輪式機器人縱向滑移迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤控制

游東亞， 崔立志， 卜旭輝， 趙栩楊， 侯 銳

(河南理工大學(xué)，河南 焦作 454000)

0 引言

輪式移動機器人的應(yīng)用范圍比較廣泛，相比于其他類型機器人具有更好的靈活性和較大的活動范圍。輪式移動機器人是一個典型的時變、強耦合非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實現(xiàn)對其精確和快速的控制是機器人完成任務(wù)的前提。目前對于移動機器人控制研究多是假設(shè)滿足車輪“純滾動無滑動”即完美運行狀態(tài)，但輪式機器人在實際工作中，由于道路濕滑、泥濘或者車輪轉(zhuǎn)彎，很容易產(chǎn)生滑移(包括縱向、橫向滑移)從而嚴重影響機器人的控制效果，甚至導(dǎo)致機器人失控，執(zhí)行任務(wù)失敗，因此研究移動機器人的滑移問題對提高機器人控制效果有著重要意義。

當前有些文獻針對機器人及其滑移問題做出一些研究，文獻[1]借助鏈式系統(tǒng)理論，將帶有滑移擾動的系統(tǒng)運動模型轉(zhuǎn)化為一個受擾鏈式模型，然后設(shè)計變結(jié)構(gòu)魯棒控制器;文獻[2]針對輪式機器人縱向滑移參數(shù)未知的軌跡跟蹤控制問題設(shè)計了滑模觀測器并進行估計，通過低通濾波器減少抖振；文獻[3]利用兩個未知縱向滑移參數(shù)描述機器人左、右輪的縱向打滑程度，并設(shè)計自適應(yīng)反饋控制律，應(yīng)用極點配置方法在線調(diào)整控制器增益；文獻[4]研究了未知輪子滑移干擾問題，設(shè)計了自抗擾反步控制器對打滑干擾進行實時估計與補償；文獻[5-6]針對多移動機器人編隊控制問題，分別提出了任意初始條件下的迭代學(xué)習(xí)編隊控制算法和滑移擾動下的自適應(yīng)編隊控制算法。當前移動機器人承擔較多的是一些重復(fù)性或者不適合人類工作的任務(wù)(如后勤物流、軍事巡邏、外星空間巡視等)。復(fù)雜的工作環(huán)境使得機器人受到干擾較多。文獻[7-9]提出基于滑模、反步法和自適應(yīng)的機器人軌跡跟蹤控制;文獻[10-11]提出兩種迭代學(xué)習(xí)魯棒優(yōu)化算法，并應(yīng)用于受擾移動機器人;文獻[12-15]研究機器人迭代學(xué)習(xí)控制的非完全重復(fù)、輸入受限等問題。

本文針對移動機器人在縱向滑移干擾下執(zhí)行軌跡跟蹤控制問題，在受到不同的縱向滑移干擾時，對機器人系統(tǒng)設(shè)計采用開閉環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制器，通過嚴格證明給出收斂條件，說明在縱向滑移干擾時仍然保持有效控制，通過實例仿真證明控制律的有效性。

1 問題描述

常見的輪式移動機器人簡化模型如圖1所示，其中，(m(t),n(t))為對應(yīng)t時刻的機器人系統(tǒng)參考點的笛卡爾坐標，θ(t)為航向角。

圖1 輪式機器人簡化模型Fig.1 Simplified model of wheeled robot

(1)

當僅考慮出現(xiàn)縱向滑移(即車輪線速度大于或等于車體前進速度)時，在橫向仍滿足約束

(2)

在執(zhí)行軌跡跟蹤任務(wù)時,不同路況會遭遇不同的縱向滑移，考慮一般的情況，即η為關(guān)于時間t的函數(shù)η(t)。左右車輪實際輸入為ul(t)，ur(t)與輸出[v(t)w(t)]T存在以下關(guān)系,即

(3)

結(jié)合式(1)和式(3)得出滑移干擾下移動機器人的離散運動學(xué)模型為

(4)

式中:Δt為采樣時間；t∈N，為離散時間，令

考慮機器人重復(fù)軌跡跟蹤過程，第k次跟蹤可以表示為

xk(t+1)=xk(t)+h(t)B(xk(t),t)uk(t)

(5)

式中,k∈N+,為跟蹤次數(shù)。

2 控制律設(shè)計與收斂性分析

2.1 隨時間變化的滑移擾動下的軌跡跟蹤

做出以下定義且系統(tǒng)滿足以下假設(shè)。

假設(shè)1 滑移參數(shù)||h(t)||有界，滿足||h(t)||≤bh，輸入有界||uk(t)||≤bu。

假設(shè)2 每次跟蹤初始狀態(tài)滿足xd(0)=xk(0)。

假設(shè)3 滿足Lipschitz條件(Lipschitz Condition)||B(x1(t),t)-B(x2(t),t)||≤kB||x1(t)-x2(t)||。

假設(shè)4 存在控制輸入ud(t)滿足對于給定期望軌跡xd(t)有

xd(t+1)=xd(t)+h(t)B(xd(t),t)ud(t)。

(6)

注：假設(shè)1對滑移參數(shù)有界是系統(tǒng)可控前提，輸入?yún)?shù)進行有界，滿足實際系統(tǒng)要求；假設(shè)2對初始位置進行界定，此條件包含一大類系統(tǒng)；假設(shè)3中Lipschitz條件使得系統(tǒng)參數(shù)變化不至于過大；假設(shè)4為受控系統(tǒng)的基本假設(shè)，上述對控制系統(tǒng)的假設(shè)具有合理性。

針對參數(shù)不確定系統(tǒng)式(5)的特點適合采用無模型控制律，設(shè)計P型迭代學(xué)習(xí)控制律

uk+1(t)=uk(t)+L(t)δxk(t+1)+Γ(t)δxk+1(t)

(7)

式中,L(t)，Γ(t)為適當維數(shù)的增益矩陣，滿足||L(t)||≤bL，||Γ(t)||≤bΓ。

收斂性分析如下。

定義1向量函數(shù)Θ:{0,1,2,…,T}的a范數(shù)定義為||Θ||a=(1/a)t||Θ(t)||，1

定義2令δxk(t)=xd(t)-xk(t)，δuk(t)=ud(t)-uk(t)分別表示k次跟蹤的狀態(tài)誤差和輸入誤差。

定義3B(xk(t),t)是系統(tǒng)矩陣函數(shù)，B(xd(t),t)-B(xk(t),t)記為B(δxk(t))，對于任意的t∈N+，k∈N+滿足||B(xk(t),t)||≤bB。

定理1對于系統(tǒng)式(5)，采用式(6)的迭代學(xué)習(xí)控制算法，若系統(tǒng)滿足||I-L(t)h(t)B(xk(t),t)||≤ρ<1,I表示單位矩陣，則系統(tǒng)輸入uk(t)與系統(tǒng)狀態(tài)xk(t)隨著跟蹤次數(shù)k的增加收斂于期望值。

證明：

由式(7)和定義2有

δuk+1(t)=δuk(t)-L(t)δxk(t+1)-Γ(t)δxk+1(t)

(8)

由式(6)和定義2取范數(shù)有

||δxk(t+1)||≤δxk(t)+||h(t)||||B(xk(t),t)||·||δuk(t)||+||h(t)||||B(δxk(t))||||ud(t)||

(9)

由式(6)、式(8)和定義2合并取范數(shù)得

||δuk+1(t)||≤||I-L(t)h(t)B(xk(t),t)||||δuk(t)||+||L(t)||||δxk(t)||+||L(t)||||h(t)||·||B(δxk(t),t)||||ud(t)||+||Γ(t)||||δxk+1(t)||

(10)

令||I-L(t)h(t)B(xk(t),t)||≤ρ，利用假設(shè)3由式(10)整理得

||δuk(t+1)||≤ρ||δuk(t)||+bL(1+bhkBbu)·||δxk(t)||+bΓ||δxk+1(t)||

(11)

對于式(9)，由于假設(shè)1有

||δxk(t+1)||≤||δxk(t)||+bhkB||δxk(t)||||uk(t)||+bhbB||δuk(t)||≤(1+bhkBbu)||δxk(t)||+bhbB||δuk(t)||

(12)

令c1=1+bhbukB，利用假設(shè)2由式(12)遞推得

(13)

由式(11)、式(13)得

(14)

式中：c2=bL(1+bhkB·bu);c3=bΓ。

對式(14)兩邊同時乘以(1/a)t，令a≥c1>1，取范數(shù)并結(jié)合不等式有

(15)

利用等比數(shù)列求和公式及遞推迭代整理可得

(16)

式中

(17)

同理，對式(13)取a范數(shù)

(18)

(19)

證畢。

以上證明了在滑移參數(shù)h(t)的影響下，系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸入可以收斂到期望值，顯然，當h(t)為定常值時仍然滿足上述證明過程。

2.2 隨迭代次數(shù)變化的滑移擾動下的軌跡跟蹤

進一步分析當?shù)欉^程中滑移參數(shù)隨迭代次數(shù)可變，令hk(t)表示第k次跟蹤t時刻的滑移參數(shù)。分析此種狀態(tài)下的軌跡跟蹤控制，為了減少設(shè)計復(fù)雜性采用上文所設(shè)計的迭代學(xué)習(xí)控制律。系統(tǒng)和理想狀態(tài)表示為

xk(t+1)=xk(t)+hk(t)B(xk(t),t)uk(t)

(20)

xd(t+1)=xd(t)+hk(t)B(xd(t),t)ud(t)

(21)

同理有

δuk+1(t)=[I-L(t)hk(t)B(xk(t),t)]δuk(t)-L(t)[δxk(t)+hk(t)B(δxk(t),t)ud(t)]-Γ(t)δxk+1(t)

(22)

||δxk(t+1)||≤||δxk(t)||+||hk(t)||·||B(xk(t),t)||δuk(t)+||hk(t)||·||B(δxk(t))||||ud(t)||

(23)

由||hk(t)||>≤bh，||B(xk(t),t)||≤bB有

||hk(t)B(xk(t),t)||≤bhbB。

(24)

注：假設(shè)5要求hk(t)B(xk(t),t)隨k→∞而收斂，這一假設(shè)對hk(t)有了進一步限制。

收斂性分析如下。

定理2對于系統(tǒng)式(20)采用控制律式(7)，如果對于任何一個給定t∈N存在迭代序列{φs(t):s∈N+}且φ0(t)=0，有0<φs+1(t)-φs(t)≤τ(t)，τ(t)∈N。對于任意s∈N+，滿足

做以下引理[12]。

證明：

利用數(shù)學(xué)歸納法有

3)t+1時，由式(23)有||δxk(t+1)||≤||δxk(t)||

證畢。

與時間變化的滑移參數(shù)相比,迭代可變滑移參數(shù)要求滿足hk(t)B(xk(t),t)隨k→∞而收斂，從推導(dǎo)過程看仍然可以達到零跟蹤誤差。

3 仿真實例

從仿真結(jié)果上看，跟蹤次數(shù)增加，機器人系統(tǒng)位置和方向角的誤差迅速減小，在迭代至50次時已經(jīng)基本達到較低水平，至200次時已經(jīng)基本收斂于零。

情況1) 機器人軌跡跟蹤過程滑移參數(shù)取定值,令η(t)=5，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 滑移參數(shù)為定值時跟蹤軌跡和誤差曲線Fig.2 Tracking trajectory and error curve when slippage parameter is fixed

情況2) 機器人軌跡跟蹤過程滑移參數(shù)隨時間變化令η(t)=0.025t+5，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 滑移參數(shù)時間可變，跟蹤軌跡和誤差曲線Fig.3 Tracking trajectory and error curve when slippage parameter is time-variable

情況3) 控制器參數(shù)選擇與情況1)，2)相同也滿足定理2，由于要求收斂，軌跡跟蹤滑移參數(shù)取ηk=0.5·e-k+1,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 滑移參數(shù)迭代可變，迭代200次跟蹤軌跡和誤差曲線Fig.4 Tracking trajectory and error curve after 200 iterations when slippage parameter is iteratively variable

情況4) 為了對比控制效果，根據(jù)本文建立的機器人模型，設(shè)計PID控制器，為了公平起見，采用與迭代學(xué)習(xí)控制相同的采樣率，滑移參數(shù)取定值與情況1)相同，控制參數(shù)設(shè)置為P=1.1，I=0.1，D=0。仿真結(jié)果如圖5所示。

情況5) 采用與迭代學(xué)習(xí)控制相同的采樣率，滑移參數(shù)取隨時間變化值與情況2)相同，控制參數(shù)設(shè)置為P=0.91，I=0.2，D=0。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 滑移參數(shù)為時間可變，PID控制方法的跟蹤軌跡和誤差曲線Fig.6 Tracking trajectory and error curve of PID control method when slippage parameter is time-variable

由圖2-圖4可以看出，在固定滑移率、時間變化滑移率、迭代變化滑移率3種滑移干擾下移動機器人軌跡跟蹤，雖然誤差在初始狀態(tài)相對較大，但隨著迭代次數(shù)增加，誤差迅速減小，在迭代200次時，圖2-圖4的坐標誤差和角度誤差分別達到0.2 m，0.1 rad以下，隨著迭代次數(shù)增加，誤差會持續(xù)趨近于零，從軌跡圖上來看完成了軌跡跟蹤任務(wù)。根據(jù)本文建立的滑移狀態(tài)下的機器人模型，設(shè)計PID控制策略，在相同的滑移參數(shù)下進行仿真，由于PID控制方法沒有學(xué)習(xí)能力，所以本文選擇跟蹤一次，仍然可以與之對比。從圖5、圖6的跟蹤效果來看，固定滑移率的干擾下PID控制的角度誤差在0.6 rad左右，坐標誤差達到0.45 m。時間可變的滑移率干擾下，PID控制的坐標誤差在2.8 m左右，角度誤差達到約0.8 rad。

4 結(jié)束語

本文在移動機器人運動學(xué)方程中引進縱向滑移參數(shù)，設(shè)計P型開閉環(huán)迭代控制律，通過詳細理論推導(dǎo)給出收斂的充分條件，隨著迭代次數(shù)增加，跟蹤誤差逐漸趨近于零，理論的推導(dǎo)也給出了控制器參數(shù)的選定依據(jù)，從時間變化延展到迭代可變的滑移干擾，考慮復(fù)雜的工作狀態(tài)，擴大了應(yīng)用范圍。通過固定滑移、時變滑移和迭代變化滑移3種情況下的仿真證明了不同滑移參數(shù)影響下控制律的有效性，可以完成軌跡跟蹤任務(wù)，并通過與其他控制律的比較，體現(xiàn)迭代學(xué)習(xí)控制在重復(fù)性軌跡跟蹤任務(wù)應(yīng)用時的效果。