各向異性介質(zhì)界面模式轉(zhuǎn)換波Ⅰ：理論分析

法 林，趙 琳，李玉霞，鄒 驍，胡凱利，李 曉，梁計峰，孫 豪，趙梅山

(1.西安翻譯學院 信息工程學院，陜西 西安 710105；2.西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121；3.中國石油集團測井有限公司，陜西 西安 710061;4.芝加哥大學詹姆斯·弗蘭克研究所 化學系，伊利諾伊 芝加哥 60637)

地震反演是儲層建模和識別油藏的重要技術(shù)。準確的地震反演來源于對介質(zhì)中地震波的傳播特性以及地震波在介質(zhì)界面上的反射/折射的正確理解[1]。大多數(shù)地層具有一定程度的宏觀各向異性[2]。最簡單的幾何分層結(jié)構(gòu)地層是具有垂直對稱軸(Transverse Isotropy with a Vertical Axis of Symmetry,VTI)的橫向各向同性介質(zhì)[3]。通常情況下，幾何分層結(jié)構(gòu)地層不是水平層，其對稱軸和垂直軸之間存在一個夾角的橫向各向同性(Transverse Isotropy with a Tilted Axis of Symmetry,TTI)介質(zhì)[4]。地震波在不同介質(zhì)間界面上發(fā)生的反射和折射是最常見的物理現(xiàn)象。研究者們廣泛研究了地層各向異性以及地層各向異性對地震波的影響。

巖石界面反射和折射在石油工業(yè)中有著廣泛的應用，如地震勘探數(shù)據(jù)振幅隨偏移距的變化(Amplitude Variation with Offset，AVO)道集的反演解釋[5]，大角度入射地震數(shù)據(jù)的精確時-深轉(zhuǎn)換[6]，以及聲波測井中聲波傳播速度的準確估算[7]。極化系數(shù)是求解不同各向異性介質(zhì)界面的反射系數(shù)和折射系數(shù)的必不可少條件，同時也是研究各向異性介質(zhì)界面模式轉(zhuǎn)換波極化性質(zhì)的重要前提。

地震波實際上是一種低頻聲波。聲波雖然與電磁波存在差異，但二者的特性也有相似之處。例如，波的極化是所有波的重要屬性[8-9]。目前對聲波和電磁波的極化研究已經(jīng)有很多報道。對聲波的現(xiàn)有研究主要分為兩類。一類是聲波在無限大各向異性介質(zhì)中的傳播特性，例如，研究無限大各向異性固體中聲波的極化狀態(tài)。文獻[10-12]對在各向異性介質(zhì)中傳播的P波的極化方向偏離其傳播方向的問題進行了討論，文獻[13]報道了無限大各向異性介質(zhì)中傳播的P波(Primary Wave)和SV(Shear Vertical)波的異常極化現(xiàn)象。文獻[2]給出了在無限大VTI介質(zhì)中傳播的準P波和準SV波的極化系數(shù)解析表達式。根據(jù)實驗測量的巖樣各向異性參數(shù)[14-16]，文獻[17]研究了各向異性對在無限大VTI介質(zhì)中傳播的準P波和準SV波極化方向的影響。但是，這些研究未考慮各向異性介質(zhì)界面。

另一類研究考慮了各向異性介質(zhì)界面。例如，基于對準P波和準SV波的極化的先驗知識，文獻[18]給出了一個計算VTI-VTI介質(zhì)界面反射/折射系數(shù)的矩陣方程，并計算了具有橢圓各向異性的VTI-VTI介質(zhì)界面的反射系數(shù)和折射系數(shù)[19]。文獻[20]提出了計算VTI-VTI介質(zhì)界面的反射/折射系數(shù)的快速算法，并建立了非均勻折射P波的橢圓極化方程，討論了介質(zhì)各向異性對橢圓極化狀態(tài)的影響[21-23]。這些研究在對VTI-VTI界面的物理建模時，一般假設(shè)巖層均為水平層，但實際的巖層往往不會全是水平層。最常見的情況是一層水平，下一層可能傾斜的，或者兩個相鄰層相對水平面均有不同的傾斜角度[3-4]。此前相關(guān)研究的考慮并不全面。

最通用的各向異性介質(zhì)界面模型是一個TTI-TTI介質(zhì)界面系統(tǒng)。該系統(tǒng)中包含VTI-VTI介質(zhì)界面、TTI-VTI介質(zhì)界面和VTI-TTI介質(zhì)界面[3-4]等4種界面。為了對TTI介質(zhì)在數(shù)學上進行嚴格的和具有實際物理意義的描述，使用六方晶系固體剛度矩陣來描述VTI介質(zhì)的力學特性[2,24-25]，并利用Bond變換矩陣法則實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)坐標下各向異性介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣變換[26]。由于采用Bond變換矩陣法則可以實現(xiàn)TTI-TTI介質(zhì)界面模型到VTI-TTI介質(zhì)界面模型和TTI-VTI介質(zhì)界面模型的相互轉(zhuǎn)換[26]，因此，僅對VTI-TTI介質(zhì)界面模型進行推導和分析。

1 理論基礎(chǔ)

作為TTI介質(zhì)的特例，VTI介質(zhì)模型是最常見的橫向各向同性模型[27]。VTI介質(zhì)的力學特性可以用六方晶系的剛度系數(shù)矩陣[2]表示為

(1)

六方晶系的剛度系數(shù)矩陣C(V)只有5個獨立的元素。通過對VTI介質(zhì)模型的對稱軸旋轉(zhuǎn)角度φ就得到TTI介質(zhì)模型。將VTI介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣進行Bond變換就得到了TTI介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣[26]，表示為

(2)

G=

(3)

J-1=

(4)

則TTI介質(zhì)剛度系數(shù)矩陣和VTI介質(zhì)剛度系數(shù)矩陣各元素之間的關(guān)系可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

位于x-y平面上VTI-TTI介質(zhì)界面的示意圖如圖1所示。

圖1 VTI-TTI介質(zhì)界面的示意圖

圖1(a)中x軸代表VTI-TTI介質(zhì)界面，z軸為VTI介質(zhì)的對稱軸，Z軸為TTI介質(zhì)的對稱軸。二者對稱軸的夾角為φ。圖1(b)中z軸為VTI介質(zhì)的對稱軸，θ(0)代表P波的入射角，θ(m)(m=1,2,3,4)代表模式轉(zhuǎn)換波的反射角和折射角，S(m)(m=0,1,2,3,4)的實線箭頭代表每個波的傳播方向，虛線箭頭代表相應波的極化方向，其中，m=0代表入射的P波，m=1,2,3,4分別表示反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波。

當旋轉(zhuǎn)角度φ為0時，VTI-TTI介質(zhì)界面簡化為VTI-VTI界面。當一個P波入射到VTI-TTI界面上時，在界面上將會產(chǎn)生包括反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波的模式轉(zhuǎn)換波。入射P波及所有模式轉(zhuǎn)換波均滿足開爾文-克里斯托費爾方程，且所有波的質(zhì)點位移均平行于x-z平面[28]。

對于一個角頻率為ω歸一化的平面簡諧入射P波，若其振幅R(0)=1，則時刻t入射P波質(zhì)點位移可以表示為

S(0)=

(17)

入射P波模式轉(zhuǎn)換波m在時刻t的歸一化質(zhì)點位移可以表示為

(18)

式(18)中，

(19)

其中，

式中：對于反射P波和折射P波，下標“k”取x，“l(fā)”取z；對于反射SV波和折射SV波，下標“k”取z，“l(fā)”取x。

2 反射、折射、極化和質(zhì)點位移

在VTI-TTI界面上產(chǎn)生的模式轉(zhuǎn)換波的質(zhì)點位移和極化狀態(tài)由界面的反射/折射系數(shù)和模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)共同確定。每個模式轉(zhuǎn)換波的歸一化質(zhì)點位移為其極化系數(shù)和相應的反射系數(shù)或折射系數(shù)的乘積[29]。接下來，將分別分析和推導均勻模式轉(zhuǎn)換波和非均勻波的極化系數(shù)。

2.1 均勻/非均勻波模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)

在無外力作用的情況下，開爾文-克里斯托費爾方程可以簡化[28]表示為

(20)

在入射介質(zhì)VTI內(nèi)，入射P波、反射P波和反射SV波(即m分別為0、1和3)的開爾文-克里斯托菲爾方程的矩陣元素[2,14]分別為

(21)

(22)

(23)

求模式轉(zhuǎn)換波m=0,1,3時的相速度解。入射P波的相速度解v(0)、反射P波的相速度解為v(1)和反射SV波的相速度解為v(3)的計算表示式[2,14]分別為

(24)

其中，

(25)

其中，

在折射介質(zhì)TTI內(nèi)，折射P波和折射SV波(即m分別為2和4)的開爾文-克里斯托菲爾方程的矩陣元素[2,14]分別為

(26)

(27)

(28)

求模式轉(zhuǎn)換波m=2,4時的相速度解。折射P波的相速度解v(2)和折射SV波的相速度解v(4)的計算表示式分別為

(29)

其中，

(30)

其中，

其中，

(31)

(32)

(33)

(34)

式中，上標“*”為復共軛符號。

分別聯(lián)立式(31)與式(33)、式(32)與式(34)可以得到

(35)

(36)

接下來，分析在不同的入射角區(qū)域，模式轉(zhuǎn)換波極化系數(shù)的表示式。

(37)

(38)

2)在過第一臨界角的區(qū)域內(nèi)，入射P波的極化系數(shù)仍然是純實數(shù)，其計算表達如式(37)和式(38)。此時，所有的反射/折射系數(shù)均變?yōu)閺蛿?shù)。所有的模式轉(zhuǎn)換波均分別相對入射波產(chǎn)生了一個相移，對應的均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)的計算表達式為

(39)

(40)

由于在選擇的各向異性界面模型中，僅存在一個對應折射P波的第一臨界角，所以，均勻模式轉(zhuǎn)換波表現(xiàn)為反射P波、反射SV波和折射SV波。

3)在過第一臨界角區(qū)域內(nèi)，折射P波從均勻模式轉(zhuǎn)換波變成為非均勻模式轉(zhuǎn)換波。此時，其功率流密度的z分量必須等于0。對于簡諧波，質(zhì)點位移速度和質(zhì)點位移的關(guān)系可以表示為

V(m)=iωS(m)

(41)

應力和質(zhì)點位移之間的關(guān)系[18]可以表示為

T(m)=C(n)∶?sS(m)

(42)

式中：T(m)表示與模式轉(zhuǎn)換波m對應的應力系數(shù)矩陣；C(n)表示介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣，n分別為V和T，C(V)和C(T)分別表示VTI介質(zhì)和TTI介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣；符號“∶”和“?s”分別為矩陣運算的雙點積運算符和梯度運算符。

對于在TTI介質(zhì)中傳播的折射P波，將式(42)展開為

(43)

折射P波功率流密度為

(44)

與折射P波的功率流密度的z分量相關(guān)的應力系數(shù)分別為

(45)

(46)

根據(jù)式(41)以及式(44)—式(46)，折射P波的功率流密度的z分量可以表示為

(47)

(48)

另外，由式(48)可得

(49)

或

(50)

(51)

(52)

或

(53)

(54)

非均勻折射P波的極化系數(shù)的選擇確定了其橢圓極化軌跡的旋轉(zhuǎn)方向[22-24]。

2.2 均勻/非均勻波模式轉(zhuǎn)換波的極化狀態(tài)

1)在前第一臨界角區(qū)域內(nèi)，由于所有的折射系數(shù)均是正實數(shù)，意味著折射P波和折射SV波和入射波同相位相同。反射系數(shù)或為正實數(shù)或為負實數(shù)，反射系數(shù)是正值還是負值由界面兩側(cè)各向異性介質(zhì)的聲阻抗和入射角確定。如果反射系數(shù)是正實數(shù)，則對應的反射波和入射波同相位，如果反射系數(shù)是負實數(shù)，則對應的反射波相對入射波存在一個180°的相位差。

對于在各向異性介質(zhì)界面上產(chǎn)生的均勻模式轉(zhuǎn)換波，質(zhì)點位移的復數(shù)表達式的實部為其瞬態(tài)表達式。根據(jù)式(18)，模式轉(zhuǎn)換波質(zhì)點位移的x分量和z分量的瞬態(tài)表達式分別為

(55)

(56)

模式轉(zhuǎn)換波m的質(zhì)點位移的?？梢员硎緸?/p>

(57)

入射P波(m=0)、反射P波(m=1)和折射P波(m=2)的質(zhì)點位移方向和x軸之間的夾角，即極化角可以表示為

(58)

同理，反射SV波(m=3)和折射SV波(m=4)的極化角可以表示為

(59)

2)在過第一臨界角區(qū)域內(nèi)，反射系數(shù)和折射系數(shù)變?yōu)閺蛿?shù)。由式(18)可得模式轉(zhuǎn)換均勻波質(zhì)點位移的x分量和z分量復數(shù)表示式分別為

(60)

(61)

根據(jù)式(60)和式(61)的實部部分，得到均勻模式轉(zhuǎn)換波質(zhì)點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(62)

(63)

在過第一臨界角區(qū)域內(nèi)，均勻模式轉(zhuǎn)換P波和SV波的極化角如式(58)和式(59)表示，其模為

(64)

在過第一臨界角區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的均勻模式轉(zhuǎn)換波仍然為線極化波，此時，這些線極化模式轉(zhuǎn)換波相對入射波產(chǎn)生的相移可以是0°到360°范圍內(nèi)的一個任意角度。

3)在過第一臨界角區(qū)域內(nèi)，折射P波變?yōu)榱朔蔷鶆驒E圓極化波，此時，式(18)中的上標m=2。如果選擇式(51)和式(52)作為非均勻折射P波極化系數(shù)，則式(18)中的γk=γx=0°，γl=γz=90°，這意味著非均勻折射P波的質(zhì)點位移的x分量滯后其z分量90°，則折射P波的質(zhì)點位移可以表示為

(65)

式中，

根據(jù)式(65)的實部可以得到非均勻折射P波質(zhì)點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(66)

(67)

聯(lián)立式(66)和式(67)，得到非均勻折射P波的極化軌跡和極化角的表示式分別為

(68)

(69)

式(68)和式(69)表明非均勻折射P波為一個橢圓極化波。由于極化角ξ(2)隨時間t的增大而增大，所以，該波為一個逆時針旋轉(zhuǎn)的橢圓極化波。

若選擇式(53)和(54)作為非均勻折射P波極化系數(shù)，則式(18)中的γk=γx=90°，γl=γz=0°，這意味著非均勻折射P波的質(zhì)點位移的x分量超前其z-分量90°，則折射P波的質(zhì)點位移可以表示為

(70)

根據(jù)式(70)得到非均勻折射P波質(zhì)點位移的x分量和z分量的瞬時表達式分別為

(71)

(72)

對應的橢圓極化方程和極化旋轉(zhuǎn)方向仍然和式(68)、式(69)相同，非均勻折射P波仍然是一個逆時針旋轉(zhuǎn)的橢圓極化波。從式(66)和式(67)以及式(71)和式(72)可知，極化系數(shù)的選擇不影響非均勻折射P波的橢圓極化狀態(tài)和旋轉(zhuǎn)方向。

2.3 極化系數(shù)與反射/折射系數(shù)的關(guān)系

在以上對模式轉(zhuǎn)換波極化系數(shù)的推導中發(fā)現(xiàn)，極化系數(shù)的表達式與各向異性介質(zhì)界面的反射/折射系數(shù)密切相關(guān)。極化系數(shù)的理論推導結(jié)果正確性的驗證需要求解各向異性介質(zhì)界面上的反射/折射系數(shù)；反射/折射系數(shù)的理論推導結(jié)果的正確性驗證需要求解極化系數(shù)。下面將給出VTI-TTI介質(zhì)界面反射/折射系數(shù)的理論推導。

1)建立并求解VTI-TTI介質(zhì)界面反射/折射角高次多項式。設(shè)P波以角度θ入射到VTI-TTI介質(zhì)界面，入射角θ(0)及入射角的相速度v(0)均為已知條件，為了方便計算，使用定值函數(shù)const，依據(jù)斯奈爾定理、式(24)和式(29)可得

(73)

和

(74)

式中，m=1,2,3,4。

在入射介質(zhì)VTI一側(cè)(m=1,3)，由式(24)、式(73)和式(74)可得VTI-TTI介質(zhì)界面上反射角的四次多項式形式為

(75)

其中，

(76)

(77)

(78)

其中，

在折射介質(zhì)TTI一側(cè)(m=2,4)，根據(jù)式(29)、式(73)和式(74)可得VTI-TTI介質(zhì)界面上折射角的八次多項式形式為

(79)

其中，

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

d4=b4+2c2c4

(88)

d5=b5-2c2c3

(89)

(90)

2)建立并求解VTI-TTI介質(zhì)界面反射/折射系數(shù)矩陣。在如圖1所示的VTI-TTI介質(zhì)界面內(nèi)，將式(18)展開，可得反射和折射P波以及反射和折射SV波的質(zhì)點位移表達式分別為

(91)

(92)

(93)

(94)

根據(jù)質(zhì)點位移的法向分量和切向分量連續(xù)的聲學邊界條件，由式(4)以及式(64)—式(67)可得

(95)

(96)

在入射介質(zhì)VTI一側(cè)，由式(1)、式(42)、式(17)、式(91)和式(93)可得，VTI-TTI介質(zhì)界面相關(guān)的法向應力分量分別為

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

在入射介質(zhì)TTI一側(cè)，由式(42)、式(17)、式(92)和式(94)可得，與VTI-TTI各向異性介質(zhì)界面有關(guān)的法向應力分量分別為

(103)

(104)

(105)

(106)

依據(jù)應力法向分量連續(xù)的聲學邊界條件，可得

(107)

(108)

根據(jù)式(37)—式(40)以及式(51)—式(54)，可以把式(95)、式(96)、式(107)和式(108)合并為一個求解VTI-TTI介質(zhì)界面反射/折射系數(shù)的矩陣方程，表示為

(109)

其中，

從上面的理論推導結(jié)果可知，VTI-TTI介質(zhì)界面上的反射/折射系數(shù)與入射/反射/折射波的極化系數(shù)密切相關(guān)，模式轉(zhuǎn)換波的質(zhì)點位移分量或極化狀態(tài)是對應的反射/折射系數(shù)與對應的極化系數(shù)的乘積。界面上的反射/折射系數(shù)以及模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)都是界面兩側(cè)介質(zhì)的物理/各向異性參數(shù)和入射角的函數(shù)。

3 結(jié)論

利用Bond變換、斯奈爾定律和開爾文-克里斯托費爾方程研究了各向異性介質(zhì)界面的反射/折射，以及界面上產(chǎn)生的模式轉(zhuǎn)換波，計算出VTI-TTI介質(zhì)界面上反射/折射角的四次多項式和八次多項式；推導出了在VTI-TTI介質(zhì)界面上產(chǎn)生的均勻/非均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)的解析表達式，包括前第一臨界角區(qū)域的均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)解析表達式，過第一臨界角區(qū)域的均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)解析表達式和過入射臨界角區(qū)域的非均勻模式轉(zhuǎn)換波的極化系數(shù)解析表達式；建立了均勻模式轉(zhuǎn)換波的線極化方程和非均勻模式轉(zhuǎn)換波的橢圓極化方程；建立并求解了VTI-TTI介質(zhì)界面反射/折射系數(shù)的矩陣方程。通過研究，得到結(jié)論如下。

1)過第一臨界角的入射能夠引起非均勻模式轉(zhuǎn)換波折射P波質(zhì)點位移的x分量和z分量之間產(chǎn)生90°的相位差，另外，也能引起均勻模式轉(zhuǎn)換波相對入射波產(chǎn)生一個相位差，但均勻模式轉(zhuǎn)換波P波質(zhì)點位移的x分量和z分量之間不存在相位差。

2)模式轉(zhuǎn)換波的極化狀態(tài)以及界面上的反射/折射系數(shù)由界面兩側(cè)介質(zhì)的物理特性和各向異性參數(shù)等自然特性、界面的傾斜角等幾何結(jié)構(gòu)以及入射波的入射角確定。

3)極化系數(shù)的選擇并不影響非均勻折射P波的橢圓極化狀態(tài)。

4)利用Bond變換，可以將VTI介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)門TI介質(zhì)的剛度系數(shù)矩陣，進而分析TTI-TTI介質(zhì)界面的物理特性。為研究和計算各向異性介質(zhì)界面的反射/折射特性、在該界面上產(chǎn)生的模式轉(zhuǎn)換波的極化和產(chǎn)生的一些現(xiàn)象的物理解釋以及在各向異性地層中測量的地震勘探數(shù)據(jù)的精確AVO反演分析和時-深轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

本文的研究僅僅是進行了理論推導，與實際可能存在偏差，準備接下來進行仿真驗證，并另文發(fā)表。