考慮界面應力分布不均勻影響的擋土墻主動土壓力分析方法

王 峰，曹文貴

（湖南大學土木工程學院, 湖南 長沙 410083）

擋土墻土壓力的計算一直是土木、水利等學科重要的研究課題。經(jīng)典的朗肯土壓力理論和庫倫土壓力理論因概念清晰、計算簡單而得到廣泛應用，但其計算得到的土壓力線性分布與實際工程不符。大量的現(xiàn)場觀測與室內(nèi)試驗[1-5]發(fā)現(xiàn)，擋土墻后土壓力呈非線性分布，且與擋土墻的位移模式和墻土摩擦角有關(guān)。目前，關(guān)于擋土墻土壓力計算的研究，大多采用水平分層單元進行受力分析。關(guān)于計算單元上分布荷載的分析，是計算擋土墻土壓力的關(guān)鍵，而這也正是本文研究的出發(fā)點。

卡崗于1960年首次提出水平分層計算法，并由此得出土壓力非線性分布的計算結(jié)果，但其未考慮墻背摩擦對土壓力計算結(jié)果的影響[6]。對此，Handy 等[7]、Paik 等[8]在水平分層計算方法的基礎上引入主應力跡線概念，借助主應力跡線描述墻后土體的應力狀態(tài)，以表征墻背摩擦對墻后土體應力狀態(tài)的影響。之后，國內(nèi)外眾多學者[9-18]在Paik 等[8]研究的基礎上進行了改進和推廣。應宏偉等[9]通過對墻后土體主應力跡線的形狀進行分析，證明了主應力跡線形狀對土壓力分布的影響很小，并建議采用形狀相對簡單的圓弧進行分析。章瑞文等[10]指出在忽略水平剪切應力的情況下，計算單元并不滿足靜力平衡條件，并據(jù)此對滑裂面的傾角進行了重新計算。Xie 等[16]和Khosravi等[17]考慮曲線滑裂面，得到了土壓力分布的有限差分解。涂兵雄等[18]通過應力坐標平移的方法，將水平分層計算方法推廣到黏性填土擋土墻土壓力計算中。但在這些研究中，一般需要通過假設計算單元界面上的豎向正應力和水平剪切應力均布分布才能實現(xiàn)土壓力的求解，這顯然與實際情況不符。豎向正應力和水平剪切應力作為分布在計算單元界面上的界面應力，對土壓力計算有著重要影響，目前研究中關(guān)于其作用效果的討論也相對甚少。

針對以上不足，本文在前人關(guān)于墻后土體應力分布及主應力偏轉(zhuǎn)規(guī)律研究的基礎上，采用楔體單元進行受力分析，將界面不均勻分布的剪應力和正應力等效為作用在楔體單元邊界上的集中力即合力，并根據(jù)楔體單元的靜力平衡條件，建立了可以考慮單元界面剪應力和正應力不均勻影響的擋土墻主動土壓力計算的新方法。最后，通過對比驗證了本文方法的可行性和合理性，并進一步探討了界面應力對土壓力計算結(jié)果的影響，對現(xiàn)有的研究進行了補充。

1 基本假定

鑒于擋土墻工程實際情況的復雜性，為了本文研究的方便，如圖1 所示，對實際工程進行簡化，并作如下假設：

圖1 滑動楔體及主應力跡線示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sliding wedge and principal stress trace

（1）擋土墻墻高H；墻背豎直粗糙，且與填土之間的接觸摩擦角為 δ；填土面水平，不考慮地面超載作用。

（2）墻后墻土為無黏性土，其內(nèi)摩擦角為 φ。

（3）考慮主動破壞模式，假定墻后填土內(nèi)部形成通過墻踵的潛在滑裂面，滑裂面傾角為庫倫滑裂面傾角 β[6]，則：

2 墻后土體應力狀態(tài)分析

考慮土拱效應影響，墻后土體的應力狀態(tài)發(fā)生改變。如圖1 所示，水平面AB和CD上的所有土體，其應力分布符合Paik 等[8]的假設：土體強度完全發(fā)揮，小主應力跡線A'B'和C'D'為圓弧，且大小主應力的大小沿水平面保持不變。由于土拱效應的影響，水平面AB和CD上存在不均勻分布的豎向正應力和水平剪切應力，并且此時AB面和CD面上土體大主應力的大小不再等于上覆土層的自重應力，而是一個未知量，分別用 σ1h和σ1(h+Δh)表示。

如圖2 所示，對墻背處A點進行應力分析。通過分析，可得墻背處A點的小主應力跡線圓心角 θA為：

圖2 墻背A 點處土體應力狀態(tài)分析模型Fig.2 Analysis model of the soil stress state at point A on the back of the wall

A點處土體豎直方向上作用的水平正應力，即高度h處的土壓力強度 σwh為：

假設AB面上某一點處的小主應力跡線圓心角為θ，則該點水平方向上作用的豎向正應力 σvh和水平剪切應力 τhh分別為[12]：

滑裂面處B點小主應力跡線圓心角 θB為[12]：

小主應力跡線A'B'的半徑rh為：

將AB面上所有土體水平方向上作用的豎向正應力和水平剪切應力沿AB面進行積分，可得到作用在AB面上豎向正應力的合力Fσh和水平剪切應力的合力Fτh分別為：

式中：

將式（4）分別代入式（8）和式（9）得：

式中：

假設 Δh表示高度方向上的微小增量。同理，對CD面上的土體進行上述應力狀態(tài)分析，可得墻背處C點和滑裂面處D點的小主應力跡線圓心角 θC和 θD分別為：

C點處土體豎直方向上作用的水平正應力，即高度h+Δh處的土壓力強度σw(h+Δh)為：

小主應力跡線C'D'的半徑r(h+Δh)為：

CD面上某點水平方向上作用的豎向正應力σv(h+Δh)和水平剪切應力τh(h+Δh)分別為：

CD面上所有土體豎向正應力的合力Fσ(h+Δh)和水平剪切應力的合力Fτ(h+Δh)分別為：

3 楔體單元受力分析及主動土壓力計算

3.1 楔體單元受力分析

如圖3 所示，在墻后滑裂楔體內(nèi)部，在距墻底h處取局部楔體OAB進行受力分析。

圖3 楔體單元計算模型Fig.3 Wedge element calculation model

根據(jù)水平和豎直方向上的靜力平衡條件可得：

式中：Pah—擋土墻對局部楔體OAB的反力，為未知量，與局部楔體OAB產(chǎn)生的土壓力等值反向；

Rh—滑動面上作用的反力，為未知量；

Wh—局部楔體OAB的自重。

聯(lián)立式（20）（21）進行化簡，可得：

式中：

同理，對局部楔體OCD進行上述靜力平衡分析，可得：

式中：Pa(h+Δh)—擋土墻對局部楔體OCD的反力，為未知量，與局部楔體OCD產(chǎn)生的土壓力等值反向；

Wh+Δh—局部楔體OCD的自重。

3.2 主動土壓力計算

由于土壓力分布與土壓力合力之間在數(shù)學上存在微積分的聯(lián)系，根據(jù)微積分的定義[19]，當Δh→0時，有：

同時將σw(h+Δh)用微分增量式[19]的形式表達，即：

式中：dσwh—土壓力強度沿墻高在 Δh高度范圍內(nèi)的微小增量。

將式（10）（11）（18）（19）（22）（25）（27）代入式（26）得：

對式（28）進行化簡，可得關(guān)于σwh的微分方程：

式中：

代入邊界條件：當h=H時，σwh=0。求解方程（29）得：

式中：

沿墻高對土壓力強度進行積分得到土壓力合力，即：

由式（31）知土壓力系數(shù)Ka為：

土壓力合力作用點距墻底高度h0為：

4 實例驗證與參數(shù)分析

4.1 實例驗證

前蘇聯(lián)學者Tsagareli[1]在格魯吉亞列寧工學院進行了平動模式下剛性擋土墻的主動土壓力試驗。該試驗的條件為：墻背垂直、墻高H=4 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=32°，墻土接觸摩擦角δ=25°。為驗證本文方法的合理性，分別采用本文方法、庫倫方法、Paik 方法[8]、應宏偉方法[9]計算主動土壓力強度，并與模型試驗結(jié)果作比較，對比結(jié)果如圖4 所示。由圖4 可以看出，本文計算得到的土壓力呈非線性分布，在擋土墻上部位置計算結(jié)果大于庫倫計算結(jié)果，在擋土墻下部位置計算結(jié)果小于庫倫計算結(jié)果，在靠近墻底的位置，土壓力強度變化規(guī)律由增大變?yōu)闇p小，本文在靠近擋土墻上部位置土壓力強度小于應宏偉等[9]計算結(jié)果，而在擋土墻下部位置土壓力強度大于應宏偉等[9]計算結(jié)果，這主要是因為其在分析計算中忽視了計算單元界面上的水平剪切應力；本文在擋土墻墻高范圍內(nèi)土壓力強度計算結(jié)果均小于Paik 等[8]計算結(jié)果。從數(shù)據(jù)對比分析來看，本文方法計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)更加接近，驗證了本文方法的可行性與合理性。

圖4 本文計算結(jié)果與其他方法及Tsagareli 試驗結(jié)果對比Fig.4 Comparison of the theoretical calculation results with those of other methods and Tsagareli test results

4.2 參數(shù)分析

為了更好地探討墻土接觸摩擦角 δ和填土內(nèi)摩擦角 φ對土壓力非線性分布的影響，以前文模型試驗中的參數(shù)為基準，通過控制變量法，進行參數(shù)敏感性分析。

圖5 表示墻土接觸摩擦角對δ對土壓力分布的影響。當 φ一定時，隨著δ的增大，土壓力分布曲線的拐點上移，當δ較小時，土壓力近似呈線性分布。圖6 表示內(nèi)摩擦角 φ對土壓力分布的影響，當δ一定時，隨著φ的增大，土壓力分布曲線的拐點下移，同一深度處的土壓力強度逐漸減小。以上變化規(guī)律與Paik 等[8]和應宏偉等[9]分析結(jié)果一致。

圖5 墻土接觸摩擦角δ 對土壓力分布的影響Fig.5 Effect of the wall-soil contact friction angle δ on earth pressure distribution

圖6 內(nèi)摩擦角φ 對土壓力分布的影響Fig.6 Influence of the internal friction angle φ on earth pressure distribution

5 界面應力對土壓力計算結(jié)果的影響分析

界面應力作為計算單元界面上作用的荷載對土壓力計算結(jié)果有著重要的影響?，F(xiàn)有研究中關(guān)于這方面的討論甚少。本文方法力學概念清晰，便于分析界面應力的作用效果，現(xiàn)根據(jù)本文的計算思路，定性分析界面應力對土壓力計算結(jié)果的影響。在前文的分析計算中，根據(jù)式（10）和式（11）可知，豎向正應力和水平剪切應力對計算結(jié)果的影響，實際上由A3和A4表征。因此，在討論豎向正應力和水平剪切應力對土壓力計算結(jié)果的影響時，取以下4 種情況進行分析：（1）同時考慮豎向正應力和水平剪切應力（情況一）；（2）僅考慮豎向正應力，忽略水平剪切應力，即對上述計算分析過程中取A4=0（情況二）；（3）僅考慮水平剪切應力，忽略豎向正應力，即對上述計算分析過程中取A3=0（情況三）；（4）既不考慮豎向正應力也不考慮水平剪切應力，即對上述計算過程中取A3=0、A4=0（情況四）。

對上述4 種情況通過算例分別求解土壓力合力、土壓力分布和土壓力合力作用點。通過對計算結(jié)果進行對比，得到不均勻分布的豎向正應力和水平剪應力對土壓力計算結(jié)果的影響。

5.1 界面應力對土壓力合力的影響

由前文的計算分析可知，土壓力系數(shù)的表達式如式（32）所示。將A6、A7的表達式代入式（32）進行化簡，得：

經(jīng)過化簡得到的土壓力系數(shù)與庫倫土壓力系數(shù)完全一致，A3、A4作為中間變量在化簡的過程中被略去。因此，實際上土壓力系數(shù)與A3、A4無關(guān)，也就是說與豎向正應力和水平剪切應力無關(guān)，并且始終等于庫倫土壓力計算值。這表明，在分層計算的思想下，作為土體內(nèi)力的豎向正應力和水平剪切應力對土壓力合力的計算結(jié)果不產(chǎn)生影響。土壓力合力大小主要取決于計算區(qū)域以及邊界條件。

5.2 界面應力對土壓力分布的影響

算例條件如下：墻背垂直、墻高H=1 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=36°，墻土接觸摩擦角δ=12°、24°、36°，計算結(jié)果如圖7 所示。計算結(jié)果表明：豎向正應力和水平剪切應力都會導致土壓力呈非線性分布。僅考慮豎向正應力時（情況二），土壓力分布曲線的拐點始終位于擋土墻下方，隨著δ/φ值的增大而逐漸上移至擋土墻墻高中點位置附近。僅考慮水平剪切應力時（情況三），土壓力分布曲線的拐點始終位于擋土墻上方，且隨著δ/φ值的增大而逐漸下移至擋土墻墻高中點位置附近。當同時考慮豎向正應力和水平剪切應力時（情況一），土壓力分布曲線的拐點低于上述兩種情況，且隨著δ/φ值的增大而逐漸上移。特別地，如果既不考慮豎向正應力也不考慮水平剪切應力（情況四），土壓力分布曲線為直線，并且與庫倫土壓力線性分布完全一致。這點也可以根據(jù)式（28）進行分析可知，當A3=0 且A4=0 時，式（28）退化為：

圖7 不同δ/φ 值下4 種情況的土壓力分布Fig.7 Earth pressure distribution in four cases with different δ/φ values

將A5的表達式代入式（35），發(fā)現(xiàn)此時土壓力分布與庫倫土壓力分布完全一致。這表明，實際上庫倫土壓力線性分布假設的含義是計算單元界面上無應力存在。由于界面應力是土體強度發(fā)揮的表現(xiàn)，當界面上無應力時，也就是說，此時楔體內(nèi)部的土體強度完全沒有發(fā)揮。顯然，這種理想情況并不會存在，因此基于庫倫理論假設得到的土壓力分布和合力作用點并不準確。這與工程實踐得到的結(jié)論一致。

5.3 界面應力對土壓力合力作用點的影響

算例條件如下：墻背垂直、墻高H=1 m；墻后填土為砂土，土體重度 γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=36°，墻土接觸摩擦角δ=0°～36°。計算不同情況下土壓力合力作用點位置h0，計算結(jié)果如圖8 所示。計算結(jié)果表明：單獨考慮豎向正應力或水平剪切應力作用時，土壓力合力作用點位置都會得到提高。在填土內(nèi)摩擦角 φ一定的情況下，如果僅考慮水平剪切應力的作用，當墻土接觸摩擦角δ=0°時，土壓力合力作用點位置起始于距墻底2H/3 處，且隨著墻土接觸摩擦角δ的增大而逐漸減小至距墻底0.55H左右處，土壓力合力作用點位置始終高于0.50H，位于擋土墻上部位置。其他三種情況下，土壓力合力均起始于距墻底H/3 處，其中僅考慮豎向正應力和同時考慮豎向正應力和水平剪切應力兩種情況下，土壓力合力作用點位置隨墻土接觸摩擦角δ的增大而逐漸增大，土壓力合力作用點位置始終低于0.50H，位于擋土墻下部位置。但在僅考慮豎向正應力作用的情況下，土壓力合力作用點位置高于同時考慮豎向正應力和水平剪切應力的情況。由于在同時考慮豎向正應力和水平剪切應力的情況下，土壓力合力作用點的規(guī)律更加接近于僅考慮豎向正應力的情況，這說明實際上相對于水平剪切應力而言，豎向正應力對土壓力分布以及土壓力合力作用點的影響更大。特別地，如果既不考慮豎向正應力也不考慮水平剪切應力作用時，由于此時土壓力分布和庫倫線性土壓力完全一致，因此土壓力合力作用點與庫倫土壓力作用點完全一致，始終位于距墻底H/3 處。

圖8 不同情況下土壓力合力作用點規(guī)律Fig.8 Law of the action point of the resultant earth pressure in different situations

6 結(jié)論

（1）考慮分層界面上應力分布不均勻，可以更準確地描述土壓力的分布規(guī)律。土壓力分布曲線的拐點隨著墻土接觸摩擦角δ的增大而上升，隨著填土內(nèi)摩擦角 φ的增大而下降。土壓力合力作用點位置隨著δ/φ的增大而上升。

（2）界面應力作為滑動楔體內(nèi)部土體的內(nèi)力不會對土壓力合力的大小產(chǎn)生影響，但會對土壓力分布和土壓力合力作用點位置產(chǎn)生影響。在僅考慮豎向正應力的情況下，土壓力分布曲線為下部凸起的鼓形，土壓力合力作用點位置隨δ/φ的增大而上升，并且始終位于擋土墻墻高中點以下。而在僅考慮水平剪切應力的情況下，土壓力分布曲線為上部凸起的鼓形，土壓力合力作用點位置隨δ/φ的增大而下降，并且始終位于擋土墻墻高中點以上。在不考慮豎向正應力和水平剪切應力作用的情況下，土壓力分布與庫倫土壓力線性分布假設完全一致。這表明庫倫土壓力的內(nèi)涵是楔體內(nèi)部土體強度完全沒有發(fā)揮。

（3）對于單元界面上客觀存在的豎向正應力和水平剪切應力而言，相比于水平剪切應力，豎向正應力對土壓力計算結(jié)果的影響更大。