亞塑性模型對土-結構相互作用問題的預測能力分析

刁紅國，王新泉，魏 綱，崔允亮，張?zhí)熨n

（1.浙大城市學院工程學院，浙江杭州 310015；2.浙江省城市盾構隧道安全建造與智能養(yǎng)護重點實驗室，浙江杭州 310015；3.城市基礎設施智能化浙江省工程研究中心，浙江杭州 310015）

引言

土是一種復雜的多相介質材料，能夠真實反映其材料特性的本構模型對于數(shù)值模擬計算結果的可靠度至關重要。評價一個本構模型是否可靠，關鍵在于其是否能夠較好地描述土體的應力應變關系。目前常用的土體本構模型包括線彈性和多孔介質彈性模型、Mohr-Coulomb模型、修正Drucker-Prager帽蓋模型和臨界狀態(tài)塑性模型等。隨著城市建設的快速發(fā)展，鄰近基坑、隧道與樁基之間的相互影響問題備受關注，屬于典型的土-結構相互作用問題［1-3］。采用數(shù)值模擬研究時，本構模型也由簡單的理想彈塑性模型［4-7］逐漸拓展至鄧肯-張非線性模型［8］、修正劍橋模型［9］和土體硬化模型［10］。

Atkinson等［11］將土體應變定義為非常小應變（不大于0.001%）、小應變（在0.001%與1%之間）和大應變（大于1%）3個范圍。Mair［12］和汪中衛(wèi)等［13］統(tǒng)計了不同巖土工程條件下的典型土體應變范圍，發(fā)現(xiàn)基坑或隧道開挖引起周圍土體的剪應變分布在0.01%～1%之間，屬于小應變范圍。而且，土體剛度具有應力路徑依賴性和應變依賴性，即土體剛度只有在應變非常小時才近似恒值，隨后會隨著應變增大而弱化［14-15］。因此，本構模型能否描述小應變條件下的土體剛度特性對預測土-結構相互作用問題至關重要。然而，上述數(shù)值分析所采用的本構模型并不能反映這一點。亞塑性（Hypoplastic）模型基于亞塑性理論和臨界狀態(tài)土力學理論，不區(qū)分彈塑性，直接建立應力率和應變率之間的關系，能夠考慮時間的影響，準確描述土體剛度的應力路徑依賴性和應變依賴性（即使在小應變情況下）。目前，已有學者［16-17］將其用于模擬開挖卸荷對鄰近既有樁基的影響，但亞塑性模型對土-結構相互作用問題的預測能力還鮮有研究。

1 亞塑性模型理論

Kolymbas［18］于1991年首次提出了亞塑性理論的基本方程，即用單一非線性速率類型張量函數(shù)來模擬非彈性材料的性能。其應力率分為兩部分：第一部分與應變率呈線性關系，第二部分與應變率呈非線性關系，并表示為應變率的范數(shù)形式。此后，Lanier等［19］推導了亞塑性本構方程的一般表達式：

為了使亞塑性模型能夠考慮應力水平和密度的影響，描述不同應力水平和密度時散粒體的力學狀態(tài)，Gudehus［20］改進了一般表達式：

式中：fs是與密實度相關的剛度因子；fd是僅與孔隙比相關的向密性因子；ei、ed和ec分別表示最大孔隙比、最小孔隙比和臨界孔隙比；ps是平均應力；ei0、ed0和ec0則分別表示平均應力為0時的最大孔隙比、最小孔隙比和臨界孔隙比；hs是應力的量綱，表示顆粒硬度；指數(shù)n為常數(shù)；α和β分別為介于0至1和略大于1的無量綱參數(shù)；參數(shù)a僅與土的臨界摩擦角有關。

Bauer［21］結合試驗和數(shù)值模擬對上述模型參數(shù)進行標定，提出了可以考慮孔隙比的Gudehus-Bauer亞塑性模型。盡管該模型可以有效模擬在較大密度和壓力變化范圍時的顆粒體力學性質，但無法恰當?shù)孛枋鐾馏w的臨界狀態(tài)面形狀。進一步，von Wolffersdorff［22］引入Matsuoka-Naka準則來描述臨界狀態(tài)下的極限狀態(tài)，該臨界狀態(tài)面的形狀僅與臨界狀態(tài)摩擦角有關，可以模擬顆粒體的破壞過程，總共需要確定以下8個參數(shù)：

（1）φc為臨界狀態(tài)摩擦角；

（2）hs，n為控制孔隙比曲線形狀（正常壓縮曲線和臨界狀態(tài)線）的顆粒硬度和無量綱參數(shù)；

（3）ei0、ed0和ec0為平均應力為0時的最大孔隙比、最小孔隙比和臨界孔隙比；

（4）α為控制峰值摩擦角隨相對密度變化的無量綱參數(shù)；

（5）β為控制土體剛度隨相對密度變化的無量綱參數(shù)。

Kuwano等［15］和Gasparre［23］通過三軸壓縮試驗得到的土體剛度和應變關系曲線，發(fā)現(xiàn)土體具有應變依賴性。Atkinson等［14］通過采用重塑倫敦黏土土樣開展排水條件下的單元試驗，發(fā)現(xiàn)土體還具有應力路徑依賴性的。為了實現(xiàn)亞塑性模型能夠描述土體在小應變條件下的應變依賴和應力路徑依賴性，Niemunis等［24］通過提出“顆粒間應變概念”又進一步對von Wolffersdorff的亞塑性模型作出了改進，認為應變包括顆粒骨架的重組變形和顆粒界面間的變形。最終，為了能夠描述土體的小應變特性，除了上述8個基礎本構參數(shù)，還需要以下5個參數(shù)：

（1）mR為控制初始加載及應變路徑180°反轉時的初始剛度的參數(shù)；

（2）mT為控制應變路徑90°反轉時的初始剛度的參數(shù)；

（3）R為應變空間中彈性范圍的大??；

（4）βr和χ為控制剛度隨應變變化速率的參數(shù)。

2 模型建立

為了評價亞塑性模型對土-結構相互作用問題的預測能力，本文以Leung等［25-26］的經典離心模型試驗為基礎，建立相應的數(shù)值模型，分別采用亞塑性和理想彈塑性Mohr-Coulomb兩種土體本構模型。此外，考慮到離心模型試驗的基本原理是通過提高重力加速度將縮尺模型的土體表現(xiàn)為與原型尺寸土體相同的應力狀態(tài)，為了探究數(shù)值模擬時究竟采用哪種土體尺寸可以更好地預測離心模型的試驗結果，本文進一步采用2種不同的建模方法展開討論：（1）“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”，即數(shù)值模型采用試驗模型尺寸，同時增大重力加速度至50 g，完全模擬離心試驗條件；（2）“常重力狀態(tài)+原型尺寸”，即數(shù)值模型采用原型尺寸，重力加速度始終為1 g。詳細數(shù)值分析方案如表1所示。

表1 數(shù)值分析方案Table 1 Plan for numerical analyses

2.1 結構參數(shù)

圖1為Leung等［25-26］開展的平面應變條件下，無支撐基坑開挖對既有單樁或群樁影響的離心模型試驗。除樁基形式外，兩組試驗的條件完全相同，其中圖1（a）選擇原文獻［25］中PC2組的單樁，圖1（b）選取原文獻［26］中G11組的2×2群樁。模型箱尺寸長×寬×高為540 mm×200 mm×470 mm，離心加速度為50 g?；娱_挖深度為90 mm（原型4.5 m），寬度為400 mm（原型20 m），基坑-樁的水平距離為60 mm（原型3 m）。

圖1 離心模型試驗示意圖Fig.1 Schematic diagram of centrifugal model test

兩組離心模型試驗中樁和基坑支護結構的相關參數(shù)如表2所示［25-26］。經原型參數(shù)換算，模型樁可等效為直徑630 mm的混凝土灌注樁，基坑支護結構可等效為KSP-ⅡA型拉森鋼板樁。

表2 離心模型試驗參數(shù)［25-26］Table 2 Parameters of centrifuge model［25-26］

2.2 模型邊界條件設置

本文采用ABAQUS有限元軟件進行模擬，三維數(shù)值模型采用結構化網(wǎng)格劃分方法，基坑支護結構和土體模型選用八節(jié)點六面體實體單元（C3D8），樁基模型選用四節(jié)點殼體單元（S4）。樁-土界面設置零厚度的摩擦接觸，采用庫倫摩擦法則，包含接觸面摩擦系數(shù)μ和樁-土相對滑移極限值γcrit兩個參數(shù)。其中，根據(jù)Ng等［27］通過直剪試驗對樁-土界面（環(huán)氧樹脂-Toyoura砂）摩擦特性的研究，樁-土接觸面摩擦角δ為29°；摩擦系數(shù)μ為0.55；相對滑移極限值γcrit采用Peng［28］通過接觸面直剪試驗測得的結果5 mm。群樁承臺與樁基交界面采用Tie接觸。數(shù)值模型的底面邊界采用固定約束，豎向邊界則采用垂直于側邊的滑動約束，不會發(fā)生水平位移。最終建立如圖2所示的三維數(shù)值模型［25-26］。

2.3 本構模型參數(shù)

離心模型試驗未考慮孔隙水的影響，材料采用均質Toyoura干砂。該標準砂的材料特性已經得到國內外學者的系統(tǒng)研究，相應的Mohr-Coulomb本構模型參數(shù)和亞塑性本構模型參數(shù)分別采用表3和表4所示的數(shù)據(jù)。

表3 Toyoura砂的Mohr-Coulomb模型參數(shù)Table 3 Parameters of Toyoura sand used in Mohr-Coulomb model

表4 Toyoura砂的亞塑性模型參數(shù)Table 4 Parameters of Toyoura sand used in hypoplastic model

2.4 數(shù)值模擬過程

以單樁和“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”的建模方法為例，如圖3所示，具體模擬過程如下：

（1）首先建立如圖3（a）所示的三維數(shù)值模型，設置初始邊界條件，完成初始地應力平衡：建立1 g條件下的初始應力場，靜止土壓力系數(shù)K0取0.5?？紤]離心模型試驗中的基坑開挖采用“排重液法”，對于基坑中的ZnCl2重液，采用在基坑側壁和坑底施加與離心模型相等的荷載來模擬；

圖3 數(shù)值模擬過程示意圖Fig.3 Idealised numerical modelling procedure

（2）逐步增加重力加速度至50 g，同時增大作用在基坑側壁和坑底的荷載，模擬離心模型試驗正常運行時的應力水平；

（3）激活“wished-in-place”樁（離心試驗中的模型樁是在1 g條件的撒砂過程中完成安裝，無需考慮打樁過程對樁基受力變形和周圍土體擾動的影響，因此稱之為“wished-in-place”樁）；

（4）分級逐步減小作用在基坑側壁和坑底的荷載，分層完成基坑的模擬開挖。

3 預測結果

3.1 本構模型對預測結果的影響

圖4為Leung等［25］中單樁樁身水平位移和彎矩試驗值與模擬值的對比結果。可見，在樁頭無約束的條件下，采用懸臂支護結構的基坑開挖引起鄰近樁基的最大水平位移發(fā)生樁頭處，且沿樁身深度逐漸衰減；最大樁身彎矩發(fā)生在支護結構底部深度附近，因樁頭和樁端處無約束，其彎矩均為零。采用Mohr-Coulomb模型得到的樁身水平位移在樁身中下半段要明顯比試驗值偏大，而樁頭最大水平位移值低估了約16%；采用亞塑性模型得到的樁身水平位移分布特性與離心模型試驗相似，最大水平位移值高估了8%左右。兩種本構模型得到的樁身彎矩分布均與離心模型試驗相似，但前者計算得到的最大彎矩值比試驗值偏高13%，后者僅為2%。

圖4 離心模型試驗與數(shù)值模擬結果的對比分析Fig.4 Comparisons between measured results and numerical results

圖5為Leung等［26］中2×2群樁樁身水平位移和彎矩試驗值與模擬值的對比結果?？梢?，由于群樁承臺的存在，導致距離基坑較近的前樁和距離基坑較遠的后樁表現(xiàn)出不同的附加響應。如圖5（a）所示，對于前樁，基坑開挖卸荷引起周圍土體發(fā)生變形，導致樁身水平位移整體朝基坑方向；1.5 m以上樁身（約1/3基坑開挖深度）的水平位移較大，但向上至地表呈現(xiàn)衰減的趨勢，這是因為承臺具有一定的約束作用和后樁的拖曳作用。對于后樁，在周圍土體變形和承臺約束拖曳的雙重作用下，其樁身水平位移整體朝基坑方向，最大位移發(fā)生在地表樁頭位置，且地表處前樁和后樁的水平位移一致。進一步，對比試驗值與模擬值可知，無論采用Mohr-Coulomb模型還是亞塑性模型，數(shù)值模擬得到的前后樁樁身水平位移分布規(guī)律均與離心模型試驗相似，但前者計算得到的最大水平位移值高估了22%左右，后者高估了7.5%左右。如圖5（b）所示，對于前樁，樁身最大正負彎矩分別發(fā)生在基坑支護結構深度附近和1/3基坑開挖深度附近。對于后樁，樁身最大正負彎矩分別發(fā)生在基坑開挖深度下方附近和地表位置，且樁身大部分產生正彎矩（即靠近基坑一側的樁身表面出現(xiàn)壓應變）。由于承臺的存在，前樁和后樁的樁頭位置均產生了較大的負彎矩，這與單樁自由無約束時不同。對比可見，采用Mohr-Coulomb模型和亞塑性模型也能反映出群樁樁身彎矩的分布特性，但后者計算結果明顯比前者更接近試驗值。

圖5 離心模型試驗與數(shù)值模擬結果的對比分析Fig.5 Comparisons between measured results and numerical results

可見，由于Mohr-Coulomb模型高估了樁身大部分水平位移和彎矩，在工程實踐應用中可能會獲得過于保守的預測結果。兩種本構模型預測結果的差別主要是由于二者的理論框架不同，Mohr-Coulomb模型預測的土體剛度為常數(shù)，且其初始剪切模量G0較小，而亞塑性模型預測的土體剛度會隨著應變（包括小應變）的增大而衰減。基坑開挖卸荷會引起周圍土體的應力狀態(tài)和應力路徑發(fā)生顯著變化，而土體又具有應力路徑依賴性和應變依賴性，因此，亞塑性模型更能準確描述土體剛度在開挖過程中的變化趨勢。綜上所述，亞塑性模型能夠更好地反映土-結構相互作用問題中的結構變形和受力特性。

3.2 建模方法對預測結果的影響

圖6和圖7為采用上述“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”和“常重力狀態(tài)+原型尺寸”兩種建模方法得到的模擬結果，包括單樁和群樁的附加水平位移和樁身彎矩［25-26］。對比可見，在兩組試驗中，采用模型尺寸和原型尺寸得到的模擬結果基本相似。由圖6可知，對于基坑開挖對單樁的影響問題研究，采用“常重力狀態(tài)+原型尺寸”建模方法得到的最大樁身水平位移和樁身彎矩僅比“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”建模方法分別偏小6%和4%左右；由圖7可知，對于基坑開挖對群樁的影響問題研究，采用“常重力狀態(tài)+原型尺寸”建模方法得到的最大樁身水平位移和樁身彎矩比“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”建模方法分別偏小7%和9%左右。這表明只要實現(xiàn)土體的應力水平與原型場地一致，采用哪種數(shù)值模型尺寸對模擬結果的影響并不大。然而，為了真實模擬離心模型試驗的全過程，建議采用“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”的建模方法進行計算分析。

圖6 基于模型尺寸和原型尺寸的數(shù)值模擬結果Fig.6 Comparisons of numerical results based on model scale and prototype scale

圖7 基于模型尺寸和原型尺寸的數(shù)值模擬結果Fig.7 Comparisons of numerical results based on model scale and prototype scale

4 結論

本文以Leung等人的兩組經典離心模型試驗為例，基于不同的土體本構模型與建模方法進行計算分析，主要得到以下結論：

（1）在模擬土-結構相互作用問題時，采用Mohr-Coulomb模型和亞塑性模型均能得到與離心試驗結果相似的受力與變形規(guī)律，但由于后者能夠描述土體的應變依賴和應力路徑依賴性（即使在小應變情況下），計算值與試驗值的吻合度更佳，預測能力更好。

（2）對于基坑開挖對既有單樁的影響問題，采用Mohr-Coulomb模型的水平位移計算值明顯大于試驗值，最大彎矩比試驗值偏高13%；而采用亞塑性模型的最大水平位移僅高估8%左右，最大彎矩僅偏高2%。

（3）對于基坑開挖對既有群樁的影響問題，需要考慮承臺的約束作用和拖曳效應；Mohr-Coulomb模型計算得到的最大水平位移比試驗偏高22%左右，亞塑性模型僅偏高7.5%左右，且后者可以更好地預測樁身的附加彎矩特性。

（4）在保證土體應力水平與原型場地一致的前提下，采用“超重力離心狀態(tài)+模型尺寸”和“常重力狀態(tài)+原型尺寸”兩種建模方法得到的模擬結果相差不大，但為了真實模擬離心模型試驗的全過程，建議采用第一種方法。