“對(duì)分課堂”在“兩角差的余弦公式”教學(xué)中的運(yùn)用

浙江師范大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院 孔勝濤 321004

“對(duì)分課堂”是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授于2014 年首先提出來(lái)的一種有機(jī)融合講授式教學(xué)與討論式教學(xué)優(yōu)點(diǎn)的教學(xué)模式，其具體操作流程如下：教師講授（Presentation）→內(nèi)化吸收（Assimilation）→討論（Discussion），簡(jiǎn)稱為PAD 課堂，又稱為對(duì)分課堂[1].近幾年，筆者在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，多次嘗試運(yùn)用“對(duì)分課堂”教學(xué)模式，取得了較好的教學(xué)效果.

下面以人教A《數(shù)學(xué)》必修4 中“兩角差的余弦公式”的一個(gè)教學(xué)片斷為例，介紹在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中嘗試運(yùn)用“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的一些做法和思考，與大家商榷.

1 教學(xué)片斷

1.1 教師講授(Presentation)

問題1 如圖1 和圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，他們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B.則如何用角α，β的正弦、余弦值來(lái)表示cos(α-β)呢？

圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)此問題的解析，引領(lǐng)學(xué)生回顧平面向量數(shù)量積的定義，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，從中體會(huì)向量方法在推導(dǎo)兩角差余弦公式中的應(yīng)用.（在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師的講解要精練，學(xué)生要記聽課筆記）

公式①給出了任意角α，β的正弦、余弦值與差角α-β的余弦值之間的關(guān)系.稱為兩角差的余弦公式.

1.2 內(nèi)化吸收(Assimilation)

這是“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的第二個(gè)環(huán)節(jié)，也是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，教師若重視這一環(huán)節(jié)，不僅有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).在此環(huán)節(jié)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過“亮考幫”對(duì)上述的講授內(nèi)容進(jìn)行內(nèi)化吸收.

“亮”即“亮閃閃”，請(qǐng)學(xué)生說出經(jīng)教師講授及自主學(xué)習(xí)后自己收獲最大、感受最深的一點(diǎn)，用一句話概括.例如，在這節(jié)課上，通過“亮閃閃”生1 說出“從上述的解析1 中不難看出，在推導(dǎo)兩角差的余弦公式時(shí)，注重運(yùn)用向量方法不僅可使推導(dǎo)過程化繁為簡(jiǎn)，而且可使推導(dǎo)過程化難為易”.

“考”即“考考你”，請(qǐng)學(xué)生把自己弄明白的知識(shí)點(diǎn)以問題的形式提出來(lái)，小組討論時(shí)考考其他成員.例如在這節(jié)課上，通過“考考你”生2提出“在上述的解析1中，公式①是在α，β∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z 的情況下得到的，那么你能證明公式①在α，β∈(2kπ+π,2kπ+2π]，k∈Z 的情況下仍然成立嗎？”

“幫”即“幫幫我”，請(qǐng)學(xué)生把自己不明白的知識(shí)點(diǎn)以問題的形式提出來(lái)，小組討論時(shí)求助別人.例如在這節(jié)課上，通過“幫幫我”生3 提出“從上述的解析1 中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α-β=2kπ±θ時(shí)，公式①成立，但在圖3和圖4 的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時(shí)公式①是否也成立？”.

圖3

圖4

1.3 討論（Discussion）

這是“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的最后環(huán)節(jié)，在此環(huán)節(jié)中，教師可先讓學(xué)生分組圍繞“內(nèi)化吸收”環(huán)節(jié)所提出的問題進(jìn)行討論，然后再對(duì)各小組討論所產(chǎn)生的困難或疑問進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

師：誰(shuí)能回答生2所提出的問題嗎？

教師的話音剛落，有一位男生舉手.

生4（組1）：老師，我們小組能證明公式①在α，β∈(2kπ+π,2kπ+2π]，k∈Z 的情況下仍然成立.

師：很好！請(qǐng)你代表組1 到講臺(tái)上給大家講解一下.

師：很好！組1 的證明方法不僅過程簡(jiǎn)潔，而且思路清晰.讓我們?cè)俅螢榻M1的簡(jiǎn)潔證法鼓掌（組1欣喜）！

生3：老師，我們小組到現(xiàn)在還沒有解決我所提出的問題，您能講解一下嗎？

師：生3 的問題是從上述的解析1 中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α-β=2kπ±θ時(shí)，公式①成立，但在圖3和圖4的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時(shí)，公式①是否也成立？其他小組有同學(xué)能回答生3所提出的問題嗎？

巡視課堂后，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生仍沒有找到思路.因此，教師繼續(xù)向?qū)W生追問：在上述的解析1 中，夾角θ的取值范圍是什么？在圖3 的情況下，當(dāng)時(shí)，α-β與θ之間有什么關(guān)系？在圖4 的情況下，當(dāng)時(shí)，α-β與θ之間又有什么關(guān)系？

在教師的追問下，學(xué)生有了討論的方向，經(jīng)過一番分組討論，師生合作給出了如下的解析.（教師巡視，并請(qǐng)生5 在黑板上板書.）

生5 的板書剛一結(jié)束，教室里自發(fā)地響起一片掌聲.

師：非常好！生5 的解題思路流暢，運(yùn)算過程正確，板書清晰，字體優(yōu)美，贊一個(gè).生3，現(xiàn)在你能看懂上述的解析2嗎？

生3：老師，我能看懂上述的解析2，我已明白：任意角α-β要么與θ的終邊相同（如圖1），要么與2π-θ的終邊相同（如圖3）；任意角β-α要么與θ的終邊相同（如圖2），要么與2π-θ的終邊相同（如圖4），這時(shí)仍然有 cos(α-β)=cos(β-α)=cos(2π-θ)=cosθ.因此，公式①對(duì)于任意角α，β均成立.

師：生3 提的問題很好！剛才的回答也很好！請(qǐng)同學(xué)們課后思考上述的解析1 是否需要訂正？如有需要，如何訂正？

評(píng)注：在“對(duì)分課堂”上留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生討論生2 和生3 所提出的問題，旨在充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，從而讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)和理解平面向量數(shù)量積的定義，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)及向量法在推導(dǎo)兩角差余弦公式中的應(yīng)用.

2 教學(xué)思考

從上述的教學(xué)片斷中，我們不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用“對(duì)分課堂”教學(xué)模式進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義主要在于以下兩點(diǎn)：

2.1 有利于提升教學(xué)的系統(tǒng)性和高效性

“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的第一個(gè)環(huán)節(jié)是教師講授，而講授式教學(xué)的主要優(yōu)點(diǎn)是能充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，有利于提升知識(shí)傳授的系統(tǒng)性和高效性.由于教師聞道在先，術(shù)業(yè)有專攻，能夠比較系統(tǒng)、準(zhǔn)確地領(lǐng)會(huì)教材編寫意圖，吃透教材、挖掘教材的深邃內(nèi)涵，所以教師能在單位時(shí)間里向?qū)W生迅速傳授較多的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí).如在這節(jié)課上，通過教師講授，教師能在較短的時(shí)間內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量法完成兩角差余弦公式證明的教學(xué)任務(wù)，這就是講授式教學(xué)的優(yōu)點(diǎn).因此，“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)之一是有利于提升知識(shí)傳授的系統(tǒng)性和高效性.

2.2 有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性

“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的第二個(gè)環(huán)節(jié)是內(nèi)化吸收、第三個(gè)環(huán)節(jié)是討論，在教師講授和討論之間增加內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)，這是“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的一大創(chuàng)新點(diǎn).作為討論之前的內(nèi)化吸收，不僅有助于學(xué)生主動(dòng)積極地參與討論，而且有助于討論的深入進(jìn)行.又因討論式教學(xué)的主要優(yōu)點(diǎn)是能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.如在這節(jié)課上，學(xué)生能主動(dòng)積極地參與生2 和生3 所提出問題的討論，學(xué)生能在課堂上提出“從上述的證明1 中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α-β=2kπ±θ時(shí)，公式①成立，但在圖3 和圖4 的情況下，α-β≠2kπ±θ，此時(shí)，公式①是否也成立？”如此的好問題，讓教師都感到十分意外，這問題有利于大幅度提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.因此，“對(duì)分課堂”教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)之二是有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.