“一道向量題的解法”課堂教學(xué)實錄

浙江省嘉善第二高級中學(xué) 魯和平 314100

1 題目呈現(xiàn)：

在△ABC中，已知則角A的最大值為_______.

這是《平面向量及其應(yīng)用》的單元測試卷中的一道填空題.得分情況很不理想.為此，我讓學(xué)生又重新認(rèn)真做了一遍，然后專門用一節(jié)課，讓全班學(xué)生暢所欲言，盡情展示自己的解題方法.

2 解法展示

師：根據(jù)題設(shè)條件，很容易化成向量的數(shù)量積的形式，然后得出三角形三邊的關(guān)系式，這就為運用余弦定理求解作了鋪墊.請問哪些同學(xué)是按照這條思路做的？

2.1 學(xué)生1在黑板上展示自己的解答過程

點評：本解法先根據(jù)向量數(shù)量積的定義得出關(guān)系式，再用余弦定理表示角，代入所得出的關(guān)系式，進一步得出c2-b2=2a2，接著繼續(xù)用余弦定理和基本不等式求解，思維縝密，環(huán)環(huán)相扣.

2.2 學(xué)生2的解法與上面有些差異，他也展示了自己獨特的解法

點評：此種解法不落俗套.與解法1的不同之處在于它巧妙運用了向量的運算，回避了三角形邊的關(guān)系的探討.再直接回歸向量數(shù)量積的定義，順理成章的想到基本不等式解決問題，單刀直入，游刃有余.

圖1

2.3 學(xué)生3也是從運用余弦定理入手，但與前兩位同學(xué)在思路上有很大的區(qū)別

點評：解法3 的創(chuàng)新點是在不同的三角形內(nèi)，以計算cosA作為橋梁，得出三角形邊的關(guān)系式.

師：以上三種解法本質(zhì)上都是從代數(shù)角度解決問題.否向量本身就是數(shù)與形的高度統(tǒng)一和完美結(jié)合.請問有沒有同學(xué)是從幾何特征考慮的？

2.4 學(xué)生4 隨即在黑板上展示自己的解法

圖2

2.5 學(xué)生5也是從幾何性質(zhì)入手

解法5：設(shè)△ABC中角A,B,C所對邊分別為a,b,c.如圖3延長AC至D點，使因 為所以BD⊥BC.以CD為直徑作圓O.則點B在圓上運動，當(dāng)AB和圓O相切時，角A最大，則BA⊥BO,AO=2BO，故角

圖3

點評：此解法純從幾何本質(zhì)入手，巧妙運用了圓的切線性質(zhì)，將向量的幾何屬性暴露無遺，簡潔明快，拍案稱奇.

師：剛才兩位同學(xué)很好地領(lǐng)會了老師的意圖，深入挖掘了問題的幾何背景，使大家再一次感受到了向量的幾何魅力.下面是否有同學(xué)是從“角”的角度思考問題并加以解決的？

2.6 學(xué)生6 立即站起來，展示了他從“角”的角度入手的解法

點評：此法的關(guān)鍵在于對a=-2bcosC，不是從“邊”的角度進行代數(shù)恒等變形，而是巧妙運用正弦定理，純從三角恒等變形著手，深入挖掘，最后運用兩角和的正切公式，輔之以基本不等式解決.

2.7 學(xué)生7也是從“角”的角度來思考的，他也展示了自己的思路.

圖4

點評：此法的亮點在于利用三角形的射影定理介入，巧妙得出BC=2CE，再運用兩角差的正切關(guān)系求解，前面主要應(yīng)用余弦函數(shù)的單調(diào)性，再運用正切函數(shù)的單調(diào)性，也使問題迎刃而解.

3 解后反思

向量小題以其綜合性強、解題入口寬、解法豐富多彩而深受命題者的青睞.同時也是學(xué)生較為畏懼的題型.作為填空題的把關(guān)題，即能考查學(xué)生對向量知識的理解深度，也能很好地管窺出學(xué)生綜合運用知識，駕馭各種解題技巧解決問題的能力.在向量問題的中，也能有效地檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等重要的核心素養(yǎng).

高一學(xué)生其智力正處于飛速發(fā)展的關(guān)鍵時期.教師只要引導(dǎo)得法、大膽放手，學(xué)生就會迸發(fā)出無限的創(chuàng)造力.互動雙贏、教學(xué)相長，正是教師所追求的教學(xué)境界.