石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的分析與優(yōu)化

尹方辰，史宏偉，紀(jì)清智，陳寅昊，王柴志，黃國(guó)欽，崔長(zhǎng)彩

(華僑大學(xué)制造工程研究院，福建廈門 361021)

0 前言

在石材產(chǎn)業(yè)中，石雕作為一門藝術(shù)，是石材與雕刻藝術(shù)的完美結(jié)合，一直記錄著世界文明的發(fā)展歷程，是人類文化及藝術(shù)傳承的主要載體之一，具有較高的藝術(shù)價(jià)值和文化價(jià)值。立體石雕更是以其整體形狀與輪廓構(gòu)造復(fù)雜、曲面繁多等特點(diǎn)成為附加經(jīng)濟(jì)值較高的石材制品。在立體石雕產(chǎn)業(yè)中，加工是產(chǎn)業(yè)核心，立體石雕加工是離散制造形態(tài)，無(wú)法像鞋帽服裝一樣流水化生產(chǎn)，不能通過擴(kuò)充設(shè)備數(shù)量、提高工人數(shù)量來(lái)降低單價(jià)成本，且產(chǎn)品的質(zhì)量完全取決于專業(yè)工人的技術(shù)積累，因此新技術(shù)的引入是行業(yè)命脈。近年來(lái)，以機(jī)械臂為代表的智能加工裝備，可以最大限度地代替人工勞動(dòng)，降低人力成本，同時(shí)可以在各種復(fù)雜的環(huán)境中完成加工作業(yè)，在工件尺寸、加工效率與造型靈活性等方面已經(jīng)表現(xiàn)出傳統(tǒng)石材數(shù)控雕刻中心無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。在國(guó)內(nèi)，廈門大學(xué)、山東大學(xué)與華僑大學(xué)等單位相繼投入力量研發(fā)石材雕刻機(jī)械臂，在機(jī)械臂雕刻系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)、雕刻刀位軌跡生成與雕刻過程的仿真上取得了大量的研究成果。在國(guó)際上，ANDERSSON和JOHANSSON研究了機(jī)械臂雕刻過程中的力控方法，從而保證了機(jī)械臂雕刻過程的穩(wěn)定性；HU和CHEN提出了一種機(jī)械臂雕刻復(fù)雜曲面的軌跡優(yōu)化方法，為機(jī)械臂雕刻復(fù)雜曲面的軌跡設(shè)計(jì)提供了新的思路。

石材雕刻機(jī)械臂是六自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)，在其工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)性能的變化相當(dāng)復(fù)雜，且立體石雕的工件毛坯尺寸通常較大，雕刻機(jī)械臂通常在較大的工作空間內(nèi)進(jìn)行加工，因而石材雕刻機(jī)械臂在其可達(dá)工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)性能的優(yōu)劣直接影響立體石雕產(chǎn)品的加工質(zhì)量。本文作者針對(duì)這一問題，對(duì)石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行分析與優(yōu)化，并給出其最優(yōu)工作空間的選取方法。為分析石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能，需要建立能描述石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能的指標(biāo)。機(jī)械臂雅克比速度矩陣具有奇異性，其求解逆矩陣精度較低，只可以定性地描述石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能。然而，石材雕刻機(jī)械臂的工作空間不僅要避開奇異區(qū)域，而且由于雕刻實(shí)際操作和控制精度的要求，工作空間應(yīng)該盡量遠(yuǎn)離奇異區(qū)域。靈巧度是定量描述石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)劣的一個(gè)有效指標(biāo)，它是指機(jī)器人沿任意方向運(yùn)動(dòng)并施加力和力矩的能力的難易程度。靈巧度越高，機(jī)械臂執(zhí)行器末端越遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)，可加工范圍和控制精度都能顯著提高，該指標(biāo)在研究機(jī)械臂的連桿尺寸設(shè)計(jì)、軌跡規(guī)劃和避障等問題時(shí)具有重要的指導(dǎo)作用。國(guó)內(nèi)外許多研究機(jī)構(gòu)對(duì)機(jī)械臂本體和機(jī)械臂加工系統(tǒng)進(jìn)行了靈巧度分析及其加工空間優(yōu)化。王偉和贠超優(yōu)化了磨削機(jī)接觸輪相對(duì)于機(jī)械臂基坐標(biāo)系的位移偏移量，獲得了機(jī)械臂砂帶磨削系統(tǒng)具有最高靈巧度的磨削工作空間。郭肖鵬和張志利建立了排爆機(jī)械臂在工作空間內(nèi)的靈巧度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并通過遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)了排爆機(jī)械臂靈巧度的優(yōu)化。菅奕穎以工作空間與靈巧度為約束條件,對(duì)不同構(gòu)形的六軸工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì),對(duì)相同構(gòu)形的機(jī)器人進(jìn)行尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。肖華等人對(duì)一種六自由度壓力容器檢測(cè)機(jī)械臂的靈巧度進(jìn)行仿真分析，并給出指定操作點(diǎn)的機(jī)械臂靈巧度仿真結(jié)果。對(duì)于石材的機(jī)械臂雕刻加工而言，如果石材工件毛坯能夠擺放在合理的位置上，使得機(jī)械臂能夠運(yùn)動(dòng)在其靈巧度最優(yōu)的工作空間內(nèi)，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能與加工精度將得到顯著提高。

本文作者基于D-H方法建立石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；提出一種適用于石材雕刻機(jī)械臂的靈巧度指標(biāo)，并推導(dǎo)出它在工作空間內(nèi)任意一點(diǎn)的計(jì)算方法；通過對(duì)石材雕刻機(jī)械臂加工軌跡進(jìn)行仿真，分析機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間和操作空間坐標(biāo)下靈巧度的變化規(guī)律。采用Dijkstra優(yōu)化理論，以靈巧度最大為目標(biāo)函數(shù)，在石材雕刻機(jī)械臂可達(dá)工作空間內(nèi)，尋優(yōu)得到其最優(yōu)工作空間，并采用ADAMS仿真軟件驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性。

1 石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 D-H參數(shù)建模

本文作者所研究的石材雕刻機(jī)械臂如圖1所示，其主體部分由德國(guó)庫(kù)卡(KUKA)公司所生產(chǎn)的KR240-R2900高精度機(jī)械臂與意大利HSD公司生產(chǎn)的高速電主軸(30 kW,12 000 r/min)構(gòu)成,并配備專用的石材雕刻刀具。由于石材雕刻機(jī)械臂中所有關(guān)節(jié)軸都是旋轉(zhuǎn)副，使用D-H參數(shù)建立KR240-R2900機(jī)器人每個(gè)連桿的坐標(biāo)系，如圖2所示。此外，末端執(zhí)行器的裝載也會(huì)影響機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，為標(biāo)定末端執(zhí)行器參數(shù)與機(jī)械臂的負(fù)載參數(shù)，在圖2中建立虛擬關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{}與腕關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{6}相連。根據(jù)圖1所示的石材雕刻機(jī)械臂機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)，確定石材雕刻機(jī)械臂各連桿D-H參數(shù)如表1所示。

圖1 石材雕刻機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

圖2 石材雕刻機(jī)械臂D-H參數(shù)坐標(biāo)系

表1 石材雕刻機(jī)械臂D-H參數(shù)

-1、-1、和為連桿參數(shù)。其中，連桿長(zhǎng)度是沿-1方向從-1軸到軸的距離；連桿扭角-1是繞-1軸從-1軸旋轉(zhuǎn)到軸的轉(zhuǎn)角；關(guān)節(jié)距離是沿方向從-1軸到軸的距離；關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角是繞軸從-1軸旋轉(zhuǎn)到軸的轉(zhuǎn)角。

1.2 石材雕刻機(jī)械臂的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

根據(jù)圖2與表1,將所有的齊次變化矩陣相乘可得到石材雕刻機(jī)械臂末端位姿的變換矩陣。齊次變換矩陣已由D-H參數(shù)給出，因此正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為

(1)

式中:[ ]表示變換矩陣中坐標(biāo)系相對(duì)于軸的旋轉(zhuǎn)向量，同理[ ]、[ ]分別表示變換矩陣中坐標(biāo)系相對(duì)于、軸的旋轉(zhuǎn)向量；[ ]表示機(jī)械臂末端刀具的位置向量。

根據(jù)每個(gè)坐標(biāo)系的建立步驟，可將相鄰坐標(biāo)系變化的表達(dá)式描述為

(2)

從等式(2)可以推導(dǎo)出下式：

(3)

式中：為sin(+)；為cos(+);—為石材雕刻機(jī)械臂末端刀具姿態(tài)的矩陣。

令等式(3)左右兩側(cè)矩陣第二行第四列元素相等，得等式(4)如下：

(---)+(++)=

(4)

由等式(4)可得，關(guān)節(jié)角的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

=arctan(++,++)-

arctan[,(-1)·

(5)

(6)

(7)

在等式(7)中只有3個(gè)未知量，因此求解等式(7)便可得到剩余的3個(gè)關(guān)節(jié)角、和的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由建立的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知，求解得到的石雕機(jī)械臂姿態(tài)解不是單一解而可能存在多個(gè)解。這表明當(dāng)石材雕刻機(jī)械臂的末端執(zhí)行器到達(dá)加工空間中的任意位置時(shí)，會(huì)存在不同的加工姿態(tài)。因此，石材雕刻機(jī)械臂能以不同的姿態(tài)到達(dá)同一個(gè)加工位置，并且其在不同的姿態(tài)下的運(yùn)動(dòng)性能也不相同。因此在實(shí)際的石材雕刻加工中，機(jī)械臂需要以具有最優(yōu)運(yùn)動(dòng)性能的姿態(tài)來(lái)雕刻石材，以保證加工質(zhì)量。

2 石材雕刻機(jī)械臂的靈巧度

在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)中，機(jī)械臂雅克比矩陣反映了操作空間機(jī)械臂末端速度與關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)角速度之間的關(guān)系，如式(8)所示：

=()d

(8)

式中:()表示機(jī)器人的雅克比矩陣；表示末端執(zhí)行器的速度。

對(duì)于文中所研究的石材雕刻機(jī)械臂，其雅克比矩陣為6×6階方陣，當(dāng)存在一組關(guān)節(jié)角度，使得雅克比矩陣行列式為0，此時(shí)機(jī)械臂有一個(gè)或者多個(gè)關(guān)節(jié)的軸線重合，機(jī)械臂就會(huì)喪失一到多個(gè)自由度。此時(shí)，末端執(zhí)行器的坐標(biāo)稱為奇異點(diǎn)，奇異點(diǎn)的速度反解不存在，機(jī)械臂不具有可操作性，并且其運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)都會(huì)變差。因此，在選擇機(jī)械臂加工位姿時(shí)，應(yīng)盡量遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)。

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)是一個(gè)標(biāo)量，用于衡量機(jī)械臂沿任意方向運(yùn)動(dòng)并施加力和力矩的能力。雅克比矩陣的條件數(shù)()的倒數(shù)可以作為運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)來(lái)衡量機(jī)械臂末端執(zhí)行器距離奇異點(diǎn)的距離，它被稱為機(jī)械臂的靈巧度。其中，石材雕刻機(jī)械臂的雅克比矩陣條件數(shù)()可表示為

(9)

其中:tr()表示雅克比矩陣的跡；表示雅克比矩陣的維數(shù)。

則石材雕刻機(jī)械臂的靈巧度可表示為

(10)

對(duì)于石材雕刻機(jī)械臂，為7。需要注意的是，這里的不是公式(8)中的雅克比矩陣()，而是雅克比矩陣的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型。 規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)類型的引入是為了解決雅克比矩陣的內(nèi)部單位不一致的問題，其定義為

(11)

其中:、、分別是3×3的單位矩陣、3×3的零矩陣和雅克比矩陣。

特征長(zhǎng)度的定義：確保雅克比矩陣的所有元素都有相同物理單位的歸一化長(zhǎng)度，計(jì)算公式為

(12)

當(dāng)條件數(shù)()為最小值時(shí)，石材雕刻機(jī)械臂的特征長(zhǎng)度為一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸與末端點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸之間距離的均方根值。為獲得石材雕刻機(jī)械臂的特征長(zhǎng)度，建立目標(biāo)函數(shù)如下：

(13)

=-1.314 rad= 2.127 rad= 233.14 mm

根據(jù)公式(10)與式(11)可知，0<()≤1。當(dāng)()=1時(shí)，雅克比矩陣的所有奇異值都相等，其對(duì)應(yīng)的石雕機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能最好。相反，當(dāng)()趨于0時(shí)，雅克比矩陣的最小奇異值趨于零或者最大奇異值趨于無(wú)窮大。此時(shí)，末端執(zhí)行器接近奇異點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的石雕機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能會(huì)顯著降低。因此，為使石雕機(jī)械臂具有良好的運(yùn)動(dòng)性能，理論上應(yīng)盡可能選擇在()值大的區(qū)域運(yùn)動(dòng)。

3 石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能分析

在使用石材雕刻機(jī)械臂進(jìn)行雕刻加工時(shí)，常用走刀軌跡有回字形軌跡和工字型軌跡兩種。文中以回字形走刀軌跡為例，在雕刻機(jī)械臂的可達(dá)工作空間內(nèi)，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析。在石材雕刻機(jī)械臂加工路徑的離線仿真中，設(shè)定末端刀具姿態(tài)垂直于工件表面，在機(jī)器人末端刀具的姿態(tài)(，，，，，)中，只有、兩個(gè)方向會(huì)隨著加工路徑而發(fā)生變化,如圖3所示。將機(jī)器人操作空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)定義為，當(dāng)石材雕刻機(jī)械臂在-平面上以不同的高度進(jìn)行加工時(shí)，根據(jù)上文所提出的靈巧度指標(biāo)()，可以獲得石材雕刻機(jī)械臂在其可達(dá)工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的分布。

圖3 石材雕刻機(jī)械臂加工空間區(qū)域示意

3.1 關(guān)節(jié)空間下的運(yùn)動(dòng)性能分析

如圖3所示，工作臺(tái)中心的坐標(biāo)為(0,2 000,0)，軸的加工范圍為-500～500 mm，軸的加工范圍為1 500～2 500 mm。將軌跡位移每100 mm定義為一個(gè)單位步距，在石雕機(jī)械臂走回字形軌跡的過程中，軌跡的步數(shù)與-平面軌跡之間存在如下關(guān)系：

(14)

在石雕機(jī)械臂走回字形軌跡過程中，、和軸僅有微小變化，而機(jī)械臂軸不影響其加工性能，和軸主要影響機(jī)械臂末端位置的變化。因此,為分析石雕機(jī)械臂在其關(guān)節(jié)空間下的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，設(shè)定、、和為常數(shù)，通過改變和來(lái)分析石雕機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的變化規(guī)律。變量條件設(shè)置如下：

(15)

石雕機(jī)械臂在操作空間內(nèi)和軸可達(dá)角度范圍分別為[-1.7 rad,-0.9 rad]和[1.5 rad,2.5 rad]。在關(guān)節(jié)空間內(nèi)計(jì)算得出石雕機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)性能隨和軸角度變化分布，如圖4(a)所示。在第1.1節(jié)機(jī)械臂D-H參數(shù)建模中提到，機(jī)械臂末端執(zhí)行器的質(zhì)量也會(huì)影響其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。因此，本文作者以相同的角度約束條件分析石雕機(jī)械臂在未裝載末端執(zhí)行器情況下的關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)性能分布情況，結(jié)果如圖4(b)所示，與裝載電主軸情況下的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行比較。

圖4 石雕機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間下的運(yùn)動(dòng)性能圖譜

由圖4可知：石雕機(jī)械臂未裝載末端執(zhí)行器時(shí)靈巧度指標(biāo)在0.16～0.24范圍內(nèi)分布，裝載末端執(zhí)行器時(shí)靈巧度指標(biāo)在0.12～0.19范圍內(nèi)分布，兩者具有類似的變化趨勢(shì)。末端執(zhí)行器的裝載降低了機(jī)械臂的靈巧性能，石雕機(jī)械臂整體運(yùn)動(dòng)性能下降。同時(shí)，石雕機(jī)械臂在其工作空間內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)性能隨著和的增大逐漸增強(qiáng)。因此，在末端軌跡點(diǎn)不變的條件下，石雕機(jī)械臂應(yīng)該選擇和角度較大的姿態(tài)進(jìn)行加工。

3.2 操作空間下的運(yùn)動(dòng)性能分析

石雕機(jī)械臂在實(shí)際雕刻加工中，逐層向下走回字形軌跡，在操作空間中可視為在不同方向高度上進(jìn)行加工。為研究石雕機(jī)械臂在操作空間下運(yùn)動(dòng)性能分布，將-平面中的工作區(qū)域按每100 mm分成11×11=121個(gè)步數(shù)點(diǎn),計(jì)算出石雕機(jī)械臂在不同高度下，每個(gè)步數(shù)點(diǎn)位置下的靈巧度指標(biāo)()，擬合得出靈巧度的等高線，即運(yùn)動(dòng)性能圖譜，如圖5所示。

圖5 不同高度z下的x-y截面運(yùn)動(dòng)性能圖譜

由圖5可以看出:在方向不同高度上，石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能分布均關(guān)于軸對(duì)稱。這是由于石雕機(jī)械臂軸的變化不會(huì)影響機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能，且靈巧度指標(biāo)是以同心圓形狀向外擴(kuò)散，而不是以平行線形式遞減，同樣驗(yàn)證了第3.1節(jié)中所述的軸不會(huì)影響機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能的假設(shè)。同時(shí)，在相同的方向高度上，隨著方向的位移不斷增加，即機(jī)械臂不斷向外延伸加工，其運(yùn)動(dòng)性能逐漸降低。當(dāng)加工高度為600 mm時(shí)，石雕機(jī)械臂在-截面上靈巧度分布范圍為0.087～0.139，在=500 mm和=400 mm高度下靈巧度分布范圍分別為0.096～0.156、0.104～0.162?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著雕刻過程的進(jìn)行，即末端執(zhí)行器垂直工件表面向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，石雕機(jī)械臂在不同高度下時(shí)，-截面的整體運(yùn)動(dòng)性能也隨之逐漸增強(qiáng)。

進(jìn)一步地，選取二維空間平面-，其中軸范圍是-500～500 mm，軸范圍是100～1 100 mm，方向選取1 500、2 000、2 500 mm 3個(gè)位置，以同樣的加工姿態(tài)，分析在方向不同位置上-截面石雕機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能分布情況，如圖6所示。

圖6 y方向不同位置處x-z截面運(yùn)動(dòng)性能圖譜

由圖6可知：在方向不同位置處，石雕機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能均隨著高度的減小而增強(qiáng)；當(dāng)=1 500 mm時(shí)，機(jī)器人在-截面上靈巧度分布范圍為0.076～0.175；當(dāng)=2 000 mm和=2 500 mm時(shí)，-截面上石雕機(jī)械臂靈巧度分布范圍分別為0.053～0.160、0.027～0.126?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著石雕機(jī)械臂向外伸展加工，它在方向不同位置處-截面的整體運(yùn)動(dòng)性能隨之逐漸減弱。

4 基于Dijkstra優(yōu)化理論的石雕機(jī)械臂工作空間優(yōu)化

一般石雕工件毛坯多為規(guī)則幾何體形狀，而毛坯位置的擺放大多遵循人為經(jīng)驗(yàn)選擇，對(duì)毛坯工件的擺放尚未有理論的指導(dǎo)依據(jù)。根據(jù)前文的分析可知，石雕機(jī)械臂在不同的關(guān)節(jié)空間與操作空間下，其運(yùn)動(dòng)性能有很大差別。因此，需要對(duì)石雕機(jī)械臂的固有靈活工作空間進(jìn)行優(yōu)化，使得機(jī)械臂的作業(yè)對(duì)象完全布局在該優(yōu)化空間內(nèi)，這樣石雕機(jī)械臂在進(jìn)行雕刻加工時(shí)，才會(huì)具有更好的運(yùn)動(dòng)性能。文中所研究的石材雕刻機(jī)械臂的可達(dá)工作空間為工作臺(tái)中心上方1 000 mm×1 000 mm×1 000 mm的立方體空間區(qū)域。石材雕刻機(jī)械臂在其可達(dá)工作空間中的靈巧度分布如圖7所示。其中，預(yù)設(shè)的工件毛坯尺寸為500 mm×500 mm×500 mm，以其靈巧度最大的加工區(qū)域?yàn)閮?yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

圖7 石材雕刻機(jī)械臂在工作空間下的運(yùn)動(dòng)性能圖

4.1 基于Dijkstra理論的優(yōu)化過程

Dijkstra優(yōu)化理論是典型的單源最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑，其主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外逐層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止，其搜索優(yōu)化過程如圖8所示。在圖8中，通過建立的二維數(shù)組(見圖9) 將具有某種關(guān)系的任何兩個(gè)頂點(diǎn)連接在一起。數(shù)組dis表示起點(diǎn)和其他點(diǎn)之間的距離，其初始值為[0，2，6，4]。數(shù)組簿表示是否數(shù)組dis所對(duì)應(yīng)的距離是最短，其初始值為[1，0，0，0]。Dijkstra優(yōu)化理論的目的是獲得起點(diǎn)與其他點(diǎn)之間的距離，選擇距離點(diǎn)1最近的點(diǎn)2作為下一個(gè)搜索點(diǎn)。在圖9所示的二維數(shù)組中，所有項(xiàng)都是正數(shù)，如果選擇另一個(gè)點(diǎn)作為下一個(gè)搜索點(diǎn)，則距離一定會(huì)比點(diǎn)2和點(diǎn)1之間的距離更長(zhǎng)。數(shù)組簿更新為[1，1，0，0]，然后檢查是否存在通過點(diǎn)2到達(dá)起點(diǎn)1的任何其他點(diǎn)間的距離短于點(diǎn)2與點(diǎn)1之間的距離?？梢园l(fā)現(xiàn)，dis[3]=6，dis[2]+edge[2][3]=5<6，dis更新為[0，2，5，4]。重復(fù)上述更新過程，可以在每次迭代計(jì)算后獲得中間點(diǎn)和起點(diǎn)之間的距離。因此，最多執(zhí)行3次更新過程，便可得到優(yōu)化結(jié)果。

圖8 Dijkstra優(yōu)化理論的搜索優(yōu)化過程示意

圖9 Dijkstra優(yōu)化理論中的數(shù)組

為在石材雕刻機(jī)械臂可達(dá)工作空間內(nèi)，尋優(yōu)得到運(yùn)動(dòng)性能最優(yōu)的工作空間，設(shè)計(jì)Dijkstra優(yōu)化理論的執(zhí)行流程如圖10所示。

圖10 Dijkstra優(yōu)化理論的執(zhí)行流程

步驟1，初始時(shí)，數(shù)組只包含源點(diǎn)，即={}，與其他頂點(diǎn)的距離為0。數(shù)組包含除外的其他頂點(diǎn)，即={其余頂點(diǎn)}，若與中頂點(diǎn)有共邊，則<,>正常有權(quán)值，若不是的共邊鄰接點(diǎn)，則<,>權(quán)值為∞;

步驟2，從數(shù)組中選取一個(gè)距離最近的頂點(diǎn)，把加入中(該選定的距離就是到的最短路徑長(zhǎng)度);

步驟3，以為新考慮的中間點(diǎn)，修改中各頂點(diǎn)的距離；若從源點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離(經(jīng)過頂點(diǎn))比原距離(不經(jīng)過頂點(diǎn))短，則修改頂點(diǎn)的距離；

步驟4，重復(fù)步驟(2)和(3)，直到所有頂點(diǎn)都包含在數(shù)組中。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)步驟，將石材毛坯內(nèi)216個(gè)步數(shù)點(diǎn)的靈巧度逐步累加求和得到區(qū)域靈巧度，經(jīng)過尋優(yōu)得到值最大的區(qū)域即為目標(biāo)加工區(qū)域。經(jīng)過尋優(yōu)計(jì)算得到，石材雕刻機(jī)械臂在其可達(dá)工作空間內(nèi)靈巧度最大的5個(gè)點(diǎn)分別為(500,1 500,100)、(400,1 500,100)、(300,1 600,100)、(0,1 600,100)、(0,1 600,100)，其靈巧度分別為0.174 57、0.174 53、0.174 51、0.174 50、0.174 45。將這5個(gè)點(diǎn) (=1,2,3,4,5)作為源點(diǎn)，可達(dá)空間內(nèi)其余1 326個(gè)點(diǎn)作為數(shù)組；選取中相對(duì)中靈巧度兩者差值最小的點(diǎn)加入中，以此類推，將每個(gè)源點(diǎn)逐漸擴(kuò)展至與預(yù)優(yōu)化空間幾何形狀和大小相同的點(diǎn)集，計(jì)算每個(gè)的值。經(jīng)過計(jì)算，石材毛坯內(nèi)216個(gè)步數(shù)點(diǎn)，最大靈巧性值=33.475 65，位于∈[-300 mm,200 mm]、∈[1 500 mm,2 000 mm]、∈[100 mm,600 mm]的幾何區(qū)域，如圖11所示。

圖11 石材雕刻機(jī)械臂最優(yōu)工作空間

4.2 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

石材雕刻機(jī)械臂是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，每個(gè)關(guān)節(jié)都會(huì)相互作用，因此很難直接在ADAMS軟件中建立其3D模型。為驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性，在3D設(shè)計(jì)軟件SolidWorks中建立KR240-R2900機(jī)械臂模型和HSD末端執(zhí)行器模型，并將所建立的模型以特定格式導(dǎo)入到ADAMS中。最后，建立一個(gè)可正確表征雕刻機(jī)械臂在石材雕刻過程中運(yùn)動(dòng)性能的動(dòng)態(tài)模型。模型建立的具體過程如下：

(1)石材雕刻機(jī)械臂模型裝配

末端執(zhí)行器的實(shí)物如圖12(a)所示，根據(jù)實(shí)際尺寸，在SolidWorks中設(shè)計(jì)的末端執(zhí)行器的三維模型如圖12(b)所示。將機(jī)械臂主體與設(shè)計(jì)的末端執(zhí)行器裝配在一起，如圖13所示，將裝配配合約束添加到石雕機(jī)械臂的相鄰組件中(機(jī)械臂基座，腰關(guān)節(jié)，大臂關(guān)節(jié)，小臂關(guān)節(jié)，肘關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器)。為使石雕機(jī)械臂裝配模型可導(dǎo)入ADAMS中，在SolidWorks中將其模型保存為parasolid (*.x_t)格式。

圖12 石雕機(jī)械臂末端執(zhí)行器模型

圖13 石材雕刻機(jī)械臂的裝配模型

(2)ADAMS中的仿真參數(shù)設(shè)置

①仿真環(huán)境設(shè)置

HSD末端執(zhí)行器是由45鋼制成。經(jīng)過多次相關(guān)標(biāo)定試驗(yàn)后，將末端執(zhí)行器的材料密度設(shè)為7.801×10kg/mm，將其彈性模量設(shè)為2.07×10N/mm，泊松比設(shè)為0.29。然后，基于建立的裝配模型，計(jì)算其各組成部分的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，并對(duì)各關(guān)節(jié)進(jìn)行校正試驗(yàn)，表2所示為石材雕刻機(jī)械臂的最終動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。該表包含了仿真所用到的石材雕刻機(jī)械臂每個(gè)連桿質(zhì)量、質(zhì)心與慣性矩的信息。

表2 石材雕刻機(jī)械臂組成部分的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)

②關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)設(shè)置

石雕機(jī)械臂基座和大地坐標(biāo)之間的關(guān)系是固定的，關(guān)節(jié)6和末端執(zhí)行器之間的關(guān)系也是固定的，因此將它們的關(guān)節(jié)連接方法設(shè)置為固定副。此外，相鄰關(guān)節(jié) (軸1，軸2，軸3，軸4，軸5，軸6) 之間存在偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，將它們的關(guān)節(jié)連接方法設(shè)置為旋轉(zhuǎn)副。然后，創(chuàng)建石雕機(jī)械臂每個(gè)關(guān)節(jié)的角度函數(shù)作為用于驅(qū)動(dòng)設(shè)置的各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)函數(shù)。將前文中的角度函數(shù)導(dǎo)入ADAMS軟件中，以創(chuàng)建位于數(shù)據(jù)單元中的SPLINE函數(shù)。最后，配合使用SPLINE函數(shù)與ADAMS中內(nèi)置的“Cubic Fitting Method”就可以驅(qū)動(dòng)石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)。

③仿真與測(cè)量

設(shè)置好驅(qū)動(dòng)函數(shù)和仿真時(shí)間(12 s)后，可以在ADAMS中模擬石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過程。根據(jù)實(shí)際要求，測(cè)量石雕機(jī)械臂每個(gè)關(guān)節(jié)的角速度和角加速度，并在后處理窗口中獲得每個(gè)關(guān)節(jié)的測(cè)量變化曲線。在該窗口中，可以導(dǎo)出測(cè)量變化曲線，也可以將外部數(shù)據(jù)導(dǎo)入到ADAMS中，從而實(shí)現(xiàn)不同變化曲線的比較。在3個(gè)不同加工位置，石材雕刻機(jī)械臂均以相同回字形軌跡和2 000 mm/min的進(jìn)給速度運(yùn)動(dòng)，如圖14所示。按照文中所提到的方法，計(jì)算不同加工位置(No.1、No.2和No.3)的總靈巧度，結(jié)果如表3所示。位置1 (No.1)是通過Dijkstra理論優(yōu)化的加工位置，位置2(No.2)和位置3(No.3)是石雕機(jī)械臂可達(dá)空間中選取的任意加工位置。在3個(gè)位置(No.1、No.2和No.3)、6個(gè)關(guān)節(jié)角速度～和角加速度～的變化曲線分別如圖15和圖16所示。方差值～、～分別如表4、表5所示。

表5 不同加工位置的角加速度性能對(duì)比

圖14 石材雕刻機(jī)械臂雕刻過程仿真

圖16 石雕機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角加速度的變化曲線

表3 不同加工位置的靈巧度對(duì)比

圖15 石雕機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角速度的變化曲線

如圖15和表4所示：除石雕機(jī)械臂關(guān)節(jié)1外，其他關(guān)節(jié)位置No.1處的速度最大值與方差值均明顯小于加工位置No.2與No.3,且隨著靈巧度指數(shù)的增加，石雕機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能變強(qiáng)。以最影響石雕機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能的關(guān)節(jié)2為例，在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能最優(yōu)的位置No.1處進(jìn)行加工，相比于位置No.3處，角速度方差減少了60.6%。各關(guān)節(jié)角速度方差的減少，不僅可以提高石雕機(jī)械臂的作業(yè)效率，同時(shí)也可以降低加工時(shí)的能量消耗。

表4 不同加工位置的角速度方差

如圖16和表5所示：石雕機(jī)械臂在最優(yōu)加工位置No.1處運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了關(guān)節(jié)1外，其他關(guān)節(jié)的角加速度方差也均明顯小于加工位置No.2與No.3，進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性。在位置No.1處運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)節(jié)2的角加速度方差僅為2.78，比它在位置No.3處運(yùn)動(dòng)時(shí)減少了59.6%；在位置 No.1 處，關(guān)節(jié)3的角加速度方差僅為3.77，比它在位置No.3處運(yùn)動(dòng)時(shí)減少了40.2%。各關(guān)節(jié)角加速度方差的減少，不僅可以提高石雕機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)脈沖，也可以減少加工中的沖擊，有利于提高跟蹤精度，保護(hù)機(jī)械結(jié)構(gòu)。

5 結(jié)論

(1) 基于D-H參數(shù)法建立了所研究的石材雕刻機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過旋量理論中的指數(shù)乘積公式推導(dǎo)出了石材雕刻機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)解和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。

(2) 基于雅克比矩陣的條件數(shù)，提出了一種可以定量描述石材雕刻機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)性能的指標(biāo)(靈巧度)，并進(jìn)一步研究了靈巧度指標(biāo)在關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)和操作空間坐標(biāo)下的變化規(guī)律。結(jié)果表明：隨著石雕機(jī)械臂不斷向外延伸(方向位移增加)，其運(yùn)動(dòng)性能會(huì)降低，且在其可達(dá)空間內(nèi)，-橫截面的整體運(yùn)動(dòng)性能隨著雕刻加工的進(jìn)行(即高度逐漸減小)而提升。

(3) 基于Dijkstra優(yōu)化理論，設(shè)計(jì)了石材雕刻機(jī)械臂最優(yōu)工作空間的優(yōu)化目標(biāo)與優(yōu)化流程。仿真結(jié)果表明：當(dāng)石材雕刻機(jī)械臂在其最優(yōu)工作空間中工作時(shí)，其關(guān)節(jié)角速度的波動(dòng)會(huì)減少60.6%，關(guān)節(jié)角加速度的波動(dòng)會(huì)減少40.2%。證明了文中算法的有效性，可為石材雕刻機(jī)械臂加工位置的布局提供參考。