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    把握圖象特征 巧解“三次”問題

    2022-09-22 15:23:42徐維武朱賢良
    數(shù)理化解題研究 2022年25期
    關(guān)鍵詞:實(shí)根極小值極大值

    徐維武 朱賢良

    (安徽省樅陽縣教育教學(xué)研究室 246700)

    三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中數(shù)學(xué)中的一類重要函數(shù),可與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等諸多知識點(diǎn)交匯融合.以三次函數(shù)為載體的試題已成為高考命題中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn),主要涉及三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)、最值與值域等類型.掌握有關(guān)三次函數(shù)圖象規(guī)律,有利于指導(dǎo)我們高效且有趣地進(jìn)行解題.

    1 三次函數(shù)性質(zhì)

    性質(zhì)1 (單調(diào)性)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c,其零點(diǎn)的判別式Δ=4(b2-3ac).

    (1)當(dāng)a>0時(shí),若Δ≤0,則f′(x)≥0,故f(x)在R上單調(diào)遞增;

    若Δ>0,則方程f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(不妨設(shè)x1

    x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)+-+f(x)↗↘↗

    (2)當(dāng)a<0時(shí),若Δ≤0,則f′(x)≤0,故f(x)在R上單調(diào)遞減;

    若Δ>0,則方程f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(不妨設(shè)x1

    x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)-+-f(x)↘↗↘

    性質(zhì)2 (極值)由性質(zhì)1可知,當(dāng)a>0且Δ>0時(shí),f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x1和一個(gè)極小值點(diǎn)x2;

    當(dāng)a<0且Δ>0時(shí),f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)x1和一個(gè)極大值點(diǎn)x2;

    當(dāng)Δ≤0時(shí),f(x)無極值點(diǎn).

    性質(zhì)4 (零點(diǎn))由性質(zhì)1,2,3可知,f(x)有一個(gè)零點(diǎn)

    性質(zhì)6 (圖象)根據(jù)上述性質(zhì),三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象有四種類型(如圖1,2,3,4).

    圖1 圖2 圖3 圖4

    把握住三次函數(shù)的圖象特征,我們可以由此來輕松求解高考中“三次”問題.

    2 三次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

    2.1 圖象問題

    例1(2015年高考安徽卷·文10)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖5所示,則下列結(jié)論正確的是( ).

    圖5

    A.a>0,b<0,c>0,d>0

    B.a>0,b<0,c<0,d>0

    C.a<0,b<0,c>0,d>0

    D.a>0,b>0,c>0,d<0

    解析由三次函數(shù)的圖象可知,a>0,且f′(x)=3ax2+2bx+c=0有兩個(gè)不等正根x1,x2,故

    從而b<0,c>0.又d=f(0)>0,故正確選項(xiàng)為A.

    點(diǎn)評三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),本題在求解時(shí)要注意借助二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系來判定b與c的符號.

    2.2 單調(diào)性問題

    例2(2013年高考全國Ⅱ卷·理10文11)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ).

    A.?x0∈R,f(x0)=0

    B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形

    C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上單調(diào)遞減

    D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0

    解析顯然A,B,D項(xiàng)均正確;對于C項(xiàng),若x0是f(x)=x3+ax2+bx+c的極小值點(diǎn),則f(x)的大致圖象如圖1所示,f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上先遞增后遞減,即C項(xiàng)錯(cuò)誤.

    點(diǎn)評三次函數(shù)的單調(diào)性分為“增”“減”“增減增”“減增減”四種情形,只需結(jié)合其圖象即可得出正確的判斷.

    2.3 極值問題

    例3(2021年高考全國乙卷·理10文12)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則( ).

    A.abC.aba2

    解析令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a與x=b是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn).

    (1)當(dāng)a>0時(shí),由三次函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)的單調(diào)性為“增減增”,要使x=a是f(x)的極大值點(diǎn),則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖6所示,故0a2;

    圖6 圖7

    (2)當(dāng)a<0時(shí),由三次函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)的單調(diào)性為“減增減”,要使x=a是f(x)的極大值點(diǎn),則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖7所示,故ba2.

    綜上,ab>a2,即正確選項(xiàng)為D.

    點(diǎn)評本題在繪制三次函數(shù)的圖象時(shí),需要注意x=a既是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),又是f(x)的零點(diǎn),同時(shí)a的正負(fù)情況還決定了函數(shù)的單調(diào)性.

    例4(2013年高考安徽卷·理10)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)=x1,則關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( ).

    A.3 B.4 C.5 D.6

    解析因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2,則方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的兩根為x1,x2,故方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0等價(jià)于f(x)=x1或f(x)=x2.

    因此,問題轉(zhuǎn)化為判定直線y=x1,y=x2與曲線y=f(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

    (1)若x1>x2,注意到f(x1)=x1,故f(x)的大致圖象如圖8所示,此時(shí)直線y=x1,y=x2與曲線y=f(x)共有三個(gè)交點(diǎn);

    圖8 圖9

    (2)若x1

    綜上,不論x1,x2的大小關(guān)系如何,關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)都是3,故選A.

    點(diǎn)評本題中三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的單調(diào)性為“增減增”,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)在于區(qū)分x1,x2中哪個(gè)是極大值點(diǎn)、哪個(gè)是極小值點(diǎn).

    2.4 零點(diǎn)問題

    例5(2015年高考安徽卷·理15)設(shè)x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是____(寫出所有正確條件的編號).

    ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.

    解析設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax+b,因?yàn)閮H有一個(gè)零點(diǎn),故其圖象有三種可能:

    (1)當(dāng)f′(x)=3x2+a的零點(diǎn)的判別式Δ=-12a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增,恰好一個(gè)零點(diǎn),故④⑤正確;

    綜上,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的條件是①③④⑤.

    點(diǎn)評本題主要考查三次函數(shù)y=x3+ax+b的零點(diǎn)個(gè)數(shù),結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征即可輕松破解.

    例6(2012年高考全國大綱卷·理10)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c等于( ).

    A.-2或2 B.-9或3

    C.-1或1 D.-3或1

    解析由y=x3-3x+c得y′=3x2-3,其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)為x=±1,此即y=x3-3x+c的極值點(diǎn).

    因?yàn)楹瘮?shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn),故y極大=y|x=-1=2+c=0或y極小=y|x=1=-2+c=0,即c=-2或2.

    點(diǎn)評三次函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),有兩種情形:極大值為零或極小值為零,解題時(shí)要注意考慮全面.

    例7(2020年高考浙江卷·9)已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則( ).

    A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

    解析設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),顯然其零點(diǎn)為x=a,x=b與x=2a+b.

    注意到ab≠0,故b≠2a+b.下面就零點(diǎn)是兩個(gè)還是三個(gè)來展開討論,并繪制函數(shù)圖象:

    (1)若三個(gè)零點(diǎn)兩兩不相等,則由x≥0時(shí)恒有f(x)≥0可知f(x)的圖象如圖10所示,其三個(gè)零點(diǎn)a<0,b<0,2a+b<0;

    圖10 圖11 圖12

    (2)若a=b,則f(x)=(x-a)2(x-3a),符合題意的圖象如圖11所示,此時(shí)a=b<0;

    (3)若a=2a+b,則a+b=0,故有f(x)=(x-a)2(x+a),符合題意的圖象如圖12所示,此時(shí)a>0,b<0.

    綜上,b<0,正確選項(xiàng)為C.

    點(diǎn)評本題中,當(dāng)函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),要注意x=a為非變號零點(diǎn),這對繪制函數(shù)圖象至關(guān)重要.

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