分類例析將軍飲馬型最值問題

鄧文忠

(陜西省洋縣黃安初級中學，723307)

將軍飲馬問題中蘊含著軸對稱思想:解決線段和的最小問題,往往將同側其中一條線段關于某直線對稱反射到該直線另一側,從而將線段的和轉化為兩點之間線段最短或垂線段最短,即把兩折線“轉直”使問題獲解.一般地,在同一平面內,通常將同側點作關于直線的對稱點轉化問題;在空間中,往往將同側點作關于面的對稱點,同時伴隨著將相關面展平,化空間問題為平面問題.現(xiàn)結合具體例子予以說明.

一、一個動點,“定-動-定”型最值問題

例1在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P是線段BC1上的一動點,求A1P+PC的最小值.

解法1(代數法)

如圖1,連結B1P,過點P作EF∥BC,分別交BB1,CC1于點E,F.

解法2(幾何法)

因為A1P在面A1BC1上,PC在面BCC1上,把這兩個面展平(如圖3),則A1P+PC的最小值為A1C.

過點B作BE⊥A1C1于點E,過點A1作A1F⊥BC1于點F.

解法3(解析法)

評注這兩種解法是求最值的常用解法.代數法門檻低,切入容易深入難,需要一定的運算求解能力;幾何法化空間為平面、化折為直,門檻高,起點高，落點低,需要一定的空間想象能力和邏輯思維能力.

例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6,E是線段D1C1上的點,且D1E=2EC1,P是平面A1DC1內一動點,則D1P+PE的最小值為( )

設?A1DC1的外心為點G,連結D1G并延長至點D2,使D1與D2關于平面A1DC1對稱.連結D2E交平面A1DC1于點P,則D1P+PE的最小值為D2E.

評注本解法將點D1關于平面A1DC1對稱得點D2后,化點D1與E在平面A1DC1同側為點D2與E在平面A1DC1異側,然后將折線和D1P+PE拉直為D2E,是典型的“立幾搭臺、平幾唱戲”.

二、兩個動點,“定-動-動”型最值問題

例3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱A1D1,C1D1的中點,N為線段B1C的中點,若點P,M分別為線段D1B,EF上的動點,求PM+PN的最小值.

解如圖6,先固定動點P,則PN為定值,要使PM+PN最小,只需PM最小.又由于PM′⊥EF,故當PM最小時,點M為EF的中點M′.再讓點P運動,則問題轉化為求PM′+PN的最小值.

由對稱性,取BD的中點N′,則由?PBN≌?PBN′,得PN=PN′.于是問題轉化為求PM′+PN′的最小值,即求線段M′N′的長.

評注對于雙動點問題,常用的思維著力點是逐步調整原則,即采用分步走的策略.如本題中點P本身是動點,先將其暫時看成定點,利用將軍飲馬模型變PM+PN的最小值為求PM′+PN的最小值;再讓點P動起來,借助PN=PN′,將求PM′+PN的最小值變成平面內求PM′+PN′的最小值,最終由平面最短距離原理使問題獲解.在解決數學問題的過程往往充滿著這種動與靜的的對立統(tǒng)一,說明運動和靜止在一定條件下是可以相互轉化的.

例4在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,點P,Q分別為面A1B1C1D1和線段B1C上的動點,則?PEQ周長的最小值為______.

解如圖7,作點E關于面A1B1C1D1的對稱點S,取BC的中點T,連結PS,QT,ST.則?PEQ周長=PQ+QE+EP=PQ+QT+PS≥ST.

評注在本題的解答中,既有點關于線的對稱,又有點關于面的對稱,其本質是利用將軍飲馬模型等價轉化問題,降低求解的難度.

例5如圖8,二面角α-l-β的大小為60°,點P到平面α，β的距離分別為2，3,點A∈α,B∈β,求?ABP周長m的最小值.

解作點P關于平面α,β的對稱點P1,P2,分別交平面α,β于點D,C.由對稱性可知?ABP周長m=AB+AP+BP=AB+AP1+BP2,且當A,B,P1,P2四點共線時,周長m取得最小值P1P2.

此時設平面PP1P2交直線l于點O,連結OC,OD.則有∠COD=60°,且由P,C,O,D四點共圓,得∠CPD=120°.

評注此題類似于問題“定角θ內有一定點P,角θ兩邊上各有動點A,B,求PAB周長的最小值.”求解的關鍵是將平面幾何問題中的軸對稱變換對類比為立體幾何中的面對稱變換.

三、兩個動點,“定-動-動-定”型最值問題

例6九章算術中描述幾何體“陽馬”為“底面矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽馬P-ABCD,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD=3,點E,F分別在AB,BC上,當空間四邊形PEFD的周長最小時,三棱錐P-ADF外接球的表面積為( )

(A) 9π (B) 11π

(C) 12π (D) 16π

分析四邊形PEFD的周長最小,由于PD為定值,故問題取決于PE+EF+FD最小.將側面PAB展平,則問題轉化為平面上的最值問題.

解如圖9,把AP,PB剪開,使得?PAB與矩形ABCD在同一個平面內.

故三棱錐P-ADF外接球的表面積為4πR2=11π,故選B.