最優(yōu)高斯整數(shù)周期組間互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

劉 凱，倪 佳，焦佳旺，李玉博

（1.燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島 066004；2.河北省信息傳輸與信號處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北秦皇島 066004）

1 引言

互補(bǔ)序列集在多載波碼分多址（Multi-Carrier Code Division Multiple Access，MC-CDMA）系統(tǒng)和多輸入多輸出碼分多址（Multi-Input and Multi-Output Code Division Multiple Access，MIMO-CDMA）系統(tǒng)中有著重要應(yīng)用，其理想的自相關(guān)和互相關(guān)特性可在一定程度上抑制系統(tǒng)的多徑干擾和多址干擾［1～3］.但是，互補(bǔ)序列集中互補(bǔ)碼的數(shù)量受限于子序列數(shù)量，因此大大限制了通信系統(tǒng)容量.為此，F(xiàn)an等人［4］提出了零相關(guān)區(qū)（Zero Correlation Zone，ZCZ）互補(bǔ)序列集，突破了互補(bǔ)碼的數(shù)量限制，可使擴(kuò)頻系統(tǒng)在一定同步范圍內(nèi)大大提升系統(tǒng)容量.為了滿足通信容量增長的同時(shí)減少通信小區(qū)間的鄰區(qū)干擾，Li 等人［5］提出了組間互補(bǔ)（Inter-Group Complementary，IGC）序列集.它是由多個(gè)ZCZ互補(bǔ)序列集組成的集合，每個(gè)ZCZ 互補(bǔ)序列集被稱為一個(gè)組.同一組內(nèi)的ZCZ互補(bǔ)序列在給定碼片時(shí)延（即ZCZ范圍）內(nèi)，具有理想的自相關(guān)和互相關(guān)性質(zhì)；而不同組的ZCZ 互補(bǔ)序列則在所有碼片時(shí)延內(nèi)都具有理想的互相關(guān)特性.IGC序列集應(yīng)用于多載波擴(kuò)頻系統(tǒng)時(shí)，將不同碼組對應(yīng)于不同小區(qū)，組中的ZCZ互補(bǔ)碼分配給小區(qū)內(nèi)的用戶.這樣，不僅提升了用戶容量，又降低了小區(qū)間的鄰區(qū)干擾.與基于傳統(tǒng)互補(bǔ)碼的多載波擴(kuò)頻系統(tǒng)相比，IGC-CDMA系統(tǒng)在保證抗干擾能力的同時(shí)可獲得更大的用戶容量，因此，IGC集合在多載波技術(shù)中具有一定的應(yīng)用前景.

IGC 序列集的設(shè)計(jì)分為周期IGC和非周期IGC 集合設(shè)計(jì).2008 年，Li 等人［5］最先基于完備互補(bǔ)序列構(gòu)造了一類非周期IGC 序列集，直到2018 年，文獻(xiàn)［6，7］分別基于正交矩陣和二階廣義布爾函數(shù)對非周期IGC 序列集的構(gòu)造法給出了進(jìn)一步的研究，獲得了不同的集合參數(shù).較之非周期IGC 集合，周期IGC 序列集的構(gòu)造結(jié)果相對豐富.2011年，文獻(xiàn)［8］利用交織技術(shù)，基于完備互補(bǔ)碼和正交矩陣，首先構(gòu)造了周期IGC 序列集，實(shí)現(xiàn)了ZCZ 的靈活選擇，在滿足一定條件下，序列集參數(shù)可以達(dá)到理論界.而后文獻(xiàn)［9］基于ZCZ非周期互補(bǔ)序列集和完備周期互相關(guān)碼，構(gòu)造了一類沒有滿足理論界的周期IGC序列集，但序列集中的組數(shù)和每組內(nèi)的序列數(shù)擁有更大的自由度.文獻(xiàn)［10］基于完備互補(bǔ)碼和正交矩陣以及文獻(xiàn)［11］基于ZCZ 周期互補(bǔ)序列集和非相關(guān)序列集，均利用交織技術(shù)進(jìn)一步擴(kuò)充了周期IGC序列集的構(gòu)造，在一定條件下可實(shí)現(xiàn)最優(yōu).2016 年，文獻(xiàn)［12］將完備序列和正交矩陣作為初始序列，利用移位序列構(gòu)造了一類周期IGC序列集，通過選擇合適的移位序列，IGC 序列集可以達(dá)到理論界，同時(shí)ZCZ 長度和序列長度可以靈活選擇.盡管近幾年得到了一些IGC 序列集的設(shè)計(jì)結(jié)果，但在兼顧集合參數(shù)最優(yōu)性和參數(shù)選擇靈活性的構(gòu)造方法研究方面還需要進(jìn)一步探索.

高斯整數(shù)序列是一類實(shí)部和虛部均由整數(shù)構(gòu)成的復(fù)數(shù)序列，通信中廣泛應(yīng)用的四元序列和正交幅度調(diào)制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）序列都是高斯整數(shù)序列的特殊形式.與傳統(tǒng)序列相比，高斯整數(shù)序列不再限制序列的幅度值，具有更靈活的自由度，通信中可利用載波的幅度和相位同時(shí)傳輸信息，因此在相同序列長度的情況下，使用高斯整數(shù)序列可以增加帶寬利用率，提高數(shù)據(jù)傳輸速率.其由于具有高的傳輸效率和頻譜利用率的優(yōu)良性質(zhì)，引起了人們的廣泛關(guān)注，完備高斯整數(shù)序列［13］、ZCZ 高斯整數(shù)序列［14］和ZCZ 高斯整數(shù)互補(bǔ)序列集［15］等已相繼出現(xiàn).

本文針對如何構(gòu)造出具有靈活參數(shù)的最優(yōu)IGC 集合的問題，提出了不同于已有文獻(xiàn)的構(gòu)造方法.如圖1所示，通過核正交矩陣與完備高斯整數(shù)序列過濾構(gòu)造任意階高斯整數(shù)正交矩陣，再結(jié)合完備高斯整數(shù)序列構(gòu)造出一類具有任意ZCZ長度的周期IGC序列集，集合參數(shù)可無條件滿足理論界，獲得最優(yōu)集合.

圖1 周期IGC序列集構(gòu)造方法示意圖

2 預(yù)備知識

定義1設(shè)a=(a(0)，a(1)，…，a(N-1))是長度為N的復(fù)整數(shù)序列，序列中元素a(t)取自集合A，其中A=｛a+bj，a，b∈Z｝，Z 表示整數(shù)集，則稱a為高斯整數(shù)序列.序列a中不同的非零元素的個(gè)數(shù)為k，那么稱k為序列a的自由度，表示為k-degree.

定義2設(shè)a=(a(0)，a(1)，…，a(N-1))和b=(b(0)，b(1)，…，b(N-1))是兩個(gè)復(fù)序列，a和b的周期互相關(guān)函數(shù)定義為

其中，*表示復(fù)共軛，t+τ=(t+τ)modN.當(dāng)a=b時(shí)，Ra，b(τ)稱為周期自相關(guān)函數(shù)，記為Ra(τ).

性質(zhì)1N長復(fù)序列a和b的周期互相關(guān)函數(shù)滿足Rb，a(N-τ)=Ra，b(τ)*.

定義3設(shè)a=(a(0)，a(1)，…，a(N-1))為復(fù)序列，若a的自相關(guān)函數(shù)滿足

其中δ≠0，那么H為正交矩陣.

定義6設(shè)序列a=(a(0)，a(1)，…，a(N-1))和b=(b(0)，b(1)，…，b(N-1))，將b作為過濾序列對a進(jìn)行的過濾操作定義為

u=(u(0)，u(1)，…，u(N-1))表示過濾后的生成序列.

引理2［16］若過濾序列b為完備序列，那么基序列a經(jīng)b過濾得到的生成序列u與a具有相同的相關(guān)特性.

3 任意階高斯整數(shù)正交矩陣的構(gòu)造

本節(jié)提出一種任意階高斯整數(shù)正交矩陣的構(gòu)造方法，具體如下：

所以矩陣U為正交矩陣.

由引理2 可知，經(jīng)完備高斯整數(shù)序列c過濾得到的矩陣H與矩陣U具有相同的相關(guān)特性，故H也為正交矩陣.又因?yàn)樾蛄衏和U中的元素都在高斯整數(shù)集內(nèi)，所以經(jīng)過濾操作的加減及乘法運(yùn)算得到的矩陣H中元素也在高斯整數(shù)集內(nèi).

綜上所述，矩陣H為高斯整數(shù)正交矩陣.證畢

定理1 中，2p或3q階的正交矩陣存在很多，這里給出一類設(shè)計(jì)形式.

其次，以V2×2和V3×3作為核矩陣按照定理1的組合方式進(jìn)行拼接擴(kuò)展，即可得到(2p+3q)階的正交矩陣U.

最后，利用(2p+3q)長高斯整數(shù)完備序列對U進(jìn)行過濾，消除矩陣U內(nèi)的0 元素，得到高斯整數(shù)正交矩陣H.下面舉例說明.

從以上設(shè)計(jì)和舉例可以看出，利用定理1方法可方便簡潔地構(gòu)造出任意階的高斯整數(shù)正交矩陣，這是構(gòu)造任意ZCZ長IGC序列集的關(guān)鍵步驟.

4 高斯整數(shù)周期IGC序列集的構(gòu)造

利用定理1構(gòu)造的正交矩陣，結(jié)合完備高斯整數(shù)序列，本節(jié)給出高斯整數(shù)周期IGC 序列集的構(gòu)造方法.具體方法如下.

定理2 方法可應(yīng)用定理1 中構(gòu)造的任意階數(shù)正交矩陣實(shí)現(xiàn)構(gòu)造條件gcd(Z，M)=1，但正交矩陣的選擇并不僅限于定理1，已存在的正交矩陣都可作為定理2 的選擇范圍.

序列集S的周期相關(guān)函數(shù)表示在圖2 中.以S0的組內(nèi)自相關(guān)函數(shù)為例計(jì)算，對于0≤τ＜12，

圖2（a）～（c）圖描述Sg的組內(nèi)自相關(guān)函數(shù)RSgm(τ)，其中0≤g≤2，0≤m≤3.圖2（d）圖表示組內(nèi)互相關(guān)函數(shù)(τ)，0≤m1，m2≤3，m1＜m2，經(jīng)計(jì)算除外都為全0 序列，圖中用“?”表示.又由性質(zhì)1，圖中省略了

圖2 集合S周期相關(guān)函數(shù)圖

圖2 可見，τ＜3 時(shí)，周期自相關(guān)函數(shù)和組內(nèi)互相關(guān)函數(shù)都為0，即零相關(guān)區(qū)長度Z為3，說明組內(nèi)序列之間具有零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)性.計(jì)算組間各ZCZ 互補(bǔ)序列的互相關(guān)函數(shù)，得出都為12 長的全0 序列，即=(0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0)，0≤g1，g2≤2，g1≠g2，因此省略了組間互相關(guān)函數(shù)圖，其結(jié)果說明組間序列具有完全互補(bǔ)性.因此，序列集S為周期IGC 序列集，參數(shù)為

例5將基礎(chǔ)正交矩陣H1和H2替換為例2和例1構(gòu)造的5 階和4 階正交矩陣，同樣取例4 中3 長完備高斯整數(shù)序列可構(gòu)造得到序列集S為(4，5，3).下面以組S0為例說明.

圖3 與的周期互相關(guān)函數(shù)圖

例4和例5 應(yīng)用相同的完備高斯整數(shù)序列和不同的正交矩陣得到了不同參數(shù)的周期IGC 序列集.這表明，當(dāng)已知信道的同步范圍給定，即ZCZ長度Z確定，可先選定Z長的完備高斯整數(shù)序列，再通過系統(tǒng)需要的組數(shù)K和用戶數(shù)M來選擇K階和M階正交矩陣，利用定理2 的方法構(gòu)造出IGC 序列集.定理1 給出的任意階正交矩陣的構(gòu)造方法為定理2 選擇適當(dāng)階數(shù)的正交矩陣提供了保證.

5 性能分析

5.1 最優(yōu)性分析

由引理1 可知，定理2 得到的參數(shù)為(K，M，Z)的IGC序列集，滿足

也就是說定理2構(gòu)造的IGC序列集參數(shù)是最優(yōu)的.

本文將構(gòu)造的IGC 序列集與現(xiàn)有構(gòu)造結(jié)果從構(gòu)造基礎(chǔ)、集合參數(shù)、參數(shù)是否最優(yōu)以及周期性等角度進(jìn)行了對比，見表1.

表1 可見，文獻(xiàn)［5～7］構(gòu)造了三類最優(yōu)的非周期IGC 序列集，ZCZ 長度的靈活性還需進(jìn)一步提升.文獻(xiàn)［9～12］構(gòu)造了周期IGC 序列集，其中文獻(xiàn)［9］構(gòu)造的IGC 序列集參數(shù)不能滿足理論界，文獻(xiàn)［10～12］則需要在基礎(chǔ)序列滿足一定條件下使構(gòu)造的IGC 序列集達(dá)到最優(yōu).現(xiàn)有文獻(xiàn)表明，非周期IGC 序列集的構(gòu)造參數(shù)不是很豐富，但都可以無條件達(dá)到最優(yōu)參數(shù)條件；周期IGC序列集的構(gòu)造結(jié)果盡管參數(shù)形式上較豐富一些，但是最優(yōu)集合參數(shù)都需要受到條件約束，ZCZ 長度不夠靈活.

表1 IGC序列集參數(shù)比較

需要注意的是，盡管非周期互補(bǔ)序列也是周期互補(bǔ)序列，但是ZCZ 非周期互補(bǔ)序列卻不一定是ZCZ 周期互補(bǔ)序列.因此，文獻(xiàn)［5～7］中具有無條件最優(yōu)參數(shù)的非周期IGC 序列集卻不一定是周期IGC 序列集.而本文利用新的構(gòu)造基礎(chǔ)，即完備高斯整數(shù)序列和正交矩陣，構(gòu)造了無條件限制的最優(yōu)參數(shù)形式的周期IGC序列集，突破了現(xiàn)有文獻(xiàn)中周期IGC序列集對參數(shù)的約束限制.

5.2 參數(shù)分析

當(dāng)周期IGC 集合應(yīng)用于IGC-CDMA 系統(tǒng)時(shí)，K和M對應(yīng)著通信小區(qū)數(shù)量和小區(qū)內(nèi)的用戶數(shù)量.理論上，對于給定ZCZ長度，用戶數(shù)量M可在與Z互素的前提下保持增長，通信小區(qū)數(shù)量K也可靈活選擇，如表2所示.只要正交矩陣的階數(shù)K和M以及完備序列的長度Z確定，那么選擇不同的基礎(chǔ)矩陣和完備序列并不影響周期IGC 序列集的構(gòu)造參數(shù)和相關(guān)性能.這也意味著對IGC-CDMA 系統(tǒng)的小區(qū)數(shù)量、用戶容量、允許同步范圍以及用戶間干擾等都不會產(chǎn)生影響.但是，由于高斯整數(shù)范圍廣泛，不同高斯整數(shù)字符集的正交矩陣和完備序列會影響IGC 序列集的字符集范圍.考慮系統(tǒng)的抗噪性，希望高斯整數(shù)字符集的字符間最小歐氏距離和最小相位偏移盡可能大，以降低碼間干擾，提高傳輸信號抗高斯白噪聲性能、抗相位抖動和時(shí)鐘恢復(fù)精確度的敏感性.例如，例4和例5 中的完備高斯整數(shù)和正交矩陣的最小歐氏距離都為1.414 2，構(gòu)造的IGC 序列集的最小歐氏距離分別是2和2.828 4，可見，例5 的比例4 的具有更大的最小歐氏距離.由于時(shí)間和篇幅的限制，本文的研究重點(diǎn)僅針對周期IGC 集合參數(shù)最優(yōu)性和靈活性問題進(jìn)行了構(gòu)造方法研究，IGC集合字符集對系統(tǒng)傳輸性能的影響可作為IGC集合構(gòu)造方法的進(jìn)一步約束條件開展研究.

表2 周期IGC序列集2≤Z≤10，2≤M≤50參數(shù)舉例

6 結(jié)束語

本文在高斯整數(shù)集上，利用M階和K階正交矩陣與Z長完備序列構(gòu)造了一類周期IGC 序列集.其中，為了實(shí)現(xiàn)Z與M互素的構(gòu)造條件，給出了一類任意階高斯整數(shù)正交矩陣的構(gòu)造方法，從而擴(kuò)充了正交矩陣的選擇范圍.通過分析周期IGC 序列集參數(shù)可知，本文構(gòu)造參數(shù)滿足理論界，達(dá)到最優(yōu).本文方法有效地利用了完備高斯整數(shù)序列存在任意長度的優(yōu)點(diǎn)，突破了已有構(gòu)造結(jié)果中ZCZ 長度不夠靈活和最優(yōu)集合參數(shù)需要附加條件的限制，同時(shí)在提升信道傳輸效率和頻譜利用率方面發(fā)揮了高斯整數(shù)信號集的優(yōu)勢.此外，本文構(gòu)造的任意階高斯整數(shù)正交矩陣，還可用于文獻(xiàn)［5，6］的非周期IGC 集構(gòu)造中，擴(kuò)大非周期IGC 集合參數(shù)存在范圍.