Delta并聯(lián)機器人機構(gòu)多目標優(yōu)化設(shè)計

孔凡國，李肇星，柯子旭

(五邑大學智能制造學部，廣東江門 529000)

0 前言

Delta系列機器人的工業(yè)需求日益增大，使其研究與應(yīng)用呈現(xiàn)輕量化、高速、高精度、高靈活性等趨勢。由于設(shè)計時要同時考慮的各項性能指標數(shù)量較多，基于Pareto 排序的傳統(tǒng)算法在處理目標數(shù)為4個或以上的問題時(即高維目標)效果并不理想，并且會產(chǎn)生較高的計算費用。

文獻[2]基于雅克比矩陣，對機器人運動性能的影響因素進行了研究，并分析了工作空間的主要影響因素。文獻[3]針對三自由度Delta機器人控制精度問題進行研究，詳細分析了機器人各結(jié)構(gòu)誤差源對控制精度的影響。文獻[4]對三自由度 Delta 并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計空間、空間點位置及雅克比矩陣條件數(shù)3個目標建立懲罰函數(shù)，并采用遺傳算法進行尺度綜合。文獻[5]研究了三自由度Delta并聯(lián)機構(gòu)的運動學和定向能力，定向能力與尺寸參數(shù)之間的關(guān)系表明，尺寸參數(shù)不會影響奇異位置運動的輸出運動特性。文獻[6]根據(jù)工作空間、速度、加速度和慣性力的要求，建立了4個目標函數(shù)，選取NSGA-2 算法，基于iSIGHT平臺DOE方法，對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)進行了多目標優(yōu)化設(shè)計，最終得到了Pareto解集。

本文作者針對運動學、動力學的多個目標，考慮機構(gòu)關(guān)節(jié)的影響，選取合理的優(yōu)化策略，在滿足性能要求的基礎(chǔ)上對機械結(jié)構(gòu)進行尺度綜合，在控制計算費用的同時，使機器人具有良好的性能。

1 Delta并聯(lián)機構(gòu)

以3-DOF Delta機器人為例，對如圖1(a)所示的三維模型進行抽象與簡化，建立其機構(gòu)簡圖，如圖1(b)所示。將靜、動平臺簡化為2個等邊三角形，外接圓半徑分別為、。以靜平臺中心為原點建立靜坐標系-，以動平臺中心′為原點建立動坐標系′-′′′；兩坐標系軸均為豎直向上,軸指向中點,軸指向中點。

圖1 Delta機器人模型及機構(gòu)簡圖

設(shè)為各主動臂長度，為各從動桿長度，為從動桿直徑,為主動臂與靜平臺軸銳角夾角，(=1,2,3)為各驅(qū)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動角度。

2 動力學模型

計算閉鏈機構(gòu)動力學模型的經(jīng)典方法：考慮等效樹結(jié)構(gòu)，使用Lagrange乘數(shù)或D′ Alembert原理實現(xiàn)運動學約束。

常用動力學建模方法包括虛功原理法、拉格朗日法、密哈爾頓原理法和牛頓-歐拉法。其中，建立牛頓動力學方程需要分析質(zhì)點系的約束力，消去非獨立坐標，然后消去未知的約束力，以求得一個盡可能簡單的微分方程組。

對于并聯(lián)機構(gòu)而言，動力學模型通常比較復(fù)雜不易求解，且坐標間的耦合程度會影響其運動性能和控制性能，因此需對模型進行簡化以消除桿件之間的耦合。將從動桿的質(zhì)量慣量分為2份，1份分給主動臂，1份分給動平臺。將從動桿的慣量分為3份，2份分配給主動臂，1份分配給動平臺。由虛功原理可知系統(tǒng)受力包括動平臺受力和主動臂受力，所有非慣性力之和等于慣性力。如圖2所示，動平臺僅平動，受到自身重力和慣性力的影響；主動臂僅轉(zhuǎn)動，受到自身重力、電機轉(zhuǎn)矩和主動臂自身轉(zhuǎn)動慣量的影響。

圖2 Delta機器人系統(tǒng)受力樹狀圖

簡化后動平臺等效平動慣量及等效慣性質(zhì)量分別表示為

(1)

(2)

式中：為動平臺質(zhì)量；為動平臺負載質(zhì)量；為從動桿質(zhì)量。

簡化后主動臂等效質(zhì)量為

(3)

式中：為主動臂質(zhì)量；為主動臂上的球鉸質(zhì)量。

模型簡化后，主動臂慣性質(zhì)量的質(zhì)心位置為

(4)

主動臂重力等效轉(zhuǎn)矩為

=···[cos]

(5)

主動臂總轉(zhuǎn)動慣量b為輸出軸轉(zhuǎn)動慣量與主動臂自身轉(zhuǎn)動慣量的和：

b=+=1，2，3

(6)

=(+)

(7)

(8)

式中：為電機轉(zhuǎn)動慣量;為減速器轉(zhuǎn)動慣量;為減速器減速比。

令主動臂等效轉(zhuǎn)動慣量為

(9)

由虛功原理可得Delta并聯(lián)機構(gòu)逆動力學方程為

(10)

(11)

3 優(yōu)化策略

對于低速并聯(lián)機構(gòu)，僅考慮工作空間、雅克比條件數(shù)、奇異值等基本動力學指標即可得到較好的優(yōu)化結(jié)果。上述指標可經(jīng)基本代換變?yōu)閱文繕藛栴}解決，優(yōu)化過程較簡單。

由于機械手不停向高速度、高精度方面發(fā)展，機械手的設(shè)計優(yōu)化既要滿足運動學要求，還需有良好的動態(tài)特性。對于運動構(gòu)件的慣量、逆動力學方程中坐標間的耦合程度以及驅(qū)動機構(gòu)運動所需的驅(qū)動力矩與驅(qū)動功率等性能指標，要建立準確的動力學方程進行優(yōu)化。

考慮到機構(gòu)所處的位形不同，桿件的長度、截面積不同均會影響上述指標，高速并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)化問題常常較為復(fù)雜。

本文作者以非支配排序遺傳算法NSGA-II 對Delta并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)尺寸進行優(yōu)化。優(yōu)化策略：進行試驗設(shè)計，依據(jù)試驗結(jié)果規(guī)定設(shè)計變量及其取值范圍；選取試驗結(jié)果中趨勢相似的響應(yīng)變量，整合后建立新的目標函數(shù)；在加以約束的情況下，借助NSGA-II完成機構(gòu)運動學、動力學多目標尺度綜合。

3.1 設(shè)計變量

為研究多因子與響應(yīng)變量之間的關(guān)系，進行試驗設(shè)計。選取最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計方法獲得數(shù)據(jù)樣本，設(shè)置樣本為1 000組，令為局部剛度,為局部動力學靈巧度,+為驅(qū)動力矩和功率的和,為最小奇異值,為可操作度，得出自變量、、、、與響應(yīng)變量的關(guān)聯(lián)度如表1所示。

表1 因子與響應(yīng)變量的關(guān)聯(lián)度

假設(shè)各桿截面形狀規(guī)則，桿質(zhì)量與桿長、截面尺寸成正比關(guān)系，依據(jù)試驗結(jié)果選取動平臺半徑、靜平臺半徑、驅(qū)動臂長度、從動桿長度、從動桿直徑作為設(shè)計變量，以使機械手在給定范圍的工作空間中整體尺寸最小。

3.2 優(yōu)化目標

由于具有高維目標的最優(yōu)解求解時不易收斂，且可視化較差，所以本文作者將Delta并聯(lián)機構(gòu)運動學、動力學的常見性能指標綜合為3個優(yōu)化目標。所涉及到的指標包括：可操作度、全局剛度、全局動力學靈巧度、功率及力矩、雅克比全局條件數(shù)。

3.2.1 運動學目標

在機械手的優(yōu)化設(shè)計中，由于可達工作空間的體積并不能成為評價機器人在工作空間中的整體運動學性能的唯一判據(jù)，需引入其他性能指標。對于一個并聯(lián)機構(gòu)，其靈巧度可以用來反映輸入輸出運動或力之間的傳遞精度，通過求解機構(gòu)速度雅克比矩陣可得出3種可影響靈巧度的指標：全局條件數(shù)指標、最小奇異值指標1/()、可操作度指標1/。將3個指標歸一化處理后求和形成綜合指標，用于評價機構(gòu)全局靈巧度特性。

(1) 全域條件數(shù)指標。GOSSELIN等定義了全局指標全域條件數(shù)指標(Global Condition-number Index,GCI)評估機械手在工作區(qū)上的條件數(shù)分布，當=1時，機構(gòu)處于運動學各向同性狀態(tài)。表達式為

(12)

為局部條件數(shù)(Local Condition-number Index,LCI)，在可達工作空間內(nèi)的均值，反映機構(gòu)條件數(shù)在全域范圍內(nèi)的各向同性。

(13)

(2)最小奇異值指標。雅克比矩陣的最小奇異值()體現(xiàn)了輸入與輸出之間的最小傳遞放大倍數(shù)。()越大執(zhí)行端對運動傳遞越快。令最小奇異值指標為1()。

(3) 可操作度指標。按YOSHIKAWA的定義，機器人雅克比矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣乘積的行列式值的開方體現(xiàn)了機構(gòu)距離奇異形位和不定形位的程度，為機器人的可操作度：

(14)

當=0，機構(gòu)處于奇異形位；當=∞，機構(gòu)處于不定形位；當≠0且≠∞時，機構(gòu)處于非奇異形位。令1/為可操作度指標。

(4)綜合靈巧度指標。先將、1()、1/進行歸一化處理；再根據(jù)該機構(gòu)的各向同性和響應(yīng)速度，配置權(quán)重系數(shù)，設(shè)定=0.4、=0.4、=0.2，構(gòu)造綜合評價指標：

=[+()+]→min

(15)

3.2.2 動力學目標

對Delta機構(gòu)的動力學逆解進行數(shù)值分析，假設(shè)動平臺運動軌跡為典型門字軌跡，對機構(gòu)剛度和靈巧度進行分析。

(1)剛度指標。當外力作用在末端執(zhí)行器上時，機構(gòu)發(fā)生形變，形變量關(guān)系著機器人動力學性能和位置精度，尤其對于并聯(lián)機床或某些需要高精度的并聯(lián)機械手，靜態(tài)剛度(或剛度)是設(shè)計時的首要考慮因素。

在文中，僅考慮驅(qū)動機構(gòu)的剛度(其他部分看作是剛體)，通過應(yīng)用動態(tài)和靜態(tài)方程，得到局部剛度指標(Local Stiffness Index,LSI):

(16)

(17)

其中:為并聯(lián)機器人的剛度矩陣。為全局剛度指標(Global Stiffness Index,GSI)；由LSI在可達工作空間內(nèi)的均值表示。優(yōu)化時應(yīng)滿足：→min。

質(zhì)量矩陣為

=()

(18)

設(shè)定局部動力學靈巧度指標(質(zhì)量矩陣條件數(shù))在可達工作空間內(nèi)的均值，為全局動力學靈巧度指標,→min。、表達式為

(19)

(20)

(3) 綜合動力學指標。根據(jù)DOE的結(jié)果，、趨勢相近，則令動力學目標函數(shù)為

=(+)→min

(21)

(4)控制性能指標。在執(zhí)行門字形軌跡運動時，機器人驅(qū)動力矩和功率的最大值越小越好。令性能控制目標函數(shù)為

=(+)→min

(22)

3.3 約束條件

3.3.1 結(jié)構(gòu)尺寸約束

Delta并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間受到靜平臺和動平臺鉸接點分布圓半徑差、主動臂、從動桿直徑以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的約束。本文作者采用極坐標搜索法對進行取點，由圖3可知，為頂部帶有尖角的不規(guī)則幾何體。

圖3 Delta機器人可達工作空間

對旋轉(zhuǎn)副轉(zhuǎn)角進行約束：

min ≤≤max =1,2,3

(23)

對球副轉(zhuǎn)角進行約束：

min≤≤max=1,2,3

(24)

連桿的干涉約束：

≥

(25)

其中：為任意相鄰兩桿間最短距離。

在實際應(yīng)用中，所要求的設(shè)計工作空間一般是規(guī)則的(如長方體、圓柱體等)，文中以圓柱體為設(shè)計空間，要求設(shè)計空間包含于可達工作空間,即∈。

3.3.2 運動學約束

在可達工作空間內(nèi)，給定≤5且≥0.2的約束條件，以保證機構(gòu)的各向同性，提高末端動平臺的響應(yīng)速度，同時避免奇異位形。

3.3.3 動力學約束

3.4 優(yōu)化模型

該機構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學模型可表述為

設(shè)計變量：,,,,

目標函數(shù)：

約束條件1：

約束條件2：

4 非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)

4.1 多目標優(yōu)化問題

NSGA-II算法多用于解決多目標問題，NSGA-II在NSGA的基礎(chǔ)上，增加了精英保留策略、計算擁擠距離值作為密度估計策略和快速非支配排序策略。該算法比NSGA效率更高，且不必選取參數(shù)。

4.2 算法流程

NSGA-II算法流程如圖4所示。

圖4 NSGA-II算法流程

5 優(yōu)化結(jié)果

5.1 具體應(yīng)用過程

NSGA-Ⅱ算法流程中參數(shù)設(shè)定：種群大小為24，運行代數(shù)為200代，交叉概率0.9，變異概率0.1。

步驟4中機器人各構(gòu)件均質(zhì)且為剛性,運動過程中不考慮摩擦因素影響，采用5次多項式構(gòu)造門運動軌跡函數(shù)如圖5所示。圖中，起點(-100,0,-380)、中間點(-100,0,-330)、中間點(100,0,-330)、終點(100,0,-380)。

圖5 末端動平臺的運動軌跡

5.2 運算結(jié)果

通過iSIGHT軟件迭代計算后得到Pareto前沿解，如圖6所示。如表2所示，選取其中各項目標值較優(yōu)的8組解，其中第0組為初始值作為參考；第1組為軟件給出的最優(yōu)解。

表2 多目標優(yōu)化結(jié)果

圖6 Pareto 最優(yōu)解

為驗證優(yōu)化策略的可行性，設(shè)計不同維度的目標函數(shù),對比的優(yōu)化解集，對比方案中僅將拆分為2個單獨目標=、=。結(jié)果表明：在使用同種算法、相同迭代次數(shù)下，方案1(3個目標函數(shù))生成可行解624個、最優(yōu)解13個，方案2(4個目標函數(shù))生成可行解62個、最優(yōu)解1個。

6 結(jié)論

本文作者通過DOE選定設(shè)計變量并建立目標函數(shù)，利用控制關(guān)鍵變量控制整體優(yōu)化過程；通過整合趨勢相近的目標，將目標數(shù)降為3個，相對于更高維度的目標數(shù)，文中的優(yōu)化策略收斂性好，可視化程度強，計算費用大大降低，驗證了優(yōu)化策略的合理性。Pareto前沿圖表明NSGA-Ⅱ算法在此次設(shè)計優(yōu)化過程中，在保證機構(gòu)滿足設(shè)計空間和特定軌跡的條件下，能保持良好的綜合性能，減小了整體尺寸，體現(xiàn)了優(yōu)化策略的有效性。給出了部分Pareto前沿解供設(shè)計人員參考，后續(xù)還可加入模態(tài)分析、誤差分析等使優(yōu)化策略更加完善。