示出它非凡的力量，之前的很多初等數(shù)學(xué)無法理解、無法觸碰、無法解決的問題，至此往往迎刃而解恩格斯非常重視微積分在自然科學(xué)中的作用，他指出：只有微積分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來表明狀態(tài)，并且表明過程

微積分的創(chuàng)立，不僅僅是數(shù)學(xué)思想發(fā)展史上的里程碑，也是科學(xué)思想史上的里程碑微積分同時(shí)體現(xiàn)了唯物辯證法的思想