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    在變化與確定中感受思維的靈活

    2018-10-24 11:04馮寅
    關(guān)鍵詞:二面角四邊形平面

    馮寅

    數(shù)學(xué)問題中往往由許多不同的量構(gòu)成,有些量是確定的,有些量是變化的,而確定與變化是相對的,可以互相的轉(zhuǎn)化.我們遇到的有些問題需要在變化中尋找不變量,有些問題需要在不變中發(fā)現(xiàn)變化的軌跡,在確定與變化的不斷轉(zhuǎn)換中,我們可以感受到思維的奇妙與靈活.

    1在變化中尋找確定因素

    有些數(shù)學(xué)問題中包含著許多不確定的因素,如圖形的不確定、位置的不確定、數(shù)量的不確定等等,但在這些不確定的因素背后往往隱含有一定的確定因子,如果我們能在不確定的因素中發(fā)現(xiàn)確定的因子,抓住問題的本質(zhì)就一定能使問題有效的解決.

    問題1如圖1,已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=5,∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′,直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是[CD#3].

    分析此題是以三角形的翻折為素材設(shè)計的問題,圖形是不確定的.要研究直線AC與BD′所成角的變化規(guī)律,我們應(yīng)該在圖形變化的過程中,首先尋找確定的因素,再利用這些確定因素來體現(xiàn)直線與直線所成角的變化規(guī)律.[TS(][JZ]圖2[TS)]

    確定因素1從圖形的特點看,四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中,點B,D在AC上的投影是不變的.

    我們可以利用這個確定的因素,找到直線AC與BD′所成的角.

    設(shè)D′E⊥AC于E,BF⊥AC于F,過E作EG∥BF且EG=BF,連結(jié)BG,BD′,GD′,那么∠GBD′是直線AC與BD′所成的角(如圖2).

    在Rt△BGD′中,cos∠GBD′=BGBD′,而BG=EF=63,

    那么,當(dāng)BD′最小時,cos∠GBD′最大.

    在△BED′中,BE=302,D′E=306,則當(dāng)D′落在平面ABC上時,BD′最短.

    又因為,∠DAC=∠BAC,所以D′點在線段AB上,這時BD′=2.

    因此,cos∠GBD′的最大值為66.

    確定因素2從向量的角度思考,AC·BD′是確定的.

    四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中,點B,D在AC上的投影是不變的.記投影為E,F(xiàn)(如圖3).

    根據(jù)題意,EF=63,由數(shù)量積的幾何意義可得:AC·BD′=AC·EF=2.

    設(shè)θ為直線AC與BD′所成的角,那么AC·BD′=AC·BD′·cosθ,

    所以AC·BD′·cosθ=2,即6·BD′·cosθ=2,要使cosθ最大,只要BD′最小.

    而當(dāng)D′點在落在平面ABC上時,BD′最小.

    因此,cosθ的最大值是66.

    確定因素3從運(yùn)動的觀點看,點D的軌跡是確定的.

    四邊形ABCD在沿直線AC將△ACD翻折的過程中,點D的軌跡是以E為圓心,DE為半徑的圓.利用這一特點,可以有新的思路.

    由題意,AC⊥圓E所在平面,作BB′⊥圓E所在平面.

    直線AC與BD′所成的角就是直線BB′與BD′所成的角(如圖4).

    在Rt△BB′D′中,BB′=EF=63,

    要使cos∠B′BD′最大,就是要B′D′最小.

    因為點D′在圓E上,所以B′D′的最小值B′G=B′E-GE=303.

    因此,cos∠B′BD′的最大值是66.

    問題2如圖5,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是[CD#3].

    分析和四面體的體積有關(guān)的問題,我們首先應(yīng)該考慮四面體的底面和高是否有確定的因素.由于P,D是兩個動點,故四面體的四個面都無法確定,如何計算體積成為本題的關(guān)鍵.從題意中我們發(fā)現(xiàn)△PBD和△ABD的面積相等,那么量S△BCD+S△PBD是確定的.

    確定因素S△BCD+S△PBD確定.

    作PE⊥平面BCD于E,過E作EF⊥BD于F,連結(jié)PF,那么,PF⊥BD(如圖6).

    四面體PBCD體積VP-BCD=13S△BCD·PE≤13S△BCD·PF.

    (當(dāng)平面PCD⊥平面BCD時,等號成立)

    又因為,S△PBD=12BD·PF,

    所以,VP-BCD=23S△BCD·S△PBD·1BD.

    因為S△BCD+S△PBD是定值,所以當(dāng)S△BCD=S△PBD時,S△BCD·S△PBD最大,此時,D是AC中點.

    當(dāng)1BD最大時,BD⊥AC,而BA=BC,所以D也為AC中點.

    因此,D是AC中點時,四面體PBCD體積最大,最大值12.

    2在確定中感受變化特點

    有些問題從表面看是確定的,但這樣的確定也是運(yùn)動過程中的某一靜止時刻,因此分析運(yùn)動的過程,理解運(yùn)動的本質(zhì),可以使我們產(chǎn)生新思維來解決問題.

    問題3如圖7,已知正四面體D-ABC,P,Q,R分別為AB,BC,CA上的點,AP=PB,BQQC=CRRA=2.分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為α,β,γ,則

    A.γ<α<βB.α<γ<β

    C.α<β<γD.β<γ<α

    分析研究三個二面角的大小關(guān)系,我們先找到它們的平面角.過點D作底面ABC的垂線,垂足為O.已知D-ABC為正四面體,則O是正三角形ABC中心.根據(jù)線面垂直的性質(zhì),每個二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角邊DO.那么,二面角的大小問題等價轉(zhuǎn)化為底面正三角形的中心到二面角棱的距離d1、d2、d3的大小問題(如圖8).

    因為P、Q、R都是正三角形ABC邊上確定的點,所以通過多種渠道都能計算并比較d1、d2、d3的大小.若我們以變化的觀點來分析這個問題,將確定的問題轉(zhuǎn)化為變化的問題,在變化過程中可以更清晰地判斷二面角的大小關(guān)系.

    取邊AB上的點P1并滿足AP1P1B=2.根據(jù)題意△P1QR是正三角形,那么O到△P1QR三邊距離都等于d1.當(dāng)點P1移動到P時(如圖8),點O到PQ的距離d3d1,那么d3

    問題4如圖9,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則

    A.I1

    C.I3

    [TS(][JZ]圖10[TS)]

    分析根據(jù)已知條件,這是一個確定的四邊形,我們可以通過向量的夾角和模,或利用坐標(biāo)計算,或利用極化恒等式等多種渠道通過計算來比較向量數(shù)量積的大小.

    我們也可以用變化的觀點來分析思考.在正方形ABCD1中,點D1變化到D(如圖10).

    因為∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I1,I3<0,I2>0.

    又因為OA

    思考此題還可以進(jìn)一步考慮,去掉條件AB⊥BC,此時四邊形ABCD不確定,那么I1,I2,I3的大小關(guān)系是否仍然確定?答案是肯定的.

    如圖11,先研究α1,β1的大小關(guān)系,觀察△ABC和△ACD.因為AB=AD,AC=AC,BC

    又因為α1=α+θ,β1=β+θ,所以α1<β1,

    又α1+β1=180°,那么,α1<90°<β1.

    再研究OB,OD的大小,觀察△ABD.AB=AD,α<β,

    所以,OB

    3在變化與確定中換位思考

    在有些數(shù)學(xué)問題中,確定與變化是暫時的是可以互相轉(zhuǎn)化的,在相對的確定與變化中我們可以發(fā)現(xiàn)問題的特點,利用這樣的本質(zhì)我們可靈活的解決問題.

    問題5如圖12,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P,需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值[CD#3].(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)

    [TS(][JZ]圖13[TS)]

    分析此問題中已知點A是確定的,點P在射線CM上移動,要求直線AP與平面ABC所成角的正切值最大,即求直線AP與平面ABC所成角的最大值.

    一般我們都會考慮如何確定這個線面角,根據(jù)已知條件,過P作PQ⊥BC,垂足為Q,則∠PAQ是直線AP與平面ABC所成角θ(如圖13).

    此時角θ處在一個不確定的△PQA中,我們可以設(shè)CQ=x,用x來表示tanθ,用函數(shù)的方法求出tanθ的最大值.

    但是這可能不是題目的本意,其實問題的條件可以理解為在兩條確定的射線CM,CA上分別有兩點P,A,那么換位思考,若P確定,A的位置在哪里呢?

    若P確定,那么PQ就確定,要∠PAQ最大,就是要PA最小,因此應(yīng)該滿足PA⊥AC.現(xiàn)在點A的位置確定,那么點P的位置滿足PA⊥AC時,∠PAQ最大,計算得tanθ的最大值是539.[TS(][JZ]圖14[TS)]

    問題6如圖14,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

    (Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;

    (Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

    分析此題是一個以四棱錐為載體的問題,它較好地糅合了空間線面的平行與垂直關(guān)系,方法多樣思維靈活,能有效地區(qū)分不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生.尤其是(Ⅱ)問求直線和平面所成的角,它要求學(xué)生要仔細(xì)分析圖形的特點,理解線面關(guān)系并能對線面角進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化.此圖若能從變化的角度來理解,對問題的解決也有很大的幫助.

    四棱錐P-ABCD的形狀是確定的,它的兩個核心的面是ABCD和PAD,我們可以從變化的觀點來看,四棱錐P-ABCD由五邊形ABCDP沿AD折起,使得PC=AD.(如圖15、圖16)

    [TS(][JZ]圖15圖16[TS)]

    在五邊形ABCDP中,PB⊥AD于點M,且M是AD的中點.在翻折的過程中有許多確定的關(guān)系,∠PMB就是二面角P-AD-B的平面角,可得

    ∠PMB=120°.AD⊥平面PMB,因此,平面PMB⊥平面PBC.

    求直線CE與平面PBC所成的角的關(guān)鍵是求出點E到平面PBC的距離.而點E到平面PBC的距離就是點M到平面PBC距離的12.由于平面PMB⊥平面PBC,所以就是求點M到PB的距離.

    設(shè)CD=1,在△PCD中,求得CE=2;在△PMB中,求得MH=12.記直線CE與平面PBC所成的角為θ,那么sinθ=12MHCE=28.

    從上面問題我們可以看出,確定是暫時的,變化是永恒,確定是變化過程中的某一時刻,當(dāng)我們能看清問題的本質(zhì),在變化的過程中體會確定的意義,那么我們的思維水平就上了一個臺階.

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